2020年中考（通用）数学二轮专题复习：一次函数的综合题 含详解


2020年中考（通用）数学二轮专题复习：一次函数的综合题
1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．
（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；
（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．
①求y与x的函数关系式；
②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．

2．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k＝．
（1）若点A（1，1），B（2，3），则△OAB投影比k的值为　 　；
（2）若点M（﹣2，0），点N（2，1）且△MNP投影比k＝，则点P的坐标可能是　 　（填写序号）；
①（﹣1，3）；②（2，﹣2）；③（3，3）；④（0，2）．
（3）已知点C（4，0），在函数y＝2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k＝3，求点D的坐标．

3．在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．
（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为　 　；
（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（﹣1，5），则点A的坐标为　 　；
（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；
（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在　 　．
4．阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．
（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．
（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；
（2）当MN∥x轴时，求t的值；
（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．

6．如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．
7．如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；
（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；
（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点F的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交y轴，x轴于A、B两点，点C在线段AB上，连接OC，且OC＝BC．（1）求线段AC的长度；
（2）如图2，点D的坐标为（﹣，0），过D作DE⊥BO交直线y＝﹣x+3于点E．动点N在x轴上从点D向终点O匀速运动，同时动点M在直线＝﹣x+3上从某一点向终点G（2，1）匀速运动，当点N运动到线段DO中点时，点M恰好与点A重合，且它们同时到达终点．
i）当点M在线段EG上时，设EM＝s、DN＝t，求s与t之间满足的一次函数关系式；
ii）在i）的基础上，连接MN，过点O作OF⊥AB于点F，当MN与△OFC的一边平行时，求所有满足条件的s的值．

10．建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．
模型应用：
（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．

11．如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．
（1）求出点A，点B的坐标．
（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．
（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

12．如图1，已知线段AB与点P，若在线段AB上存在点Q，满足PQ≤AB，则称点P为线段AB的“限距点”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy（2）中，若点A（﹣1，0），B（1，0）
①在C（0，2）2，D（﹣2，﹣2），中，是线段AB的“限距点”的是　 　；
②点P是直线y＝x+1上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标xP的取值范围．
（2）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，1），B（t，﹣1），直线y＝与x轴交于点M，与y轴交于点N．若线段MN上存在线段AB的“限距点”，请求出t的取值范围．
13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）点P是线段AB上的一点，当S△AOP：S△AOB＝2：3时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求△APC的面积，并直接写出点C的坐标．

14．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．

15．如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．
（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是　 　，OP所在的直线是　 　，当点P在C点时，A′点的位置关系是　 　，OP所在的直线表达式是　 　．
（2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．
（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使△DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


























参考答案
1．解：（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，
∴点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（m，m+2），
①∵M是点D、E的“美妙点”．
∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，
故m＝x﹣3，
∴y＝（x﹣3）+6＝x+3；

②由①得，点M（9+3m，m+6），
如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4），
∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；
∴点D（﹣2，）；

当∠MFE是直角时，如图2，
则9+3m＝m，解得：m＝﹣，
∴点D（﹣，）；
当∠EMF是直角时，不存在，
综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．
2．解：（1）如图2，
过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，则矩形OCBD为△OAB的投影矩形，
∵点B（2，3），
∴OC＝2，BC＝3，
∴△OAB投影比k的值＝．
（2）如图3，
①点P的坐标为（﹣1，3）时，
△MNP投影比k＝；
②点P的坐标为（2，﹣2）时，
△MNP投影比k＝；
③点P的坐标为（3，3）时，
△MNP投影比k＝；
④点P的坐标为（0，2）时，
△MNP投影比k＝＝2．
则点P的坐标可能是①（﹣1，3）；②（2，﹣2）；
（3）∵点D为函数y＝2x﹣4（其中x＜2）的图象上的点，
设点D坐标为（x，2x﹣4）（x＜2）．
分以下两种情况：
①当0≤x≤2时，如图4所示，
作投影矩形OMNC．
∵OC≥OM，
∴k＝＝＝＝3，
解得x＝，
∴D（，﹣）；
②当x＜0时，如图5所示，
作投影矩形MDNC．
∵点D坐标为（x，2x﹣4），点M点坐标为（x，0），
∴DM＝|2x﹣4|＝4﹣2x，MC＝4﹣x，
∵x＜0，
∴DM＞CM，
∴k＝＝＝3，解得x＝8．
∴当x＜0时，满足条件的点D不存在．
综上所述，点D的坐标为D（，﹣）．
故答案为：；①②．




3．解：（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），
故答案为（2，4）；
（2）设点A坐标为（x，y），
由题意可得：，
∴，
∴点A坐标为（2，1）；
（3）∵点A（x，0），
∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），
∴AB＝|mx|，
∵AB＝OA，
∴|x|＝|mx|，
∴m＝±1；
（4）∵点A（x，y），
∴点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），
∵点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，
∴，
∴x＝0，
∴点A在y轴上，
故答案为：y轴上．
4．解：（1）理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC∽△CEB；
（2）如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴，

由（1）可得：△NFO∽△OEM，
∴，
∵点M（2，1），
∴OE＝2，ME＝1，
∵tanα＝＝，
∴，
∴NF＝3，OF＝，
∴点N（﹣，3），
∵设直线CD表达式：y＝kx+b，
∴
∴
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；
（3）当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，

∵∠ADC+∠CDP＝180°，
∴点A，点D，点P三点共线，
∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，
∴四边形ABHP是矩形，
∴AB＝PH＝3，
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，
∴AE＝EP，∠AEP＝90°，
∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴BE＝PH＝3，
当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，

∴CD＝NH＝3，DN＝CH，
设BE＝x，则EC＝5﹣x，
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，
∴AE＝EP，∠AEP＝90°，
∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，
∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，
∵∠DPC＝90°，
∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，
∴△CPH∽△PDH，
∴，
∴
∴x＝
∵点P在矩形ABCD外部，
∴x＝，
∴BE＝，
综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．
5．解：（1）∵AC⊥x轴，点A（5，0），
∴点C的横坐标为5，
对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，
对于x＝0，y＝6，
∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），
直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），
则，
解得，，
∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，
综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；
（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，
∴OM＝6﹣2t，
∵OM∥AN，MN∥x轴，
∴四边形MOAN为平行四边形，
∴OM＝AN，
∴6﹣2t＝3t，
解得，t＝，
∴当MN∥x轴时，t＝；
（3）线段CD的长度不变化，
理由如下：过点D作EF∥x轴，交OB于E，交AC于F，
∵EF∥x轴，BM∥AN，∠AOE＝90°，
∴四边形EOAF为矩形，
∴EF＝OA＝5，EO＝FA，
∵BM∥AN，
∴△BDM∽△ADN，
∴＝＝，
∵EF＝5，
∴DE＝2，DF＝3，
∵BM∥AN，
∴△BDE∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝，
∵OB＝6，
∴EO＝FA＝，
∴CF＝AC﹣FA＝，
∴CD＝＝．

6．解：（1）根据题意可得：，
解得：
∴点D坐标（2，4）
（2）∵直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
∴点B（0，8），点A（4，0），
∵直线y＝x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3），
∵AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，
∴点E（4，5）
∵点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），
∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，
∴BC＝AE＝AC＝BE，
∴四边形ACBE是菱形；
（3）∵BC＝AC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∵∠CGF＝∠ABC，∠AGF＝∠ABC+∠BFG＝∠AGC+∠CGF
∴∠AGC＝∠BFG，且FG＝CG，∠ABC＝∠CAB，
∴△ACG≌△BGF（AAS）
∴BG＝AC＝5，
设点G（a，﹣2a+8），
∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，
∴a＝±，
∵点G在线段AB上
∴a＝，
∴点G（，8﹣2）
7．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：
k＝﹣3；

（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，
则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；
（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6，
直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，
则S△CDE＝2或4，
而S△CDE＝×CD×xE＝4×xE＝2或4，
则xE＝1或2，
故点E（1，3）或（2，0），
将点E的坐标代入直线l表达式并解得：
直线l的表达式为：y＝±x+2；
（ⅱ）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），
则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，
当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；
当AE＝ED时，同理可得：m＝；
综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．
8．解：（1）∵直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，
∴令y＝0，则3x﹣6＝0，
∴x＝2，
∴D（2，0）；

（2）如图1，
∵直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，
∴令y＝0．
∴x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
由（1）知，D（2，0），
∴AD＝4，
联立直线l1，l2的解析式得，，
解得，，
∴C（4，6），
∴S△ACD＝AD•|yC|＝×4×6＝12，
∵S△ACE＝S△ACD，
∴S△ACE＝12，
直线l1与y轴的交点记作点B，
∴B（0，2），
设点E（0，m），
∴BE＝|m﹣2|，
∴S△ACE＝BE•|xC﹣xA|＝|m﹣2|×|4+2|＝4|m﹣2|＝12，
∴m＝﹣2或m＝6，
∴点E（0，﹣2）或（0，6）；

（3）如图2，
①当点F在直线l1上方时，
∵以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，
∴Ⅰ、当△APF'≌△APD时，连接DF'，BD，
由（2）知，B（0，2），
由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），
∴OB＝OA＝OD，
∴∠ABO＝∠DBO＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴DB⊥l1，
∵△APF'≌△APD，
∴PF'＝PD，AF'＝AD，
∴直线l1是线段DF'的垂直平分线，
∴点D，F'关于直线l1对称，
∴DF'⊥l1，
∴DF'过点B，且点B是DF'的中点，
∴F'（﹣2，4），
Ⅱ、当△PAF≌△APD时，
∴PF＝AD，∠APF＝∠PAD，
∴PF∥AD，
∵点D（2，0），A（﹣2，6），
∴点D向左平移4个单位，
∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，6），
∴F（﹣3，3），
②当点F在直线l1下方时，
∵△PAF''≌△APD，
由①Ⅱ知，△PAF≌△APD，
∴△PAF≌△PAF''，
∴AF＝AF''，PF＝PF''，
∴点F与点F'关于直线l1对称，
∴FF''⊥l1，
∵DF'⊥l1，
∴FF'∥DF'，
而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，
∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），
∴F''（1，﹣1），
即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）．


9．解：（1）A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（3，0）；
OC＝BC，则点C是AB的中点，则点C的坐标为：（，）；
故AC＝AB＝6＝3；

（2）点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（3，0）、（，）；
点D、E、G的坐标分别为：（﹣，0）、（﹣，4）、（2，1）；
i）设s、t的表达式为：s＝kt+b，
当t＝DN＝时，s＝EM＝EA＝2，即点（，2）；
当t＝OD＝时，s＝EG＝6，即点（，6）；
将点即点（，2）和点（，6）代入s＝kt+b并解得：
函数的表达式为：y＝t﹣2…①；

ii）直线AB的倾斜角∠ABO＝α＝30°，EB＝8，BD＝4，DE＝4，EM＝s、DN＝t，
①当MN∥OC时，如图1，

则∠MNB＝∠COB＝∠CBO＝α＝30°，
MN＝BM＝BE﹣EM＝8﹣s，
NH＝BN＝（BD﹣DN）＝（4﹣t），
cos∠MNH＝＝＝…②；
联立①②并解得：s＝；
②当MN∥OF时，如图2，

故点M作MG⊥ED角ED于点G，作NH⊥AG于点H，作AR⊥ED于点R，
则∠HNM＝∠RAE＝∠EBD＝α＝30°，
HN＝GD＝ED﹣EG＝4﹣EMcos30°＝4﹣s，
MH＝MG﹣GH＝MEcos30°﹣t＝s﹣t，
tanα＝＝＝…③；
联立①③并解得：s＝；
从图象看MN不可能平行于BC；
综上，s＝或．
10．解：（1）①过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°＝∠AOB，
∴∠BCD+∠DCB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠DBC＝90°，
∴∠ABO＝BCD，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），

DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；
②若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，
故点C′（﹣1，﹣3）；
故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；

（2）如图2，当∠MGP＝90°时，MG＝PG，

过点P作PE⊥OM于E，过点G作GH⊥PE于H，
∴点E与点M重合，∴GF＝AB＝4
设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，
易得G点坐标（4，2）；
如图3，当∠MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），

综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．
11．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，
解得：x＝﹣4，
设x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；
（2）∵点C（﹣2，0），点B（0，2），
∴OC＝2，OB＝2，
∵P是直线AB上一动点，
∴设P（m，m+2），
∵△BOP和△COP的面积相等，
∴×2|m|＝2×（|m|+2），
解得：m＝±4，
当m＝﹣4时，点P与点A重合，
∴点P坐标为（4，4）；
（3）存在；
理由：如图1，

①当点B1是直角顶点时，
∴B1Q＝B1A1，
∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，
∴∠OA1B1＝∠QB1H，
在△A1OB1和△B1HQ中，，
∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），
∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，
∴B1（0，﹣2）或（0，2），
当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），
当点B1（0，2）时，
∵B（0，2），
∴点B1（0，2）（不合题意舍去），
∴直线AB向下平移4个单位，
∴点Q也向上平移4个单位，
∴Q（﹣2，2），
②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，



∵直线AB的解析式为y＝x+2，
由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，
∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），
∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，
∵A1B1⊥A1Q，
∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b
∴Q（﹣2，4﹣4b），
∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，
∴20b2﹣40b+20＝5b2，
∴b＝2或b＝，
∴Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；
③当Q是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，

∴A1Q＝B1Q，
∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，
∴∠QA1C＝∠CQB1，
∵m∥y轴，
∴∠CQB1＝∠QB1H，
∴∠QA1C＝∠QB1H
在△A1QC与△B1QH中，，
∴△A1QC≌△B1QH（AAS），
∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，
∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．
12．解：（1）①∵点A（﹣1，0），B（1，0），
∴AB＝2，
∵点C到线段AB的最短距离是2≤AB，
∴点C是线段AB的“限距点”，
∵点D到线段AB的最短距离＝＝＞AB，
∴点D不是线段AB的“限距点”，
∵点E到线段AB的最短距离是≤AB，
∴点E是线段AB的“限距点”，
故答案为：C，E；
②∵点A（﹣1，0），B（1，0）
∴点P为线段AB的“限距点”的范围是平行于AB且到AB距离为2两条线段和以点A，点B为圆心，2为半径的两个半圆围成的封闭式图形，如图所示：

如图3，直线y＝x+1与该封闭式图形的交点为M，N，

∴点M坐标（1，2）
设点N（x，x+1）
∴（x+1）2+（x+1﹣0）2＝4
∴x＝﹣1﹣
∴，
∴点P横坐标xP的取值范围为：；
（2）∵直线y＝与x轴交于点M，与y轴交于点N．
∴点N（0，2），点M（﹣6，0）
如图3，线段AB的“限距点”的范围所形成的图形与线段MN交于点M，

∵点M是线段AB的“限距点”，
∴﹣6﹣t＝2，
∴t＝﹣8，
若线段AB的“限距点”的范围所形成的图形与线段MN相切于点F，延长B'A'交MN于E，

∵sin∠FEA'＝sin∠MNO，
∴＝
∴
∴t＝﹣2，
∴t的取值范围为﹣8≤t≤﹣2．
13．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，
∵点A（2，0），点B（﹣4，3），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；
（2）过B作BE⊥x轴于E，过P作PD⊥x轴于D，

∴PD∥BE，
∵S△AOP：S△AOB＝2：3，
∴＝，

∵点B（﹣4，3），
∴BE＝3，
∵PD∥BE，
∴△APD∽△ABE，
∴＝＝，
∴PD＝2，
当y＝2时，x＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
（3）点A（2，0）、点B（﹣4，3），点P（﹣2，2），
则AP＝2，AB＝CA＝3，
过点P作HP⊥AC交AC的延长线于点H，

则AH＝AP＝，PH＝APsin60°＝，
△APC的面积＝AC×PH＝×3×＝；
设点C（x，y），
则PC2＝PH2+HC2＝15+（+3）2＝95＝（x+2）2+（y﹣2）2…①，
CA2＝45＝（x﹣2）2+y2…②，
联立①②并解得：x＝，y＝，
故点C（，）．
14．解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝，
∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
过点M作MN⊥y轴，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，
∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，
∴△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
∴△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，
∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）当k＞0时，AO＝，
过点Q作QS⊥y轴，
∴△ABO≌△BQS（AAS），
∴BS＝OA，SQ＝OB，
∴Q（4，4﹣），
∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4；
当k＜0时，Q（4，4﹣），
∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，
∴OQ的最小值为4．




15．解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，
OP所在的直线是y轴；
当点P在C点时，
∵∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴A′点的位置关系是点B，
OP所在的直线表达式是y＝x．
故答案为：A，y轴；B，y＝x．
（2）连接OD，

∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，
∴＝＝．
由折叠的性质可知，OA′＝OA＝2，∠OA′D＝90°．
∴A′D＝1．
设点P（x，2），PA′＝x，PC＝2﹣x，CD＝1．
∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12．
解得x＝．
所以P（，2），
∴OP所在直线的表达式是y＝3x．
（3）存在．若△DPQ的周长为最小，
即是要PQ+DQ为最小．
∵点D关于x轴的对称点是D′（2，﹣1），
∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线PD′的函数表达式为y＝﹣x+．
当y＝0时，x＝．
∴点Q（，0）．