初中数学4 角平分线获奖ppt课件

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1.能够证明角平分线的性质定理、判定定理.(重点)2.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.(难点)3.能够利用尺规作已知角的平分线.(重点)
一、角平分线的性质与判定如图,已知DB⊥AB,DC⊥AC,
【思考】1.如果∠1=∠2,那么BD=CD吗?为什么?提示:BD=CD.∵∠1=∠2,DB⊥AB,DC⊥AC,∴∠DBA=∠DCA=90°.又∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD.
2.如果BD=CD,那么∠1=∠2吗?为什么?提示:∠1=∠2.∵BD=CD,AD=AD,DB⊥AB,DC⊥AC,∴∠DBA=∠DCA=90°,∴△ABD≌△ACD(HL),∴∠1=∠2.
【思考】1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离_____.2.角平分线的判定定理:在一个角的_____,且到角的两边距离_____的点,在这个角的平分线上.
二、用尺规作角的平分线已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:1.在OA和OB上分别截取OE,OD,使______.2.分别以点D,E为圆心、以 长为半径作弧,两弧在∠AOB___交于点C.3.作射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.
(1)角的平分线就是角的对称轴.　( )(2)到角的两边距离相等的点有无数个.　( )(3)到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.( )(4)角平分线上的任一点与角两边的连线相等.　( )
知识点 1 角平分线的性质和判定 【例1】(2013·湘西州中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长.(2)求△ADB的面积.【思路点拨】(1)AD平分∠CAB→角平分线的性质→CD=DE(2)在Rt△ABC中→勾股定理→AB→△ADB的面积
【自主解答】(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3.(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB==10,∴△ADB的面积为S△ADB= AB·DE= ×10×3=15.
【总结提升】角平分线性质及判定定理的应用
知识点 2 作一个角的平分线 【例2】(2012·呼伦贝尔中考)在图中求作一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等,并且使OP等于MN,保留作图痕迹并写出作法.(要求:用尺规作图)【思路点拨】到角的两边OA,OB距离相等且使OP等于MN,即作角平分线,并且在角平分线上截取OP等于MN,截点就是点P的位置.
【自主解答】作法:1.作∠AOB的平分线OE.2.在OE上截取OP=MN,点P就是所要求作的点.
【总结提升】用尺规作角的平分线的“三个应用”(1)把一个角分成2n(n为正整数)等份.(2)解决到角两边距离相等的问题.(3)结合线段的垂直平分线解决实际问题.注意:所画弧的交点要在角的内部.
题组一:角平分线的性质和判定1.如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.若OD=8,OP=10,则PE的长为(　　)A.5B.6C.7D.8【解析】选B.∵∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,∴PD=PE,由勾股定理得PD=6,∴PE=6.
2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为(　　)A.1 B.2C.3 D.4【解析】选B.过点P作PQ⊥OM,垂足为Q,则PQ为最短距离,∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PQ⊥OM,∴PA=PQ=2.
3.(2013·柳州中考)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4.AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为 　(　　)【解析】选A.∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5,∴BC边上的高=3×4÷5= ,∵AD平分∠BAC,∴点D到AB,AC的距离相等,设为h,则S△ABC= ,解得h= ,S△ABD=
4.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于　(　　)A.4 B.3C.2 D.1
【解析】选B.过P作PE⊥OA于点E,则PD=PE.∵PC∥OB,∴∠OPC=∠POD.又∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°,∴∠OPC=∠POD=∠COP=15°,∴∠ECP=∠COP+∠OPC=30°,在直角△ECP中,PE= PC=3,则PD=PE=3.
5.如图,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),在∠MON的内部,△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.求证:点P在∠MON的平分线上.
【证明】过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T,∴∠OSP=∠OTP=90°.在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°,∴∠APB=∠SPT=120°,∴∠APS=∠BPT.
又∵∠ASP=∠BTP=90°,AP=BP.∴△APS≌△BPT,∴PS=PT,∴点P在∠MON的平分线上.
【归纳整合】证明点在角平分线上的两种方法1.通过三角形全等,说明两个角相等,从而证明点在角平分线上.2.通过证明角内一点到这个角两边距离相等,说明点在角平分线上.
题组二:作一个角的平分线1.下列作法中,所得射线BD不是∠ABC的平分线的是　(　　)A.在∠ABC的边AB,BC上各取一段BE=BF,取EF的中点DB.在∠ABC内找一点D,满足点D到BC的距离等于BDC.在∠ABC内找一点D,使∠ABD=∠CBDD.在∠ABC内找一点D,使D到BC,BA的距离相等
【解析】选B.A由“SSS”得△BDE≌△BDF,∴∠EBD=∠FBD,∴BD是∠ABC的平分线;C由∠ABD=∠CBD可得BD是∠ABC的平分线;D由角平分线的判定定理可知BD是∠ABC的平分线;B条件不足,不能判定BD是∠ABC的平分线.
2.(2012·济宁中考)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是　(　　)角平分线上的点到角两边距离相等
【解析】选A.连接NC,MC,在△ONC和△OMC中,ON=OM,NC=MC,OC=OC,∴△ONC≌△OMC(SSS),∴∠AOC=∠BOC.
3.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA,OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置?请在图中标出M点的位置.【解析】作∠AOB的平分线交AB于M,即M为水厂的位置.
4.如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于 EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP交CD于点M.(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度数.(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:△ACN≌△MCN.
【解析】(1)∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°,又∵∠ACD=114°,∴∠CAB=66°.由作法可知,AM是∠CAB的平分线,∴∠MAB= ∠CAB=33°.
(2)AM是∠CAB的平分线,∴∠MAB=∠CAM.∵AB∥CD,∴∠MAB=∠CMA,∴∠CAM=∠CMA,∴AC=MC.又∵CN⊥AD,CN=CN,∴△ACN≌△MCN.
5.如图,利用尺规求作所有点P,使点P同时满足下列两个条件:①点P到A,B两点的距离相等;②点P到直线l1,l2的距离相等.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
【解析】点P1,P2为所作.
6.学校准备进一步美化校园,在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树如图,要求银杏树的位置点P到边AB,BC的距离相等,并且P到点A,D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法,保留作图痕迹).
【解析】作∠ABC的平分线和AD的垂直平分线得到交点P,即为所求点.
【想一想错在哪？】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD平分BC,求证:△ABC是等腰三角形.提示:题目中没给出∠ADB=∠ADC=90°,解题时不能直接应用,应从D点向AB,AC作垂线,利用角平分线的性质证明.