千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第70炼 求点的轨迹方程

第70炼 求点的轨迹问题

一、基础知识：

1、求点轨迹方程的步骤：

（1）建立直角坐标系

（2）设点：将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）

（3）列式：从已知条件中发掘的关系，列出方程

（4）化简：将方程进行变形化简，并求出的范围

2、求点轨迹方程的方法

（1）直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可

（2）代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程

（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有：

① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹

       直角→圆：若，则点在以为直径的圆上

确定方程的要素：圆心坐标，半径

② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹

确定方程的要素：距离和，定点距离

③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹

注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支

确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离

④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹

确定方程的要素：焦准距：。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程

（4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程。

二、典型例题：

例1：设一动点到直线的距离到它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是（     ）

A.                             B.      

C.                         D.

思路：设，则可直接利用已知条件列出关于的等式，化简即可

解：设    

答案：C

例2：已知两定点的坐标分别为，动点满足条件，则动点的轨迹方程为___________

思路：通过作图可得等价的条件为直线的斜率的关系，设，则，则可通过的斜率关系得到动点的方程

解：若在轴上方，则

   代入可得：

，化简可得：

即

若在轴下方，则，同理可得：

当时，即为等腰直角三角形，或满足上述方程

所以当在一四象限时，轨迹方程为

当在线段上时，同样满足，所以线段的方程也为的轨迹方程

综上所述：的轨迹方程为或

答案：或

例3：已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（       ）

A.        B.     C.        D.

思路：依题意可得， ，，则有，因为自身有轨迹方程，为：，将代入可得关于的方程，即的轨迹方程：

答案：D

例4：已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程是__________

思路：考虑设，由抛物线可得：，且，故考虑利用向量关系得到与的关系，从而利用代入法将用进行表示，代入到即可

解：由抛物线可得：

设  

   ①

在上   ，将①代入可得：

，即

答案：

例5：在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，分别为椭圆的左，右顶点，则直线与的交点所在曲线方程为________

思路：由椭圆可得：，从而可确定线与的方程。，若联立方程解，则形式较为复杂不易化简，观察两条直线方程的特点，可发现若两边相乘，有平方差的特点，且与椭圆相交，则关于轴对称，有。所以两方程左右两边分别相乘可得：，再利用满足椭圆方程，消去等式中的即可

解：由椭圆可知：，设交点坐标。

与椭圆相交于   关于轴对称

考虑直线与的方程：由可得：

  ①

同理可得：  ②

①②可得： ③

由在椭圆上可得：，代入③可得：

，整理后可得：

答案：

小炼有话说：本题消元的方法比较特殊，是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点，从而两式相乘，再进行代入消元。

例6：若动圆过定点且和定圆 外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________

思路：定圆的圆心为，观察到恰好与关于原点对称，所以考虑点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆的半径为，则有，由两圆外切可得，所以，即距离差为定值，所以判断出的轨迹为双曲线的左支，则，解得，所以轨迹方程为

答案：

小炼有话说：本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定义的要素，即线段的和或差。要注意本题中，所以轨迹为双曲线的一支。

例7：是圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（    ）

A.      B.     C.    D.  

思路：可得，发现刚好与均在轴上且关于原点对称，从而联想到双曲线或椭圆的焦点，观察几何性质可得：由的中垂线可得，从而考虑，即到的距离和为定值5，从而判断出其轨迹为椭圆，可得，则，所以椭圆方程为：

答案：C

例8：已知直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点，若于，则点的轨迹方程为（     ）

A.           B.       

 C.       D.

思路：先处理条件可得由为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形。即，设，即，联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得，从而可得直线过定点，结合图像性质可得，则的轨迹为以为直径的圆，轨迹方程为

解：，且为为邻边的平行四边形对角线

该四边形为矩形，即

设，

联立方程：，消去可得：

      ，由可得

，即直线过定点

即   的轨迹为以为直径的圆

则该圆的圆心为，半径

轨迹方程为

答案：B

例9：过点作圆的割线，交圆于两点，在线段上取一点，使得，求点的轨迹

解：设点，直线的斜率为

由可得：

    ①，联立方程：

，消去可得：

代入①可得：

即，而代入可得：

化简可得：，因为在圆内

所以点的轨迹是直线被圆截得的弦

例10：如图所示，点在圆上运动，轴，点在的延长线上，且

（1）求点的轨迹方恒，并求当为何值时，的轨迹表示焦点在轴上的椭圆

（2）当时，在（1）中所得曲线记为，已知直线，是上的动点，射线（为坐标原点）交曲线于点，又点在上且满足，求点的轨迹方程

解：（1）思路：自身有轨迹方程，且条件中所求的点与点存在联系（），所以考虑利用代入法求轨迹方程。设，然后利用向量关系找到的坐标与坐标的联系，从而代入到所在的方程便得到关于的等式，即的轨迹方程

设

轴       ①

由在上可知：，代入①可得：

即

当时，的轨迹表示焦点在轴上的椭圆

（2）思路：由（1）可知曲线方程为，从而题目中的点均有方程。设所求点，则可考虑寻找的坐标与之间的联系。本题共线是关键点，因为在这条线上的点，其与点距离的比值即为横纵坐标的比值。所以先从入手，题目中没有的比例，则不妨设，进而得到与的联系：，再寻找的联系，结合条件可知，从而用即可表示出与的联系（而不用再设字母）：。所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去即可得到的轨迹方程

解：由（1）可得曲线方程为：

设    

设    由线段比例可得：

由同理可得：

分别在直线与椭圆上   ，代入可得：

，化简可得：的轨迹方程为：