2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题41 阅读理解、图表信息(含解析)

专题训练41 阅读理解、图表信息

一.选择题

1. （2019•河北省•2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．

甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．

乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．

丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．

下列正确的是（　　）

A．甲的思路错，他的n值对 

B．乙的思路和他的n值都对 

C．甲和丙的n值都对 

D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对

B．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；

乙的思路与计算都正确；

乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；

2. （2019•河北省•3分）小明总结了以下结论：

①a（b+c）＝ab+ac；

②a（b﹣c）＝ab﹣ac；

③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；

④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）

其中一定成立的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

C．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；

②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；

③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；

④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．3.

3．(2019•湖北宜昌•3分)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为(     )

A．6 B．6 C．18 D．

【点评】阅读理解：二次根式的化简．

【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积．

【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6，∴p＝＝9，

∴△ABC的面积S＝＝6．故选A．

【点评】考查了二次根式的化简，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．

二.填空题

1.2019湖南常德3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　①④　．（填序号）

【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），由股沟定理可得PQ＝MP＝+1，MP＝PQ和MN∥PQ，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确；

【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），

∴MP＝＝，PQ＝+1，

∵点P在第一象限，

∴m＞0，

∴MP＝+1，

∴MP＝PQ，

又∵MN∥PQ，

∴四边形PMNQ是广义菱形．

④正确；

故答案为①④；

【点评】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．

2．（2019•山东临沂•3分）一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝　±10　．

【分析】利用题中四次方根的定义求解．

【解答】解：∵＝10，

∴m4＝104，

∴m＝±10．

故答案为：±10

【点评】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．

3. （2019•河北省•4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3＝7

则（1）用含x的式子表示m＝　   　；

（2）当y＝﹣2时，n的值为　   　．

1．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：

m＝x+2x＝3x；

故答案为：3x；

（2）根据约定的方法即可求出n

x+2x+2x+3＝m+n＝y．

当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．

解得x＝﹣1．

∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．4.

4．(2019•湖南常德•3分)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　   　．(填序号)

【考点】阅读理解：几何新定义．

【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点P(m，m2)，则Q(m，－1)，由勾股定理可得PQ＝MP＝+1，MP＝PQ和MN∥PQ，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确；

【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点P(m，m2)，则Q(m，－1)，

∴MP＝＝，PQ＝+1，

∵点P在第一象限，

∴m＞0，

∴MP＝+1，

∴MP＝PQ，

又∵MN∥PQ，

∴四边形PMNQ是广义菱形．

④正确．

故答案为①④．

【点评】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．

三.解答题

1. （2019·贵州安顺·10分）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）

又∵m+n＝logaM+logaN

∴loga（M•N）＝logaM+logaN

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34＝81转化为对数式　   　；

（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　   　．

【解答】解：（1）4＝log381（或log381＝4），

故答案为：4＝log381；

（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，

又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，

∴loga＝logaM﹣logaN；

（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．

故答案为：2．

2．（2019•山东青岛•10分）问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到　（a﹣1）　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　（4a﹣4）　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到　（2a﹣2）　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　（8a﹣8）　种不同的放置方法．

……

问题解决：

把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）　个图⑦这样的几何体．

【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

【解答】解：探究三：

根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，

根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；

故答案为a﹣1，4a﹣4；

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，

同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，

所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，

根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．

故答案为2a﹣2，8a﹣8；

问题解决：

在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，

依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；

问题拓展：

发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，

这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，

所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，

再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，

所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；

故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．

【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

2．（2019•山东威海•8分）（1）阅读理解

如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．

小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：

AE+BG＝2CF，CF＞DF

由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：

若n＞1，则　+＞　．

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．

请你选择一种方法证明（1）中的命题．

【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG＝2CF，可得+＞．

（2）方法一利用求差法比较大小，方法二：利用求商法比较大小．

【解答】解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，

∴+＞．

故答案为：+＞．

（2）方法一：∵+﹣＝＝，

∵n＞1，

∴n（n﹣1）（n+1）＞0，

∴+﹣＞0，

∴+＞．

方法二：∵＝＞1，

∴+＞．

【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．