北师大版八年级下册1 等腰三角形优质课件ppt

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1.会证明等腰三角形的判定定理并能借助等腰三角形的判定定理解决实际问题.(重点)2.结合实例体会反证法的含义.(难点)
一、等腰三角形的判定定理如图,在△ABC中,∠B=∠C.【思考】1.AB与AC有何关系?提示:AB=AC.
2.如何证明思考1的结论?提示:作AD平分∠BAC,交BC于点D.∵∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC.3.你还能用其他方法证明思考1的结论吗?提示:作AD⊥BC于D,证明△ABD≌△ACD(AAS).
【总结】等腰三角形的判定定理:有两个角_____的三角形是等腰三角形,简述为___________.
二、用反证法证明的三个步骤(1)假设命题的_____不成立.(2)从假设出发,推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件_______的结果.(3)说明假设不正确,从而证明命题的结论一定成立.
(1)有两个外角相等的三角形是等腰三角形.　( )(2)有一个角是45°的直角三角形是等腰三角形.　( )(3)有一个角是60°的三角形一定是等腰三角形.　( )(4)∠A<30°的反面是∠A>30°.　( )
知识点 1 等腰三角形的判定 【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有(　　)A.5个　　　B.6个　　　C.7个　　　D.8个
【思路点拨】AB=AC,∠A=36°→∠ABC,∠ACB→角平分线→∠ABD,∠CBD,∠ACE,∠BCE→等角对等边→等腰三角形的判断
【自主解答】选D.设CE与BD的交点为点O,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB,再根据三角形内角和定理知,∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°,∵BD是∠ABC的角的平分线,∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°=∠A,∴AD=BD,同理,∠A=∠ACE=∠BCE=36°,AE=CE,∵∠DBC=36°,∠ACB=72°,
根据三角形内角和定理知,∠BDC=180°-72°-36°=72°,∴BD=BC,同理CE=BC,∵∠BOC=180°-36°-36°=108°,∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°,∴△ABC,△ADB,△AEC,△BEO,△COD,△BCE,△BDC,△BOC都是等腰三角形,共8个.
【总结提升】证明等腰三角形的方法(1)定义法:证明三角形中有两条边相等.(2)等角对等边:证明三角形中有两个角相等.
知识点 2 反证法的应用 【例2】已知:△ABC的三个内角分别是∠A,∠B,∠C.求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个直角.【解题探究】(1)根据用反证法证明的步骤,第一步应假设什么?提示:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角.(2)如果我们假设∠A=∠B=90°,那么∠A,∠B,∠C的和会出现什么情况?提示:∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.
(3)你刚刚得到的结论与哪个定理矛盾?这说明了什么?提示:这与三角形内角和定理矛盾,说明假设不正确.(4)由(3)从而说明原结论正确,即∠A,∠B,∠C中不能有两个直角.【互动探究】如果把求证改为“∠A,∠B,∠C至少有两个内角是锐角”,应如何假设?提示:假设∠A,∠B,∠C中最多有一个角是锐角.
【总结提升】利用反证法证明的“三步法”
题组一:等腰三角形的判定1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是　(　　)A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【解析】选C.∵AB=AC,∠ABC=36°,∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°,∴∠BAE=∠AEB=∠ADC=∠DAC=72°,∴等腰三角形:△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6个.
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D.请你再添加一个条件,就可以确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是　　　　　.【解析】添加的条件可以是BD=CD.∵BD=CD,AD⊥BC,AD是公共边,∴△ABD≌△ACD,∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.答案:BD=CD(答案不唯一)
3.如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD=　　　　.【解析】∵∠BAC=100°,∠B=40°,∴∠ACB=40°,∵∠D=20°,∴∠CAD=20°,∴CD=AC=AB=3.答案:3
4.如图,△ABC中,BC∥AM,D是CA延长线上的一点,且∠B=∠DAM.求证:△ABC是等腰三角形.【证明】∵BC∥AM,∴∠C=∠DAM,∵∠B=∠DAM,∴∠B=∠C,∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
5.在折纸游戏中,将一条两边互相平行的纸带如图折叠,小明在游戏中发现:不管折叠角度∠CPB是锐角、直角或钝角,△PEF始终是等腰三角形.你认为他的发现对吗?请说明理由.【解析】正确.由折叠,得∠PEF=∠FEC′.又∵BD′∥AC′,∴∠FEC′=∠PFE,∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF,∴△PEF是等腰三角形.
6.如图,AD和BC交于点O,AB∥DC,OA=OB,试说明△OCD是等腰三角形.【解析】∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,又∵OA=OB,∴∠A=∠B,∴∠C=∠D,∴OC=OD,∴△OCD是等腰三角形.
题组二:反证法的应用1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中　(　　)A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°【解析】选C.用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,应先假设三角形中每一个内角都大于60°.
2.用反证法证明命题:“如图,如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”,证明的第一个步骤是　(　　)A.假定CD∥EF B.假定CD不平行于EFC.已知AB∥EF D.假定AB不平行于EF【解析】选B.用反证法证明命题“如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”的第一步应是:从结论反面出发,假定CD不平行于EF.
3.选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设(　　)A.∠A>45°,∠B>45° B.∠A≥45°,∠B≥45°C.∠A<45°,∠B<45° D.∠A≤45°,∠B≤45°【解析】选A.用反证法证明“∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设∠A>45°,∠B>45°.
4.用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角.【证明】假设等腰三角形的底角不是锐角,则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等,则两个底角的和大于或等于180°.则该三角形的三个内角的和一定大于180°,这与三角形的内角和定理相矛盾,故假设不成立.所以等腰三角形的底角是锐角.
5.求证:在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.【证明】假设它们所对的边相等,则根据等腰三角形的性质定理,“等边对等角”知它们所对的角也相等,这就与题设两个角不等相矛盾,因此假设不成立,故原结论成立.
【想一想错在哪？】已知:△ABC,求证:∠A,∠B,∠C中至少有 一个角大于或等于60度.提示:假设时出现错误,“至少有一个”的反面是“一个也没有”.
习题1.3 1-4题