天津市河北区2020届高三总复习质量检测（二）数学试题
展开河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3． 本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
· 如果事件A，B互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B） · 如果事件A，B相互独立，那么 P（AB）＝P（A）P（B） | · 球的表面积公式 S＝ 球的体积公式 V＝ 其中R表示球的半径 |
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集，集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）命题“”的否定是
（A） （B）
（C） （D）
（3）若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为
（A） （B）
（C） （D）
（4）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从
中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是
（A） （B）
（C） （D）
（5）某班同学进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p，a的值分别为
（A），20 （B），40
（C），60 （D），80
（6）已知双曲线和直线，若过双曲线的左焦点和点的直线与直线平行，则双曲线的离心率为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于
，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，
则的面积为
（A） （B）
（C）16 （D）
（8）已知函数，则
（A）的最小正周期为 （B）的图象关于点对称
（C）的最大值为 （D）的图象关于直线对称
（9）已知函数，若有两个零点，
则下列选项中不正确的是
（A） （B）
（C） （D）
河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。
3． 本卷共11小题，共105分。
得 分 | 评卷人 | 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将答案 写在答题纸上. |
|
|
（10）二项式的展开式中的常数项为 ．
（11）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的
圆的方程为 ．
（12）曲线在点处的切线的斜率为 ，在该点处的切线
方程为 ．
（13）已知，且，则的最小值为______________．
（14）在平行四边形中，已知，，，若，
，则 ．
（15）已知函数 若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得 分 | 评卷人 | （16）（本小题满分14分） |
|
|
已知的内角的对边分别为，满足
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）若的面积为，，求的周长．
请将答案写在答题纸上
得 分 | 评卷人 | （17）（本小题满分15分） |
|
|
如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
请将答案写在答题纸上
得 分 | 评卷人 | （18）（本小题满分15分） |
|
|
已知数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，，求数列的前项和．
请将答案写在答题纸上
得 分 | 评卷人 | （19）（本小题满分15分） |
|
|
已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为， ，若，求直线的方程．
请将答案写在答题纸上
得 分 | 评卷人 | （20）（本小题满分16分） |
|
|
已知函数，其中．
（Ⅰ）若为单调递减函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围．
请将答案写在答题纸上
河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学 答 案
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．
题号 | （1） | （2） | （3） | （4） | （5） | （6） | （7） | （8） | （9） |
答案 | B | C | A | D | C | A | B | D | B |
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（10）15； （11），或；
（12），； （13）； （14）；
（15），或．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．
（16）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵，
由余弦定理得，． .…….……2分
化简得，． .…….……3分
∴． .…….……4分
又，
∴． .…….……5分
（Ⅱ）由已知得，． .…….……6分
∴，
． .…….……8分
∴． .…….……10分
（Ⅲ）∵，
∴． .…….……12分
由余弦定理得，．
解得．
∴的周长为． .…….……14分
（17）（本小题满分15分）
证明：（Ⅰ）取的中点，连接．
由题意，易证，，两两垂直．
以为坐标原点，以，，所
在直线分别为轴，轴，轴建立如
图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，
． .…….……2分
∵，，
∴，． .…….……4分
又，
∴平面． .…….……5分
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面的法向量． .…….……7分
．
设直线与平面所成的角为．
∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为． .…….……10分
（Ⅲ）设平面的法向量．
∵，
∴ 即
不妨取，得． .…….……12分
设二面角的平面角为．
∵，
∴二面角的余弦值为． .…….……15分
（18）（本小题满分15分）
证明：（Ⅰ）当时，，∴． .…….……1分
当时，，
， .…….……2分
∴，即． .…….……4分
从而，即． .…….……6分
又，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列． .…….……7分
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即． .…….……9分
∴． .…….……11分
（19）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意可知，
又， .…….……3分
解得，，．
∴椭圆的方程为 ． .…….……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，．
设直线的方程为． .…….……6分
记直线与椭圆的另一交点为．
设，．
∵，
由对称性得，．
由 消去，整理得． .…….……7分
∵，
∴，． ① .…….……9分
由，
得，即． ② .…….……11分
由①②，解得，． .…….……13分
∵，
∴．
∴．
解得． .…….……14分
∴直线的方程为，即． .…….……15分
（20）（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为． .…….……1分
∵，
∴． .…….……2分
若函数为单调递减函数，
则．
∴ 对恒成立． .…….……4分
设．
令，
解得．
∴．
∵函数在单调递减，在单调递增，
∴函数的最小值为． .…….……6分
∴，即的取值范围是． .…….……7分
（Ⅱ）由已知，．
设，
则函数有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点．
∵， .…….……8分
∴（1）当时，
函数在单调递减，在单调递增．
若函数有两个不同的零点，
则，即．
当时，
当时，．
当时，，
∵，
∴．
∴．
∴函数在，上各有一个零点．
故符合题意． .…….……11分
（2）当时，
∵函数在单调递减，
∴函数至多有一个零点，不符合题意． .…….……12分
（3）当时，
∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴函数的极小值为．
∴函数至多有一个零点，不符合题意． .…….……14分
（4）当时，
∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴函数的极小值为．
∴函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，的取值范围是． .…….……16分
注：其他解法可参照评分标准酌情给分
欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org
