2020年中考数学 第一轮复习 课时 17相交线、平行线学案（无答案）

初三中考第一轮复习

课题17 相交线、平行线

【知识点一】相交线

（1）对顶角的性质：对顶角相等.

（2）垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线相互垂直.其中一条直线叫另一直线的垂线．

垂线性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短．

【解题突破口】

当题目中有“高”或“直角”或“垂直”时，可以联想到

①     直角三角形两个锐角互余。

②     勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：在三角形△ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边是a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么，△ABC是直角三角形。

③     等腰三角形的三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合一。

④     直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

⑤     在直角三角形中，如果有个锐角是30°，那么这个角所对的边等于斜边的一半。

⑥     射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。斜边乘以斜边上的高等于两直角边的积。

⑦     三角函数：正弦（sin）:角α的对边比斜边；余弦（cos）:角α的邻边比斜边；正切（tan）:角α的对边比邻边。

⑧     直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

⑨     垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。

⑩ 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线的判定定理：过半径外端且垂直于该半径的直线与圆相切。

【精练精讲】

1.（2018·德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是（     ）

A． 图①   B．图②    C．图③   D．图④

2.（2018·益阳）如图，直线AB,CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是（    ） 

A.∠AOD=∠BOC      B.∠AOE+∠BOD=900      C.∠AOC=∠AOE      D.∠AOD+∠BOD=1800

（2）                （3）

3.（2018·张家界） 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠B的度数为______．

4.如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B’处，得到折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A’处，得到折痕EN．

(1)判断直线EN，ME的位置关系，并说明理由；

(2)设∠MEN的平分线EP交边CD于点P，∠MEN的一条三等分线EQ交边CD于点Q.求∠PEQ的度数。

5.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_________ （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：

∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由。

.

【知识点二】平行线

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

推论：如果两条直线都与第三题直线平行，那么这两条直线也互相平行

（2）平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行的传递性； ⑤ 平行线分段段成比例

（3）平行线的判定方法：①、同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；

（4）两平行线间的距离处处相等．

【解题突破口】

当题目中有“平行”时，可以联想到：

①     同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

②     平行四边形和梯形。

③     角平分线与平行线能得等腰三角形。

④     平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理。

⑤ 三角形相似。

【精练精讲】

1.（2018·仙桃）如图，AD∥BC，∠C30°，∠ADB︰∠BDC1︰2，则∠DBC的度数是 （   ）  　 

A．30° B．36° C．45° D．50°

（1）   （2）（3）

2. （2018·菏泽）如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1＝30°，则∠2的度数是（   ）

A．45°    B．30°    C．15°    D．10°

3.（2018·恩施）如图所示，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的度数为______

4.（2018·南通）如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝________度．

（4）（5）（6）

5.（2018·淮安） 如图，三角形板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1=35°，则∠2 的度数是______

6.(2018·广安)一个大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝______度．

7.（2018·泰州市）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为        .（用含α的式子表示）

8.（2018·南通）如图，∠AOB=40°,OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，求∠DCE度数．

【知识点三】命题，互逆命题，反证法

（1）判断一件事物的语句叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．判断命题真假的一般方法是：若一个命题是真命题，必须通过证明才能确定；若一个命题是假命题，则只需举出一个反例即可．

（2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题设是另一个命题的题设和结论，则称它们为互逆命题。

（3）先提出与结论相反的假设，后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，从而证明了命题的结论一定成立．这种证明的方法称之为“反证法”

【精练精讲】

1. （2018·张家界） 下列命题中,正确的是 (    )

A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等   B.对角线相等的平行四边形是正方形

C.相等的角是对顶角                      D.角平分线上的点到角两边的距离相等

2.（2019•百色）下列四个命题：

①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直

其中逆命题是真命题的是（　　）

A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①

3.(2017·无锡)对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(　　)

A．a＝3，b＝2  B．a＝－2，b＝2

C．a＝3，b＝－1  D．a＝－3，b＝1

4.（2018·北京）若用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，则这组值可以举例为：_____，______，_______．　

5.（2019•泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是　   　（填“真命题”或“假命题”）．

6．（2019•安徽）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　   　．

【课后训练】

一、选择题

1. (2018·邵阳)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为(　　)

A．20° 　　　 B．60°  　　C．70°  　　D．160°

（1）            （2）

2.（2018·深圳） 如图，直线a、b被c、d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（   ）

A．∠1＝∠2    B．∠3＝∠4   C．∠2＋∠4＝180°   D．∠1＋∠4＝180°

3.（2018·宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（    ）

     A．                 B．                C．               D．

4.（2018·陕西）如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

（4）      （5）

5. (2018·常德)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（     ）

A．6  B．5  C．4  D．3

6.（2018·东营市）下列图形中，测得到∠1＝∠2的是（）

7.(2018·自贡) 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若∠1＝55°，则∠2的度数是

 A．50°     B．45°    C．40°    D．35°

（7）              （8）

8.如图∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D 为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP中截取OM=6，则M点到OB的距离为(      )

A．6                B．2               C．3                D．3

二、填空题

1.（2018•昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为　   　．

（1）   （2）   （3）

2.（2018·淄博）如图，直线a∥b，若∠1＝140°，则∠2＝__________度.

3.（2019•广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　   　cm．

4.（2018·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O， ∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为_______．

（4）（5）（6）

5.（2019•阜新）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝50°，则∠D的度数为　   　．

6．（2019•娄底）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为　   　．

7．（2019•大连）如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝　   　°．

（7）  （8）    （9）

8. (2018·永州)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC＝____________．

9.（2019•长春）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为　   　度．

10.（2019•齐齐哈尔）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为　   　

（10）（11）（12）

11.（2019•扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝　   　°．

12．（2019•菏泽）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是　   　．

13.（2018•辽阳）将一张矩形纸条与一块三角板如图放置，若∠1＝36°，则∠2＝　   　．

（13）（14）（15）

14．（2018•广元）如图，∠A＝22°，∠E＝30°，AC∥EF，则∠1的度数为　   　．

15.（2018·聊城） 如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是______

三、解答题

1.已知：射线OC在的内部，，，平分．

（1）如图，若点，，在同一条直线上，OD是内部的一条射线，请根据题意补全图形，并求的度数；

（2）若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．

2.（2018·重庆A）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．

3. （2018·益阳）如图，AB∥CD,∠1＝∠2,求证：AM∥CN.

4.（2018·仙桃）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．

（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；

（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．