2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：9专题九 圆的综合题

  专题九　圆的综合题类型一 与三角形结合 (2019·广东)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.(1)求证：ED＝EC；(2)求证：AF是⊙O的切线；(3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．【分析】 (1)由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；(2)连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，得到证；(3)证△ABE∽△CBA得AB2＝BC·BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG.【自主解答】     1．(2019·中山模拟)如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且C是的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若＝，求证：AE＝AO；(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD＝2，求AD的长．      2．(2019·广东模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan D＝，求的值；(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．    类型二 与四边形结合 (2019·禅城区二模)如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A，B，C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.(1)证明：AB＝CE；(2)证明：DC与⊙O相切；(3)若⊙O的半径r＝5，AB＝8，求sin∠ACE的值．【分析】 (1)由平行四边形的性质和圆的内接四边形可得∠D＝∠B＝∠DEC，即可得CD＝CE＝AB；(2)由垂径定理可得CF⊥AB，即可证DC与⊙O相切；(3)连接OE，OA，过点C作CN⊥AD于点N，过点O作OM⊥AE于点M，由勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质即可得解．【自主解答】     3．(2019·空港经济区一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E.点F为CD延长线上一点，且DF＝BC.(1)证明：AC＝AF；(2)若AD＝2，AF＝＋1，求AE的长；(3)若EG∥CF交AF于点G，连接DG.证明：DG为⊙O的切线．    4．(2019·霞山区一模)如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD，BA交于点E，连接AC，BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB.(1)求证：AH是⊙O的切线；(2)若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；(3)若＝，求证：CD＝DH.
  参考答案类型一【例1】 (1)如图，∵AB＝AC，∴∠1＝∠3.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∴ED＝EC.(2)如图，连接OA，OB，OC，∵OB＝OC，AB＝AC，∴AO是BC的垂直平分线，∴AO⊥BC.∵由(1)已证∠2＝∠3，∴AB∥DF.∵AB＝AC＝CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∴AO⊥AF，∴AF是⊙O的切线．(3)如图，连接AG，∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5.∵G是△ADC的内心，∴∠7＝∠8.∵∠BAG＝∠5＋∠7，∠6＝∠1＋∠8，∴∠BAG＝∠6，∴AB＝BG.∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BE·BC＝25，∴AB＝5，∴BG＝5.跟踪训练1．(1)证明：如图，连接OC，AC，CG.∵C是的中点，∴AC＝CG，＝，∴∠ABC＝∠CBG.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBG，∴OC∥BG.∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线． (2)解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，∴＝＝，∴＝＝＝.∵OA＝OB，∴AE＝OA.(3)解：如图，过A作AH⊥DE于H.由(2)知∠E＝30°，∴∠EBD＝60°，∴∠CBD＝∠EBD＝30°.∵CD＝2，∴BD＝6，DE＝6，BE＝12，∴AE＝BE＝4，∴AH＝2，∴EH＝2，∴DH＝4.在Rt△DAH中，AD＝＝2.2．(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线．(2)解：如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO＋∠OCD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠DCO.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ADC.∵∠CAE＝∠DAC，∴△ACE∽△ADC，∴＝.∵tan D＝，∴＝，∴＝.(3)解：由(2)知＝，设AE＝x，AC＝2x.∵△ACE∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AE·AD，∴(2x)2＝x(x＋6)，解得x＝2或x＝0(不合题意，舍去)，∴AE＝2，AC＝4.由(1)知AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，∴＝＝.设BF＝a，则BC＝，BO＝BC－OC＝－3.在Rt△BOF中，BO2＝OF2＋BF2，∴(－3)2＝32＋a2，解得a＝或a＝0(不合题意，舍去)，∴AB＝AF＋BF＝.类型二【例2】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC.∵四边形ABCE是圆的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∴∠D＝∠DEC，∴CD＝CE，∴AB＝CE.(2)如图，连接CO，并延长CO交AB于F.∵AC＝BC，∴＝，且CO是半径，∴CF⊥AB，AF＝BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且CF⊥AB，∴CF⊥CD，且CO是半径，∴DC与⊙O相切．(3)如图，连接OE，OA，过点C作CN⊥AD于点N，过点O作OM⊥AE于点M，∵AF＝BF，AB＝8，∴AF＝BF＝4，且AO＝5，CF⊥AB，∴OF＝＝3，∴CF＝CO＋OF＝8，∴AC＝＝4，∴AC＝BC＝AD＝4.∵∠B＝∠D，∠CND＝∠CFB＝90°，∴△CDN∽△CBF，∴＝，∴DN＝.∵CD＝CE，CN⊥DA，∴DN＝EN＝，∴AE＝AD－DN－EN＝.∵OE＝OA，OM⊥AD，∴AM＝EM＝AE＝，∠EOM＝∠AOE.∵∠ACE＝∠AOE，∴∠ACE＝∠EOM，∴sin∠ACE＝sin∠EOM＝＝.跟踪训练3．(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADF.在△ABC和△ADF中，∴△ABC≌△ADF，∴AC＝AF.(2)解：由(1)得，AC＝AF＝＋1.∵AB＝AD，∴＝，∴∠ADE＝∠ACD.∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴AE＝＝＝＝2－2.(3)证明：∵EG∥CF，∴＝＝1，∴AG＝AE.由(2)得＝，∴＝.∵∠DAG＝∠FAD，∴△ADG∽△AFD，∴∠ADG＝∠F.∵AC＝AF，∴∠ACD＝∠F.又∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ADG＝∠ABD.∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＋∠BDA＝90°，∴∠ADG＋∠BDA＝90°，∴GD⊥BD，∴DG为⊙O的切线．4．(1)证明：如图，连接OA.由圆周角定理得∠ACB＝∠ADB.∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB.∵BD是直径，∴∠DAB＝∠DAE＝90°.在△DAB和△DAE中，∴△DAB≌△DAE，∴AB＝AE.又∵OB＝OD，∴OA∥DE.又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线．(2)解由(1)知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，∴∠E＝∠ACD，∴AE＝AC＝AB＝6.在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝.(3)证明：由(2)知，OA是△BDE的中位线，∴OA∥DE，OA＝DE，∴△CDF∽△AOF，∴＝＝，∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE.∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝HE＝CE，∴CD＝CH，∴CD＝DH.