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人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试巩固练习
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这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试巩固练习，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
2．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆得总长度是（ ）
A．40 mB．30 mC．20 mD．10 m
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（ ）
A．30B．15C．D．60
5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定
6．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
A．B．C．D．
8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②⑤⑥
二、填空题
9．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE= 度．
10．如图，点E、F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件 ．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．
11．如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 ．
(3)将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是 ，根据的数学道理是 ．
12．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分（即多边形BCPFEB）的面积为 ．
13．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
14．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 度．
15．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为 cm2．
三、解答题
16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD=10cm，∠B=45度，∠C=30度，AD=5cm． 求：(1)AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
17．如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．
求：(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系，请说明理由；
(2)当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．
20．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，说明理由．
答案
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【考点】菱形的判定．
【专题】选择题．
【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
【解答】解：根据菱形的判定，知对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
A、B、C错误，D正确．
故选D．
【点评】本题考查菱形的判定方法．
3．如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆得总长度是（ ）
A．40 mB．30 mC．20 mD．10 m
【考点】三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】 据等腰梯形的性质和三角形的中位线定理有EF=GH=AC，EH=GF=BD，可知四边形EFGH的周长=4EF=2AC，进而可得出四边形EFGH的周长，即需篱笆得总长．
【解答】解：如图，连接BD，
∵E、F、G、H是等腰梯形ABCD各边中点，
∴EF=GH=AC，EH=GF=BD，
∵等腰梯形ABCD，
∴BD=AC，
∴四边形EFGH的周长=4EF=2AC=20m．
故选C．
【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质和三角形中位线定理，得出四边形EFGH的周长与AC的关系是解题的关键，难度一般．
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（ ）
A．30B．15C．D．60
【考点】根据边的关系判定平行四边形．
【专题】选择题．
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式，得该梯形的面积是10×6÷2=30．
【解答】解：如图，作DE∥AC交BC延长线于E
∵AD∥BC
∴四边形ADEC为平行四边形
∴CE=AD，∠CDE=∠DCA
∵AC⊥BD，
∴AC⊥DE，
∴△BDE为直角三角形，
∴S梯ABCD=S△EBD，
∴S梯ABCD=DE•BD=AC•BD=10×6÷2=30，
故选A．
【点评】根据三角形的面积公式可以导出：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．
5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定
【考点】三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
【解答】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF=AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
6．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
【考点】根据边的关系判定平行四边形．
【专题】选择题．
【分析】作梯形的另一高，则得一个矩形和一个30°的直角三角形，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得另一腰是已知腰的，即是3．
【解答】解：作DE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，
又∠C=30°，
∴DE=DC=3．
故选B．
【点评】注意：直角梯形中常见的辅助线即作另一高．熟练运用30°的直角三角形的性质．
7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
A．B．C．D．
【考点】正方形的性质．
【专题】选择题．
【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．
【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．
故选D．
【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②⑤⑥
【考点】菱形的判定；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据菱形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、等腰三角形的性质判断．
【解答】解：由于菱形和正方形中都四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不能拼成菱形和正方形；
由于等腰梯形有两边不等，故也不能．
矩形，平行四边形，等腰三角形可以拼成．如图：
故选B．
【点评】本题考查了三角形的拼接图形的特点．以及特殊四边形的性质．
9．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE= 度．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】填空题．
【分析】由DB=DC，∠C=70°可以得到∠DBC=∠C=70°，又由AD∥BC推出∠ADB=∠DBC=∠C=70°，而∠AED=90°，由此可以求出∠DAE．
【解答】解：∵DB=DC，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°，
∵AD∥BC，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠DBC=∠C=70°，∠AED=90°，
∴∠DAE=90﹣70=20°．
故答案为：20°．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．
平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
10．如图，点E、F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件 ．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】填空题．
【分析】使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DF=BE．
【解答】解：需要添加的条件可以是：DF=BE．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠CBE=∠ADF，
在△ADF与△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴CE=AF，同理，△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及矩形的判定方法，此题属于开放题熟练掌握各判定定理是解题的关键．
11．如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 ．
(3)将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是 ，根据的数学道理是 ．
【考点】平行四边形的判定；矩形的判定．
【专题】填空题．
【分析】此题主要考查平行四边形，矩形的判定问题，掌握其判定定理，即可作答．
【解答】解：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
矩形；由一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点评】熟练掌握平行四边形及矩形的判定．
12．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分（即多边形BCPFEB）的面积为 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，求出△ABC的面积，求出△AEF的面积和△PEF的面积相等，得出阴影部分的面积等于三角形ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=OD=BD=2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC，AB∥DC，
又∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PF∥AB，PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识点的应用．
13．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
【考点】正方形的判定；菱形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，(1)有一个内角是直角(2)对角线相等．
即∠BAD=90°或AC=BD．
故答案为：∠BAD=90°或AC=BD．
【点评】本题比较容易，考查特殊四边形的判定．
14．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 度．
【考点】根据边的关系判定平行四边形．
【专题】填空题．
【分析】先作图，过点D作DE∥AB，四边形ABED是平行四边形，根据题意得CE=12cm，△CDE是等腰三角形，从而得出DF=CF=6cm，则锐角底角为45°．
【解答】解：过点D作DE∥AB，∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，
∵AB=CD，∴DE=CD，
∴△CDE是等腰三角形，又DF⊥CE，
∴EF=CF=CE=（BC﹣AD）=6cm，
∵高DF=6cm，
∴DF=CF=6cm，
而∠DFC=90°，∴∠DCF=45°．
【点评】本题考查了梯形中辅助线的作法：平移一腰得出两底之差，还考查了等腰三角形的性质．
15．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为 cm2．
【考点】矩形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据矩形的性质，画出图形求解．
【解答】解：∵ABCD为矩形
∴OA=OC=OB=OD
∵一个角是60°
∴BC=OB=cm
∴根据勾股定理==
∴面积=BC•CD=4×=cm2．
故答案为．
【点评】本题考查的知识点有：矩形的性质、勾股定理．
16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD=10cm，∠B=45度，∠C=30度，AD=5cm． 求：(1)AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
【考点】矩形的判定定理2．
【专题】解答题．
【分析】(1)过点D作DE⊥BC于E，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD，再判断△ABH是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答；
(2)先判定四边形AHED是矩形，根据矩形对边相等求出HE=AD，再求出BC的长，然后根据梯形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠C=30°，CD=10cm，
∴DE=CD=×10=5cm，
过A作AH⊥BC于H，则AH=DE=5cm，
∵∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AB=AH=5cm；
(2)∵AH、DE都是梯形的高线，
∴四边形AHED是矩形，
∴HE=AD=5cm，
又∵BH=AH=5cm，CE===5cm，
∴BC=BH+HE+CE=5+5+5=（10+5）cm，
∴梯形ABCD的面积=（5+10+5）×5=（+）cm．
【点评】本题考查了梯形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．
求：(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
【考点】菱形的性质．
【专题】解答题．
【分析】在菱形ABCD中，∠A与∠B互补，即∠A+∠B=180°，因为∠A与∠B的度数比为1：2，就可求出∠A=60°，∠B=120°，根据菱形的性质得到∠BDA=120°×=60°，则△ABD是正三角形，所以BD=AB=48×=12cm，根据勾股定理得到AC的值；然后根据菱形的面积公式求解．
【解答】解：(1)连接BD，
∵∠A与∠B互补，即∠A+∠B=180°，∠A与∠B的度数比为1：2，
∴∠A=60°，∠B=120°．
∴∠BDA=120°×=60°．
∴△ABD是正三角形．
∴BD=AB=48×=12cm．
AC=2×=12cm．
∴BD=12cm，AC=12cm．
(2)S菱形ABCD=×两条对角线的乘积=×12×12=72cm2
【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】解答题．
【分析】由平行四边形的性质得AD=CB，∠DAE=∠BCF，再由已知条件，可得△ADE≌△CBF，进而得出结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，则AD=CB，∠DAE=∠BCF，
又AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定问题，应熟练掌握．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系，请说明理由；
(2)当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．
【专题】解答题．
【分析】(1)由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=BC的结论．
(2)根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明AF=DE即可得出结论．
【解答】(1)解：AD=BC．
理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．
∴AD=BE，AD=FC，
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF．
∴AD=BE=EF=FC．
∴AD=BC．
(2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE=AB，AF=DC．
∵AB=DC，
∴DE=AF．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是矩形．
【点评】本题考查了梯形、平行四边形的性质和矩形的判定，是一道集众多四边形于一体的小综合题，难度中等稍偏上的考题．有的学生往往因为基础知识不扎实，做到一半就做不下去了，建议老师平时教学中，重视一题多变，适当地变式联系，可以触类旁通．
20．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，说明理由．
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质．
【专题】解答题．
【分析】根据中垂线的性质中垂线上的点线段两个端点的距离相等可得出AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°，再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，结合OD=OE，OA=OC，∠AOD=90°可证得为菱形．
【解答】四边形ADCE是菱形．
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO．（ASA）
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴▱ADCE是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定及线段垂直平分线的性质，利用了：中垂线的性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形和菱形的判定．
一、选择题
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
2．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆得总长度是（ ）
A．40 mB．30 mC．20 mD．10 m
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（ ）
A．30B．15C．D．60
5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定
6．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
A．B．C．D．
8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②⑤⑥
二、填空题
9．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE= 度．
10．如图，点E、F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件 ．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．
11．如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 ．
(3)将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是 ，根据的数学道理是 ．
12．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分（即多边形BCPFEB）的面积为 ．
13．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
14．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 度．
15．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为 cm2．
三、解答题
16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD=10cm，∠B=45度，∠C=30度，AD=5cm． 求：(1)AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
17．如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．
求：(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系，请说明理由；
(2)当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．
20．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，说明理由．
答案
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【考点】菱形的判定．
【专题】选择题．
【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
【解答】解：根据菱形的判定，知对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
A、B、C错误，D正确．
故选D．
【点评】本题考查菱形的判定方法．
3．如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆得总长度是（ ）
A．40 mB．30 mC．20 mD．10 m
【考点】三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】 据等腰梯形的性质和三角形的中位线定理有EF=GH=AC，EH=GF=BD，可知四边形EFGH的周长=4EF=2AC，进而可得出四边形EFGH的周长，即需篱笆得总长．
【解答】解：如图，连接BD，
∵E、F、G、H是等腰梯形ABCD各边中点，
∴EF=GH=AC，EH=GF=BD，
∵等腰梯形ABCD，
∴BD=AC，
∴四边形EFGH的周长=4EF=2AC=20m．
故选C．
【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质和三角形中位线定理，得出四边形EFGH的周长与AC的关系是解题的关键，难度一般．
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（ ）
A．30B．15C．D．60
【考点】根据边的关系判定平行四边形．
【专题】选择题．
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式，得该梯形的面积是10×6÷2=30．
【解答】解：如图，作DE∥AC交BC延长线于E
∵AD∥BC
∴四边形ADEC为平行四边形
∴CE=AD，∠CDE=∠DCA
∵AC⊥BD，
∴AC⊥DE，
∴△BDE为直角三角形，
∴S梯ABCD=S△EBD，
∴S梯ABCD=DE•BD=AC•BD=10×6÷2=30，
故选A．
【点评】根据三角形的面积公式可以导出：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．
5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定
【考点】三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
【解答】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF=AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
6．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
【考点】根据边的关系判定平行四边形．
【专题】选择题．
【分析】作梯形的另一高，则得一个矩形和一个30°的直角三角形，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得另一腰是已知腰的，即是3．
【解答】解：作DE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，
又∠C=30°，
∴DE=DC=3．
故选B．
【点评】注意：直角梯形中常见的辅助线即作另一高．熟练运用30°的直角三角形的性质．
7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
A．B．C．D．
【考点】正方形的性质．
【专题】选择题．
【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．
【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．
故选D．
【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②⑤⑥
【考点】菱形的判定；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据菱形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、等腰三角形的性质判断．
【解答】解：由于菱形和正方形中都四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不能拼成菱形和正方形；
由于等腰梯形有两边不等，故也不能．
矩形，平行四边形，等腰三角形可以拼成．如图：
故选B．
【点评】本题考查了三角形的拼接图形的特点．以及特殊四边形的性质．
9．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE= 度．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】填空题．
【分析】由DB=DC，∠C=70°可以得到∠DBC=∠C=70°，又由AD∥BC推出∠ADB=∠DBC=∠C=70°，而∠AED=90°，由此可以求出∠DAE．
【解答】解：∵DB=DC，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°，
∵AD∥BC，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠DBC=∠C=70°，∠AED=90°，
∴∠DAE=90﹣70=20°．
故答案为：20°．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．
平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
10．如图，点E、F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件 ．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】填空题．
【分析】使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DF=BE．
【解答】解：需要添加的条件可以是：DF=BE．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠CBE=∠ADF，
在△ADF与△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴CE=AF，同理，△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及矩形的判定方法，此题属于开放题熟练掌握各判定定理是解题的关键．
11．如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 ．
(3)将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是 ，根据的数学道理是 ．
【考点】平行四边形的判定；矩形的判定．
【专题】填空题．
【分析】此题主要考查平行四边形，矩形的判定问题，掌握其判定定理，即可作答．
【解答】解：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
矩形；由一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点评】熟练掌握平行四边形及矩形的判定．
12．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分（即多边形BCPFEB）的面积为 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，求出△ABC的面积，求出△AEF的面积和△PEF的面积相等，得出阴影部分的面积等于三角形ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=OD=BD=2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC，AB∥DC，
又∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PF∥AB，PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识点的应用．
13．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
【考点】正方形的判定；菱形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，(1)有一个内角是直角(2)对角线相等．
即∠BAD=90°或AC=BD．
故答案为：∠BAD=90°或AC=BD．
【点评】本题比较容易，考查特殊四边形的判定．
14．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 度．
【考点】根据边的关系判定平行四边形．
【专题】填空题．
【分析】先作图，过点D作DE∥AB，四边形ABED是平行四边形，根据题意得CE=12cm，△CDE是等腰三角形，从而得出DF=CF=6cm，则锐角底角为45°．
【解答】解：过点D作DE∥AB，∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，
∵AB=CD，∴DE=CD，
∴△CDE是等腰三角形，又DF⊥CE，
∴EF=CF=CE=（BC﹣AD）=6cm，
∵高DF=6cm，
∴DF=CF=6cm，
而∠DFC=90°，∴∠DCF=45°．
【点评】本题考查了梯形中辅助线的作法：平移一腰得出两底之差，还考查了等腰三角形的性质．
15．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为 cm2．
【考点】矩形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据矩形的性质，画出图形求解．
【解答】解：∵ABCD为矩形
∴OA=OC=OB=OD
∵一个角是60°
∴BC=OB=cm
∴根据勾股定理==
∴面积=BC•CD=4×=cm2．
故答案为．
【点评】本题考查的知识点有：矩形的性质、勾股定理．
16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD=10cm，∠B=45度，∠C=30度，AD=5cm． 求：(1)AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
【考点】矩形的判定定理2．
【专题】解答题．
【分析】(1)过点D作DE⊥BC于E，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD，再判断△ABH是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答；
(2)先判定四边形AHED是矩形，根据矩形对边相等求出HE=AD，再求出BC的长，然后根据梯形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠C=30°，CD=10cm，
∴DE=CD=×10=5cm，
过A作AH⊥BC于H，则AH=DE=5cm，
∵∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AB=AH=5cm；
(2)∵AH、DE都是梯形的高线，
∴四边形AHED是矩形，
∴HE=AD=5cm，
又∵BH=AH=5cm，CE===5cm，
∴BC=BH+HE+CE=5+5+5=（10+5）cm，
∴梯形ABCD的面积=（5+10+5）×5=（+）cm．
【点评】本题考查了梯形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．
求：(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
【考点】菱形的性质．
【专题】解答题．
【分析】在菱形ABCD中，∠A与∠B互补，即∠A+∠B=180°，因为∠A与∠B的度数比为1：2，就可求出∠A=60°，∠B=120°，根据菱形的性质得到∠BDA=120°×=60°，则△ABD是正三角形，所以BD=AB=48×=12cm，根据勾股定理得到AC的值；然后根据菱形的面积公式求解．
【解答】解：(1)连接BD，
∵∠A与∠B互补，即∠A+∠B=180°，∠A与∠B的度数比为1：2，
∴∠A=60°，∠B=120°．
∴∠BDA=120°×=60°．
∴△ABD是正三角形．
∴BD=AB=48×=12cm．
AC=2×=12cm．
∴BD=12cm，AC=12cm．
(2)S菱形ABCD=×两条对角线的乘积=×12×12=72cm2
【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】解答题．
【分析】由平行四边形的性质得AD=CB，∠DAE=∠BCF，再由已知条件，可得△ADE≌△CBF，进而得出结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，则AD=CB，∠DAE=∠BCF，
又AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定问题，应熟练掌握．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系，请说明理由；
(2)当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．
【专题】解答题．
【分析】(1)由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=BC的结论．
(2)根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明AF=DE即可得出结论．
【解答】(1)解：AD=BC．
理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．
∴AD=BE，AD=FC，
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF．
∴AD=BE=EF=FC．
∴AD=BC．
(2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE=AB，AF=DC．
∵AB=DC，
∴DE=AF．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是矩形．
【点评】本题考查了梯形、平行四边形的性质和矩形的判定，是一道集众多四边形于一体的小综合题，难度中等稍偏上的考题．有的学生往往因为基础知识不扎实，做到一半就做不下去了，建议老师平时教学中，重视一题多变，适当地变式联系，可以触类旁通．
20．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，说明理由．
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质．
【专题】解答题．
【分析】根据中垂线的性质中垂线上的点线段两个端点的距离相等可得出AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°，再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，结合OD=OE，OA=OC，∠AOD=90°可证得为菱形．
【解答】四边形ADCE是菱形．
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO．（ASA）
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴▱ADCE是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定及线段垂直平分线的性质，利用了：中垂线的性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形和菱形的判定．
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