2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：核心母题二

  核心母题二　相似三角形【核心母题】如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.【知识链接】 相似三角形的性质与判定．【母题分析】先证得＝，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．【母题解答】          　　　　　　　　　　　　角度一 条件开放型子题1：如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)【子题分析】 根据相似三角形的判定方法解答即可．【子题解答】      角度二 结论开放型子题2：如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：________．【子题分析】 利用平行四边形的性质得到AD∥CE，再根据相似三角形的判定方法可得答案．【子题解答】     角度三 由判定向其性质衍生子题3：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为(     )A．8       B．12      C．14      D．16【子题分析】 直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的性质得出答案．【子题解答】       角度四 设置陷阱子题4：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【子题分析】 根据勾股定理求出BD，分PD＝DA，P′D＝P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算，本题易忽略其中一种情况而出错．【子题解答】  角度五 设置背景子题5：如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米．【子题分析】 首先证明△ABP∽△CDP，可得＝，再代入相应数据可得答案．【子题解答】     角度六 由静态向动态衍生子题6：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从B出发沿BC以2 cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1 cm/s的速度向A移动，若P，Q分别从B，C同时出发，设运动时间为t s，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？【子题分析】 分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【子题解答】        角度七 与其他知识综合子题7：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为(     )A．5    B．4    C．3    D．2【子题分析】 先判断出△ABC与△DEB相似，求出BD，最后用勾股定理即可得出结论．【子题解答】          模型一 A字型子题8：如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，该条件为____________________________．子题9：如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(     )A．2      B．4      C．6      D．8模型二 8字型已经存在一组等角(对顶角)子题10：如图，已知AB∥CD，若＝，则＝________.子题11：如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(     )A．AO·CO＝BO·DO       B.＝C．∠A＝∠D          D．∠B＝∠C模型三 双垂直型有一个公共角，有三个直角．子题12：如图，△ABC的高AD，BE交于点F.写出图中所有与△AFE相似的三角形，并选择一个进行证明．         模型四 一线三垂直型一线三垂直常存在的背景图形：子题13：如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.       子题14：如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任意一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形(     )A．6对      B．5对      C．4对     D．3对类型五 一线三等角型需满足∠B＝∠ACE＝∠D.子题15：如图，等边△ABC中，边长为5，点D，E，F，分别在BC，AB，AC上，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，FC＝3时，求BE的长．        参考答案【核心母题突破】【核心母题】∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，∴＝＝1.2，＝＝1.2，∴＝.∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.【母题衍生角度】角度一子题1: DF∥AC(答案不唯一)理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD.故答案为DF∥AC(答案不唯一)．角度二子题2: ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF.故答案为△ADF∽△ECF(答案不唯一)．角度三子题3: ∵在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC.∵＝，∴＝.∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为16.故选D.角度四子题4: 如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝10.当PD＝DA＝8时，BP＝BD－PD＝2.∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，解得PE＝.当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′＝CD＝3.故答案为或3.角度五子题5: 如图，由题意可得∠APE＝∠CPE，∴∠APB＝∠CPD.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝.∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，∴＝，得CD＝8米．故答案为8.角度六子题6: CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，∴＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝或时，△CPQ与△CBA相似．角度七子题7: 在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5.如图，连接BE，∴∠BAC＝∠EDB.∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∵BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，∴△ABC∽△DEB，∴＝，即＝，∴DB＝3.在Rt△ABD中，AD＝＝2.故选D.【母题衍生模型】模型一子题8: ∠D＝∠C(答案不唯一)子题9: B模型二子题10: 子题11: B模型三子题12: 解：与△AFE相似的三角形有：△BFD，△ACD，△BCE.选择求证：△ACD∽△AFE.证明：∵△ABC的高AD，BE交于点F，∴∠ADC＝∠AEF＝90°.∵∠CAD＝∠FAE，∴△ACD∽△AFE.模型四子题13: 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG.子题14: A模型五子题15: (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠EDF＋∠CDF＝∠B＋∠BED，∠EDF＝60°，∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD.(2)解：∵等边△ABC中，边长为5，BD＝1，∴CD＝BC－BD＝4.∵△BDE∽△CFD，∴＝，∴BE＝.