2020年人教版中考数学专题复习：圆 导学案

2020年中考数学人教版专题复习：圆
一、教学内容
1. 圆的有关概念和性质．
2. 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判定．
3. 两圆相切、相交的性质．
4. 弧长、扇形面积的计算公式．
5. 圆锥的侧面展开图．

二、知识要点
1. 圆的对称性
圆是旋转对称图形，中心为圆心，它既是轴对称图形又是中心对称图形．由于圆的旋转对称性，所以在一个圆中，圆心角、弦、弧这三组量如果有一组量相等，则其余两组量也相等（如图①所示）．
由于圆的轴对称性，所以沿直径所在直线折叠，左右两部分重合，同时圆的轴对称性与等腰三角形有着密切的关系（如图②所示）．

2. 和圆有关的结论
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆（如图③所示）．
在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（如图④所示）．
3. 与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系有：点在圆外、在圆上和在圆内（如图⑤所示）；
直线和圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交（如图⑥所示）；

圆的圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含（如图⑦所示）．
从量的角度描述以上三种位置关系，都用半径和距离做比较．

4. 三角形的内心，外心
不在同一直线上的三点确定一个圆．
三角形的外心是三边垂直平分线的交点．（如图⑧所示）
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心．三角形内心是三角形三条角平分线的交点．（如图⑨所示）

5. 直线和圆相切
定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切．
性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长：切线上的一点与切点之间线段的长叫做切线长．
切线长性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
6. 弧长和扇形面积
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么弧长公式为l＝．
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如果设圆心角是的扇形的面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积公式为S＝或S＝lr（l为扇形的弧长）．
7. 圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，扇形圆心角的度数为n°，则有πrl＝，2πr＝．

三、重、难点
重点要掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题．难点是切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题．

四、考点分析[来源:Zxxk.Com][来源:Z.xx.k.Com]
圆的有关性质与圆的有关计算是近几年全国各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解题、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分．所考查的知识点通常有：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似三角形、三角函数的综合运用．

【典型例题】
例1. 选择题
（1）如图所示，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，，30°，则∠PAQ的大小为（ ）

A．10° B．20° C．30° D．40°
解析：设量角器的圆心角为O，连接PO，QO，知∠POQ＝70°－30°＝40°，而∠PAQ为所对的圆周角，为∠POQ的一半，所以∠PAQ＝∠POQ＝×40°＝20°．
（2）一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
A．9π B．18π C．27π D．39π
解析：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，则＝2πr，∴R＝2r，∵R2＝r2＋（3）2，即（2r）2＝r2＋27，∴r＝3，R＝6，∴S侧＝＝18π．故选B．
（3）如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A、C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（－5，4） C．（－4，6） D．（－4，5）

解析：如图所示，作ME⊥x轴于点E，并反向延长交AB于点D，连接MA，∵点A（0，8），∴DE＝AB＝8，∴AD＝AB＝4．∵⊙M与x轴相切，∴点E是切点，OE＝AD＝4，MA＝ME．∵在Rt△ADM中，MD2＋AD2＝MA2，∴（8－ME）2＋42＝ME2，∴ME＝5，∴点M（－4，5），故选D．

例2. 填空题
（1）如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD的中心经过的路线长是__________cm．

解析：依题意，知正方形ABCD的中心经过的路线长为3个圆弧长，其半径为4，利用弧长公式可得三段弧长之和为6π，即正方形ABCD的中心经过的路线长是6πcm．
（2）如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC．其中正确的结论的序号是__________．

解析：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，BD＝DC．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°－∠BAC＝45°，∴∠EBC＝22.5°．在△ABE中，∵∠ABE＝∠A，∴AE＝BE，而BE＜BC，∴AE＜BC，AE≠2EC．∵∠ABE＝2∠EBC，∴劣弧是劣弧的2倍．因此正确结论的序号是①②④．
（3）已知⊙O的半径等于5cm，弦AB＝6cm，CD＝8cm，且AB∥CD，则AB、CD之间的距离为__________．

解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB与CD位置有两种，如图①和②．在图①中，连接OA、OC，作OF⊥CD于F，交AB于E，则AE＝AB＝3（cm），CF＝CD＝4（cm），由勾股定理得OE＝＝＝4，OF＝＝＝3，所以EF＝OE－OF＝4－3＝1（cm），同理在图②中，EF＝OE＋OF＝4＋3＝7（cm）．故AB、CD之间的距离为1cm或7cm．

例3. 如图所示，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交于D，连接AC．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CB＝8，ED＝2，求⊙O的半径．

解：（1）不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②BD＝CD；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC等等．（注：BE＝CE与BC＝2BE或CE＝BC是同一类型，以上任取两个类型结论即可）
（2）∵OD⊥CB，∴BE＝CE＝CB＝4．
设圆半径等于R，则OE＝OD－DE＝R－2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得，OE2＋BE2＝OB2，
即（R－2）2＋42＝R2，解得R＝5，
∴⊙O的半径为5．
评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的距离这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解．

例4. 如图所示，A是以BC为直径的⊙O上的一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF＝EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线．

证明：（1）∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴＝，＝，∴＝，
∵G是AD的中点，∴DG＝AG，
∴BF＝EF．

（2）连接AO、AB．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜边BE的中点，
∴AF＝FB＝EF．
∴∠FBA＝∠FAB．
又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．
∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°，
∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线．
评析：证明一直线是圆的切线时，常用到“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这一方法．具体应用时又有两种不同的辅助线作法：①已知点在圆上（即点经过半径的外端），此时连接该点和圆心证垂直（如本例）．②不知点是否在圆上，常过圆心引该直线的垂线，证明垂线段等于半径．

例5. 如图所示，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD＝∠A＝30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC，线段CD和BD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
分析：可以直观地判断直线CD与⊙O相切．理由就是想办法证明OC⊥CD，根据∠BCD＝∠A＝30°可以判断△OBC是正三角形，可求出∠OCD＝90°，从而得到证明．至于阴影部分的面积可以利用间接法求得，即求出Rt△OCD的面积，再减去扇形OBC的面积．

解：直线CD与⊙O相切，理由如下：
在⊙O中，∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°．
又∵OB＝OC，∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB＝60°．
又∵∠BCD＝30°，∴∠OCD＝60°＋30°＝90°．
∴OC⊥CD．
又∵OC是半径，∴直线CD与⊙O相切．
（2）由（1）得△COD是直角三角形，∠COB＝60°．
∵OC＝1，∴CD＝．
∴S△COD＝OC·CD＝．
又∵S扇形OCB＝π，
∴S阴影＝S△COD－S扇形OCB＝－π＝．

【方法总结】
1. 利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、圆心距和弦的一半组成的直角三角形求解．由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．
2. 证明直线与圆相切，一般有两种情况
（1）已知直线与圆有公共点，这时连接圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直．
（2）不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等．

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、选择题
1. 下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．
A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①②⑤ D. ②④⑤
2. 如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（ ）
A. 80° B. 50° C. 40° D. 20°

3. 如图所示，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A. 150° B. 200° C. 180° D. 240°

4. 如图所示，已知线段AB＝8cm，⊙P与⊙Q的半径均为1cm．点P、Q分别从A、B出发，在线段AB上按箭头所示方向运动．当P、Q两点未相遇前，在下列选项中，⊙P与⊙Q不可能出现的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
5. 如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 5

6. 如图所示，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是（ ）
A. 30≤x≤60 B. 30≤x≤90 C. 30≤x≤120 D. 60≤x≤120

*7. 如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上一点，且△EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]

A. 4－ B. 4－ C. 8－ D. 8－
**8. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°

二、填空题
1. 如图所示，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A、B间的距离为80cm，两车轮的直径分别为136cm、16cm，则两车轮的圆心相距__________．

2. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为__________．

3. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝__________．

4. 如图所示，A、B、C、D是⊙O上四点，且D是的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，∠OEC＝__________度．

5. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是__________．

6. 如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝AB，PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则∠D的度数为__________．

7. 如图所示，已知点E是⊙O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝，则∠AED的度数为__________．

**8. 如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝__________．


三、解答题
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．
（1）求证MN是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝120°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．

2. 如图所示，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

*3. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．

**4. 如图所示，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．
（1）如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．




【试题答案】
一、选择题
1. B
2. D(解析：连接OF，∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∴＝，∴∠EOD＝∠DOF，∴∠DCF＝∠DOF＝20°．）
3. B(解析：圆锥模型侧面展开扇形纸片的弧长是2πr＝2π×＝10π（cm），由弧长公式l＝得10π＝，n＝200°）
4. D
5. A(解析：连接OA、OB，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴在Rt△AOB中，OA＝OB＝2）
6. A(解析：∵当B点与O点重合时，∠POF＝30°；当B点与E点重合时，∠POF＝2×30°＝，∴30≤x≤60，故选A）
7. B(解析：连接AD，因为BC为⊙A的切线，D为切点，所以AD⊥BC．又由∠BAC＝2∠EPF＝2×40°＝80°，∴S扇形EAF＝＝π，∴S阴影＝S△ABC－S扇形EAF＝×BC×AD－π＝4－π）
8. C(解析：∵I为△ACD内切圆圆心，∴∠IAC＝∠BAC，∠ICA＝∠ACB，∵CD⊥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝90°，∴∠IAC＋∠ICA＝45°，∴∠AIC＝135°．∵AB＝AC，且⊙I与AB、AC相切，∴∠BAI＝∠CAI，∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB＝∠AIC＝135°）


二、填空题
1. 100cm(解析：如图所示，作O1C⊥O2B于C，在Rt△O1O2C中，O1C＝AB＝80cm，O2C＝O2B－O1A＝－＝60cm，由勾股定理得O1O2＝100cm）

2. 55°(解析：连结BC，∠ADC＝∠ABC＝90°－∠CAB＝55°）
3. 28°
4. 80(解析：由题意知∠BCD＝25°，∠OEC＝∠B＋∠BCD＝80°）
5. 4(解析：连结CE，∵CF＝2，∴CG＝4，∴FD＝6．又∵△ADF∽△CEF，∴＝，∴EF＝＝4）
6. 30°(解析：连接OC，则BC＝OP＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠D＝30°）
7. 69°(解析：∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∴＝＝．又知∠BOC＝46°，∴∠AOD＝3×46°＝138°，∴∠AED＝∠AOD＝69°）
8. 6(解析：设大圆圆心为点O，作连心线交AB于点E，根据圆的对称性△OAE为直角三角形，则OA2＝（PE－OP）2＋（AB）2，即52＝（AB＋3－5）2＋（AB）2，解得AB＝6）


三、解答题
1.（1）证明：连接OM．证OM∥AC．（2）连接AM．由题意可得OM＝1，MB＝MC＝，MN＝，CN＝，AN＝AC－CN＝2－＝，S梯形ANMO＝＝，S扇形OAM＝＝，∴S阴影＝．
2.（1）解法一：如图①所示，过O作OE⊥AB于点E，则AE＝AB＝2．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cos30°＝．∴OA＝＝4．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°．∵AC⊥BD，∴＝．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴S阴影＝＝π·42＝π．解法二：如图②所示，连结AD．∵AC⊥BD，AC是直径．∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，BF＝FD．∵＝，∴∠BAD＝2∠BAC＝，∴∠BOD＝120°．∵BF＝AB＝2，sin60°＝，AF＝AB·sin60°＝4×＝6．∴OB2＝BF2＋OF2，即（2）2＋（6－OB）2＝OB2．∴OB＝4．∴S阴影＝S圆＝π．解法三：如图③所示，连结BC．∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．∵AB＝4，∴AC＝＝＝8．∵∠A＝30°，AC⊥BD，∴∠BOC＝60°，∴∠BOD＝120°．∴S阴影＝π·OA2＝×42·π＝π．

（2）设圆锥的底面圆半径为r，2πr＝π·4．解得r＝．
3.（1）连结OA．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°．∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．
4.（1）当∠POA＝90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或．设点P运动的时间为t s．当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π·t＝·2π·12．解得t＝3；当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π·t＝·2π·12．解得t＝9．∴当∠POA＝90°时，点P运动的时间为3s或9s．（2）如图所示，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm．连结OP、PA．∵⊙O的周长为24πcm，∴的长为⊙O周长的．∴∠POA＝60°．∵OP＝OA，∴△OAP是等边三角形．∴OP＝OA＝AP，∠OAP＝60°．∵AB＝OA，∴AP＝AB．∵∠OAP＝∠APB＋∠B，∴∠APB＝∠B＝30°．∴OP⊥BP．∴直线BP与⊙O相切．