2002-2019年深圳市数学中考真题分类汇编：专题6 函数的图象与性质（解析版）




1.（深圳2002年3分）反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直
x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是【 度002】

2.（深圳2003年5分）已知一元二次方程2x2－3x－6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1＋x2，0）、B（0，x1x2），则直线l的解析式为【 度002】
A.y=2x－3 B.y=2x＋3 C.y=－2x-3 D.y=－2x＋3

3.（深圳2004年3分）函数y=x2－2x＋3的图象顶点坐标是【 度002】
A.（1，-4） B.（－1，2） C.（1，2） D.（0，3）

4.（深圳2004年3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线
于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是【 度002】

5.（深圳2005年3分）函数y=（k≠0）的图象过点（2，－2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的【 度002】
A、第一、三象限 B、第三、四象限 C、A、第一、二象限 D、第二、四象限

6.（深圳2006年3分）函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是【 度002】

7.（深圳2007年3分）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是【 度002】

8.（深圳2009年3分）．如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为【 度002】

9.（深圳2010年学业3分）如图，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴
影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为【 度002】





A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

10. （深圳2010年招生3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可以是【 度002】
A .－1 B .0 C . 1 D .2

11.（深圳2011年3分）对抛物线=－2＋2－3而言，下列结论正确的是【 度002】
A.与轴有两个交点 B.开口向上 C.与轴交点坐标是(0，3) D.顶点坐标是(1，－2)

12.（2013年广东深圳3分）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的大致图像可能是【 】

13.（2014年广东深圳3分）二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为【 】
①bc＞0；
②2a﹣3c＜0；
③2a+b＞0；
④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，x1＞0，x2＜0；
⑤a+b+c＞0；
⑥当x＞1时，y随x增大而减小．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B．
【解析】[来源:学科网ZXXK]

考点：二次函数图象与系数的关系．
14.（2015年广东深圳3分）二次函数的图像如下图所示，下列说法正确的个数是（ ）

；；；。
A、1 B、2
C、3 D、4
【答案】B
考点：二次函数的性质.学&科网[来源:学科网]
15.（2016年广东深圳3分）给出一种运算：对于函数，规定。例如：若函数，则有。已知函数，则方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：依题意，当时，，解得：
考点：应用新知识解决问题
16．（2018年深圳中考）二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )

A． B． C． D． 有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；由对称轴为x==1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x轴下方得到y=a-b+c＜0，结合b=-2a可得 3a+c＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
17．（2018年深圳中考）如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )

①；②；③若，则平分；④若，则
A． ①③ B． ②③ C． ②④ D． ③④
【答案】B
【解析】【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a，）、A（，b），根据S△BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误.
【详解】①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；
②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，
∵AP//x轴，BP//y轴，∴四边形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，
∵S△BOE=S△AOF=k=6，∴S△AOP=S△BOP，故②正确；

④设P（a，b），则B（a，）、A（，b），
S△BOP=BP•EO==4，
∴ab=4，
S△ABP=AP•BP==8，
故④错误，
综上，正确的为②③，
故选B.

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键.
18．（2019年深圳中考）（3分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax+b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．




1.（深圳2008年3分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝


2.（深圳2011年3分）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是 .

3.（2012广东深圳3分）二次函数的最小值是

4. （2012广东深圳3分）如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．

5. （2014广东深圳3分）如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ．

【答案】8．
【解析】[来源:学_科_网]
试题分析：如答图，过A作AH⊥x轴于点H．
∵S△OAH=S△OCD，∴S四边形AHCB=S△BOD=21.学科&网

考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.相似三角形的判定和性质．
6. （2015广东深圳3分）如图，已知点A在反比例函数上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的
中点，连DB并延长交y轴于点E，若⊿BCE的面积为8，则k= 。
【答案】16

考点：反比例函数的性质、三角形相似.

1.（深圳2002年10分）已知：如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。
（1）求抛物线的解析式。
（2）若点P在直线BC上，且S△PAC=S△PAB，求点P的坐标。


2.（深圳2003年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，
（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结BD，求tan∠BDC的值；
（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交[来源:学科网ZXXK]
DC于G，求sin∠CGF的值。

3.（深圳2006年8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.
（1）(4分)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）(4分)若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100 件．若每工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?

4.（深圳2006年10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.
(1)(3分)求线段OC的长.
(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．
(3)(4分)在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若
不存在，请说明理由.

5.（深圳2007年9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．
（1）求∠BEC的度数．
（2）求点E的坐标．
（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：①；
②；
③等运算都是分母有理化）

6.（深圳2007年8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点．
（1）求线段AB的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少?
（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交轴、轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立．
（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，设，，．，试说明：．


7.（深圳2010年学业8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利
50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y
（件）与降价x元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0）
（1）求M型服装的进价；（3分）
（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．（5分）




8.（深圳2010年学业9分）如图，抛物线经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD
在轴上，其中A（－2，0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）





抛












9.（深圳2010年招生9分）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图① 所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z 与之间也大致满足如图② 所示的一次函数关系.
( 1 ) ( 3 分）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
( 2 ) ( 3 分）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z 与政府补贴款额之的函数关系式，
( 3 ) ( 3 分）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益W的最大值．[来源:学科网]

10.（深圳2011年9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：
（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；
（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？


11.（深圳2011年9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.





12. （2012广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？
请说明理由．


13. （2013年广东深圳9分）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线经过C、B两点，与x轴的另一交点为D。
（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 .
（2）如图2，求证：BD//AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长。











14. （2015年广东深圳10分）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。

【答案】1.5+5
【解析】
试题分析：设DF的延长线与AB相交于点G，根据题意得出∠ADF=30°，∠AFG=60°，DF=10，根据三角形外角的性质得出AF=DF=10，根据Rt△AFG的三角函数求出AG的长度，然后根据AB=AG+BG求出AB的长度.
试题解析：设DF的延长线与AB相交于点G 根据题意得：∠ADF=30° ∠AFG=60° DF=10
∴∠DAF=∠AFG－∠ADF=60°－30°=30° ∴∠ADF=∠DAF ∴DF=AF=10
∴AG=AF·sin∠AFG=10×=5 ∴AB=AG+BG=1.5+5(米)
∴旗杆的高度为(1.5+5)米.
考点：三角函数的应用.学科*网
15．（2017年深圳中考）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD=BC．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=，
将点B（a，1）代入y=中，得，a=8，
∴B（8，1），
将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，，
∴，
∴一次函数解析式为y=﹣x+5；


16．（2019年深圳中考）（9分）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

【分析】（1）OB＝OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，即可求解；
（2）CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，
取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE，＝3：5或5：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点
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