初中数学北师大版九年级（下）期末测试卷1


期末测试（一）
　
一．选择题（共12小题）
1．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（　　）

A． B． C． D．
2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（　　）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
3．如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（　　）

A． B． C． D．
4．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（　　）

A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．
5．下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
7．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
8．已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（　　）
A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x﹣1 C．y=3x2﹣6x+1 D．y=﹣3x2﹣6x+1
9．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为（　　）
A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=，x2= D．x1=﹣4，x2=0
10．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）

A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）

A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　）

A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）

二、填空题
13．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　 　．

14．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是　 　．
15．如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为　 　．

16．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB=　 　°．


三、解答题
17．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）






18．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
(2)求出水柱的最大高度的多少？






19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．







20．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．






21．如图，在⊙O中，弦AB=弦CD，AB⊥CD于点E，且AE＜EB，CE＜ED，连结AO，DO，BD．
(1)求证：EB=ED．
(2)若AO=6，求的长．







22．如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，且AC=BC=16分米，以点B为圆心，BD为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、G．求阴影部分的面积．






参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】选择题
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【解答】解：A、在△BCD中，sinα=，故A正确；
B、在Rt△ABC中sinα=，故B正确；
C、在Rt△ACD中，sinα=，故C正确；
D、在Rt△ACD中，cosα=，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
　
2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（　　）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】选择题
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．
【解答】解：∵tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．
　
3．如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（　　）

A． B． C． D．
【考点】T7：解直角三角形；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【分析】利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，进而利用正切函数定义求解．
【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得，
则直线AB的解析式是y=﹣x+2．
在y=﹣x+2中令y=0，解得x=．
则B的坐标是（，0），即OB=．
则tan∠OAB===．
故选B．
【点评】本题考查了三角函数的定义以及待定系数法求函数解析式，正确求得B的坐标是关键．
　
4．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（　　）

A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】选择题
【分析】根据已知角的正切值表示即可．
【解答】解：∵AC=a，∠ABC=α，在直角△ABC中tanα=，
∴AB=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
　
5．下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H1：二次函数的定义．
【专题】选择题
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【解答】解：①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；
②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；
④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个，故选C．
【点评】本题考查二次函数的定义．
　
6．抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】选择题
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
　
7．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
【考点】H7：二次函数的最值．
【专题】选择题
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，
解得：m=﹣；
②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，
解得：m=＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍），
∴m的值为﹣或，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
　
8．已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（　　）
A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x﹣1 C．y=3x2﹣6x+1 D．y=﹣3x2﹣6x+1
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】选择题
【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入解析式得10=4a﹣2，
解得a=3，
则抛物线的解析式为：y=3（x+1）2﹣2=3x2+6x+1．
故选A．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．
　
9．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为（　　）
A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=，x2= D．x1=﹣4，x2=0
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】选择题
【分析】二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1=0，求得a=﹣，代入方程a（x﹣2）2+1=0即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），
∴4a+1=0，
∴a=﹣，
∴方程a（x﹣2）2+1=0为：方程﹣（x﹣2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．
　
10．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）

A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【考点】M2：垂径定理．
【专题】选择题
【分析】先根据垂径定理得到=，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴=，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
　
11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）

A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
【考点】M5：圆周角定理．
【专题】选择题
【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==90°﹣α．
故选D．

【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　）

A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【分析】由已知点的坐标得出△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，得出△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，
∴△ABC外接圆的圆心坐标是（，），
即（3，1）．
故选：D．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、直角三角形的外心特征；熟记直角三角形的外心特征，根据题意得出三角形是直角三角形是解决问题的关键．
　
13．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　3　．

【考点】T7：解直角三角形．
【专题】填空题
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决
【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E==，
∴tanBO′E=，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．
　
14．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是　（2，﹣3）　．
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】填空题
【分析】根据抛物线y=（x﹣2）2﹣3，可以看出该函数解析式就是二次函数的顶点式，从而可以直接得到该函数的顶点坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2﹣3
∴该抛物线的顶点坐标为：（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确函数的顶点式，由顶点式可以直接得到顶点坐标．
　
15．如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为　①④　．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】填空题
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴﹣＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，
∴x2=2＞﹣1，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
　
16．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB=　60　°．

【考点】MC：切线的性质．
【专题】填空题
【分析】由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD得到∠A=30°，然后由切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB的度数．
【解答】解：∵OA⊥BC，BC=2，
∴根据垂径定理得：BD=BC=1．
在Rt△ABD中，sin∠A==．
∴∠A=30°．
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°．
∴∠AOB=60°．
故答案是：60．
【点评】本题主要考查的圆的切线性质，垂径定理和一些特殊三角函数值，有一定的综合性．
　
17．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】解答题
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．
【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
理由：作AD⊥BC于点D，
∵∠C=50°，AC=20cm，
∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，
CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，
∵BC=18cm，
∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，
∴AB==，
∵17=＜，
∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答．
　
18．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
(2)求出水柱的最大高度的多少？

【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+h，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，
(2)求出当x=1时，y=即可．
【解答】解：(1)如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a（x﹣1）2+h，
代入（0，2）和（3，0）得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+；
即y=﹣x2+x+2（0≤x≤3）；
(2)y=﹣x2+x+2（0≤x≤3），
当x=1时，y=，
即水柱的最大高度为m．

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
　
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算．
【专题】解答题
【分析】(1)连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
(2)在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
【解答】解：(1)BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．

(2)设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD=OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB==，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．

【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
　
20．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．

【考点】ME：切线的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】(1)由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；
(2)连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：(1)∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，
∴∠D+∠AOD=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
(2)连接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△DCA，
∴，
∴，
∴AC=AE=，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ACE∽△BFE，
∴，
∴=，
∴EF=．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
21．如图，在⊙O中，弦AB=弦CD，AB⊥CD于点E，且AE＜EB，CE＜ED，连结AO，DO，BD．
(1)求证：EB=ED．
(2)若AO=6，求的长．

【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．
【专题】解答题
【分析】(1)由AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出=，即+=+，那么=，根据圆周角定理得到∠CDB=∠ABD，利用等角对等边得出EB=ED；
(2)先求出∠CDB=∠ABD=45°，再根据圆周角定理得出∠AOB=90°．又AO=6，代入弧长公式计算即可求解．
【解答】(1)证明：∵AB=CD，
∴=，即+=+，
∴=，
∵、所对的圆周角分别为∠CDB，∠ABD，
∴∠CDB=∠ABD，
∴EB=ED；

(2)解：∵AB⊥CD，
∴∠CDB=∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°．
∵AO=6，
∴的长==3π．

【点评】本题考查了弧长的计算，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，证明出∠CDB=∠ABD是解题的关键．
　
22．如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，且AC=BC=16分米，以点B为圆心，BD为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、G．求阴影部分的面积．

【考点】MO：扇形面积的计算；KW：等腰直角三角形．
【专题】解答题
【分析】根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是△ABC的面积减去扇形BFD的面积和右上角空白部分的面积，由题目中的数据可以求出各部分的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，且AC=BC=16分米，
∴AB=16分米，∠DBF=45°，
∴BF=CD=8分米，
∴阴影部分的面积是：=（54+16π）平方分米，
阴影部分的面积是（54+16π）平方分米．
【点评】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．