初中数学华师九下期中数学试卷

期中数学试卷

一、选择题

1．若y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在

2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．130°

3．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断

4．二次函数y=4（x﹣3）2+7的顶点为（　　）

A．（﹣3，﹣7） B．（3，7） C．（﹣3，7） D．（3，﹣7）

5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）

A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+3

6．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　）

A．2+1 B．+1 C．2 D．3

7．下列说法中正确的个数有（　　）

①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径一定垂直于弦；

③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；

④直径是弦；

⑤长度相等的弧是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．2

9．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10

10．抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（　　）

A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4

11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=3x2 B．y=4x2 C．y=8x2 D．y=9x2

12．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 

B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） 

C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） 

D．篮球出手时离地面的高度是2m

二、填空题

13．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于　   　．

14．有一张矩形的纸片，AB=6cm，AD=8cm，若以A为圆心作圆，并且要使点B在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是　   　．

15．如果二次函数y=﹣2x2+（m﹣4）x+3图象的对称轴是y轴，那么m=　   　．

16．抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是　   　．

17．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线1的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线的距离等于1的点，即m=4，由此可知，当d=3时，m=　   　．

三、解答题

18．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．

（1）求证：∠ACB+∠BAD=90°；

（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB，AC=4，求DE的长．

19．已知：抛物线y=﹣x2﹣6x+21．求：

（1）直接写出抛物线y=﹣x2﹣6x+21的顶点坐标；

（2）当x＞2时，求y的取值范围．

20．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．

21．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．

22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．

（1）当a=﹣1时，求A，B两点的坐标；

（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．

①当a=2时，求PB+PC的值；

②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．　

参考答案

一．选择题

1．【解答】解：若y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，则，

解得：m=﹣2．

故选：A．

2．【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．

在△OAB中，OA=OB，

则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×25°=50°，

同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30°=60°，

故∠BOC=∠BOD+∠COD=110°．

故选：B．

3．【解答】解：∵r=5，d=OP=6，

∴d＞r，

∴点P在⊙O外，

故选：B．

4．【解答】解：∵y=4（x﹣3）2+7，

∴顶点坐标为（3，7），

故选：B．

5．【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣3，0）、（0，3），

设抛物线解析式为y=a（x+1）2+k，

将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，

解得：，

则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3，

故选：D．

6．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′，

∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，

∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，

又∵OA=OA′=，

∴A′B=2．

∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2，

∴△PAB周长的最小值是2+1=3，

故选：D．

7．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；

②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；

③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；

④直径是弦；正确；

⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；

故选：A．

8．【解答】解：如图：连接OP，AO

∵AB是⊙O切线

∴OP⊥AB，

∴AP=PB=AB

在Rt△APO中，AP==

∴AB=2

故选：A．

9．【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，

∴PA=PB，

同理可得：CA=CE，DE=DB．

∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，

∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，

∴△PCD的周长=10，

故选：D．

10．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

∵a=1＞0，

∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣4．

故选：D．

11．【解答】解：设正方形的边长为2a，

∴BC=2a，BE=a，

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=CF，

∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴AF∥CE，

∵EG⊥AF，FH⊥CE，

∴四边形EHFG是矩形，

∵∠AEG+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°，

∴∠AEG=∠BCE，

∴tan∠AEG=tan∠BCE，

∴=，

∴EG=2x，

∴由勾股定理可知：AE=x，

∴AB=BC=2x，

∴CE=5x，

易证：△AEG≌△CFH，

∴AG=CH，

∴EH=EC﹣CH=4x，

∴y=EG•EH=8x2，

故选：C．

12．【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），

∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．

∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得  3.05=a×1.52+3.5，

∴a=﹣，

∴y=﹣x2+3.5．

故本选项正确；

B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），

故本选项错误；

C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），

故本选项错误；

D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，

因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，

∴当x=﹣2.5时，

h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．

∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．

故本选项错误．

故选：A．

二．填空题

13．【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；

故答案为：半径．

14．【解答】解：∵矩形的纸片，AB=6cm，AD=8cm，

∴AC=10cm，

∴以A为圆心作圆，并且要使点B在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为6cm＜r＜10cm．

故答案为：6cm＜r＜10cm．

15．【解答】解：∵二次函数y=﹣2x2+（m﹣4）x+3图象的对称轴是y轴，

∴m﹣4=0，

∴m=4．

故答案为：4．

16．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式是y=﹣2（x﹣1）2﹣2．

故答案为y=﹣2（x﹣1）2﹣2．

17．【解答】解：当d=3时，MN=3﹣2=1，

此时只有点N到直线l的距离为1，

故答案为：1．

三．解答题

18．【解答】（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．

∵AF为⊙O的直径，

∴∠ABF=90°，

∴∠AFB+∠BAD=90°，

∵∠AFB=∠ACB，

∴∠ACB+∠BAD=90°．

（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．

∵∠AOB=2∠ACB，

∠ADC=2∠ACB，

∴∠AOB=∠ADC，

∴∠BOD=∠BDO，

∴BD=BO，

∴BD=OA，

∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，

∴△BDE≌△AOH，（AAS），

∴DE=AH，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH=AC，

∴AC=2DE=4，

∴DE=2．

19．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣6x+21=﹣（x+3）2+30，

∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，30）；

（2））∵抛物线y=﹣x2﹣6x+21=﹣（x+3）2+30，

∴当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，

∴当x＞2时，y的取值范围是y＜﹣（2+3）2+30=5，

即当x＞2时，y的取值范围是y＜5．

20．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵OC∥BD，

∴∠AEO=∠ADB=90°，

即OC⊥AD，

∴AE=ED；

（2）∵OC⊥AD，

∴，

∴∠ABC=∠CBD=36°，

∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，

∴．

21．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，

∵点O为直角三角形斜边AB的中点，

∴OC=OA=OB．

∴点C在⊙O上，

∵BD=OB，

∴AB=DO，

∵CD=CA，

∴∠A=∠D，

∴△ACB≌△DCO，

∴∠DCO=∠ACB=90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，

∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，

∴BE=BCcos60°=8×=4．

22．【解答】解：（1）当a=﹣1时，有y=﹣x2﹣2x．

令y=0，得：﹣x2﹣2x=0．

解得x1=0，x2=﹣2．

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣2，0），B（0，0）．

（2）①当a=2时，有y=2x2﹣2x．

令y=0，得2x2﹣2x=0．

解得x1=0，x2=1．

∵点A在点B的左侧，

∴A（0，0），B（1，0）．

∴PB=2．

当x=3时，yC=2×9﹣2×3=12．

∴PC=12．

∴PB+PC=14．

②点B在直线l左侧，如图所示：

∵PB+PC≥14，

∴3﹣x+ax2﹣2x≥14，

可得：a≤﹣或a≥2．