2020年中考数学考前冲刺(三) 试卷


——图形的初步认识


1．了解：直线的性质；线段的性质；对顶角与邻补角；平行线的定义与画法．
2．理解：平行线的性质；垂线的性质，并能解决与之相关的实际问题．
3．会：利用平行线的判定证明两直线互相平行．
4．掌握：掌握直线的性质；掌握对顶角与邻补角的有关性质；平行线的判定定理；平行线的性质；平行公理及平行线的画法．
5．能：利用线段的中点和线段的性质进行线段的有关计算；利用平行线的性质解决有关角的计算问题

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以选择题或填空题的形式考查,题目较为简单,属于低档题．
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有:直线或线段的性质；平行线的性质与判定；利用平行线的性质解决有关的角的计算问题．
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：平行线的性质与判定；线段的中点与线段的性质相关的计算

1．直线、射线和线段
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线．
（2）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短.也可简单说成：两点之间线段最短．
（3）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．线段的中点到两端点的距离相等．
（4）方法归纳：
①过一点的直线有无数条；直线是是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；
②要注意区别直线公理与线段的性质：两点确定一条直线，两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．
③延伸与延长是不同的,线段不能延伸,但可以延长,直线和射线能延伸,但是不能延长；
④直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关,但射线必须是表示端点的字母写在前面,不能互换；
⑤直线中“有且只有”中的“有”的含义是存在性,“只有”的含义是唯一性,“有且只有”与“确定”的意义相同.
⑥射线:确定端点；确定延伸方向,二者缺一不可.
2．相交线
（1）邻补角互补，对顶角相等.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
3．平行线
（1）平行公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（2）平行线的判定定理
①同位角相等，两直线平行．
②内错角相等，两直线平行．
③同旁内角互补，两直线平行．
（3）平行线的性质定理
①两直线平行，同位角相等．
②两直线平行，内错角相等．
③两直线平行，同旁内角互补．
（4）垂直
①要判断两条直线是否互相垂直时,只须在两直线相交所成的四个角中找到一个角是直角即可.
②运用“两线交角成九十,互叫垂线称垂直；交点此时为垂足,特殊符号来表示”进行巧妙记忆.
③经过一点作已知直线的垂线时,有且只有一条直线.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.

1．（2019•德阳）已知直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点O，且∠BOE=140°．直线l平分∠BOE交CD于点G，那么∠CGO=（　　）

A．110° B．105° C．100° D．70°
【答案】A
【解析】如图，

∵直线l平分∠BOE，且∠BOE=140°，∴∠1=12∠BOE=70°，
∵AB∥CD，∴∠DGO=∠1=70°，∴∠CGO=110°，故选A．
【考点】平行线的性质
2．（2019•济南）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（　　）

A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】B
【解析】∵DE∥BC，∴∠1=∠ABC=70°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=35°，故选B．
【考点】平行线的性质
3．（2019•鞍山）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB=50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【解析】∵AB∥CD，∴∠EHD=∠EGB=50°，∴∠CHG=180°﹣∠EHD=180°﹣50°=130°．
∵HM平分∠CHG，∴∠CHM=∠GHM=12∠CHG=65°．
∵AB∥CD，∴∠GMH=∠CHM=65°．故选D．
【考点】平行线的性质
4．（2019•抚顺）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B=∠EDF=90°，∠A=30°，∠F=45°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°
【答案】A
【解析】∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵∠EDF=90°，∠F=45°，∴∠DEF=45°．
∵EF∥BC，∴∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠CED=∠CEF﹣∠DEF=60°﹣45°=15°．故选A．
【考点】平行线的性质
5．（2019•南通）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED度数为（　　）

A．110° B．125° C．135° D．140°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=70°，∴∠CAB=110°，
∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CBA=55°，
∴∠AED=∠C+∠CAE=70°+55°=125°，故选B．
【考点】平行线的性质
6．（2019•锦州）如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB=105°，∠B=30°，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】A
【解析】∵∠A+∠AOB+∠B=180°，∴∠A=180°﹣105°﹣30°=45°，
∵AB∥CD，∴∠C=∠A=45°，故选A．
【考点】平行线的性质
7．（2019•莱芜区）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1=65°，则∠2的度数是（　　）

A．122.5° B．123° C．123.5° D．124°
【答案】A
【解析】∵∠1=65°，∴∠BEF=180°﹣65°=115°，
∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=12∠BEF=57.5°，
∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG=180°，∴∠2=180°﹣57.5°=122.5°，故选A．
【考点】平行线的性质
8．（2019•日照）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】∵直尺的两边互相平行，∠1=35°，∴∠3=35°．
∵∠2+∠3=90°，∴∠2=55°．故选C．

【考点】平行线的性质
9．（2019•遵义）如图，∠1+∠2=180°，∠3=104°，则∠4的度数是（　　）

A．74° B．76° C．84° D．86°
【答案】B
【解析】∵∠1+∠2=180°，∠1+∠5=180°，∴∠2=∠5，∴a∥b，∴∠4=∠6，
∵∠3=104°，∴∠6=180°﹣∠3=76°，∴∠4=76°，故选B．

【考点】平行线的判定与性质
10．（2019•陕西）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1=52°，则∠2的度数为（　　）

A．52° B．54° C．64° D．69°
【答案】C
【解析】∵l∥OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，
∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，
又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2=64°，故选C．
【考点】平行线的性质
11．（2019•吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（　　）

A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】A
【解析】这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选A．
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；平行公理及推论
12．（2019•宜昌）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α=135°，则∠β等于（　　）

A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【解析】由题意可得：∵∠α=135°，∴∠1=45°，∴∠β=180°﹣45°﹣60°=75°．故选C．

【考点】平行线的性质
13．（2019•深圳）如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是（　　）

A．∠1=∠4 B．∠1=∠5 C．∠2=∠3 D．∠1=∠3
【答案】B
【解析】∵l1∥AB，∴∠2=∠4，∠3=∠2，∠5=∠1+∠2，
∵AC为角平分线，∴∠1=∠2=∠4=∠3，∠5=2∠1．故选B．
【考点】平行线的性质
14．（2019•河南）如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为（　　）

A．45° B．48° C．50° D．58°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵∠1=∠D+∠E，∴∠D=∠B﹣∠E=75°﹣27°=48°，故选B．

【考点】平行线的性质
15．（2019•海南）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC=70°，则∠1的大小为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】C
【解析】∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，
∴AC=AB，∴∠CBA=∠BCA=70°，
∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°，∴∠1=180°﹣70°﹣70°=40°，故选C．
【考点】平行线的性质


1．（2020•长沙模拟）把一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，∠CED=50°，则∠BFA的大小为（　　）

A．130° B．135° C．140° D．145°
2．（2020•新泰市一模）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为（　　）

A．40° B．90° C．50° D．100°
3．（2020•江苏模拟）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，若∠2=45°，则∠1等于（　　）

A．125° B．130° C．135° D．145°
4．（2020•山西模拟）已知直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1=85°，则∠2等于（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
5．（2020•佛山模拟）将一个直角三角板与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，若∠2=40°，则∠1的大小是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2020•锦州模拟）直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EG⊥EF．若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）

A．18° B．32° C．48° D．62°
7．（2020•山西模拟）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中OA∥BC，AC∥OB．若∠1=50°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．120° C．50° D．125°
8．（2020•河南模拟）将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1=85°，则∠2的度数是（　　）

A．70° B．65° C．55° D．60°
9．（2020•河南模拟）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C路在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=34°．则∠BHQ等于（　　）

A．73° B．34° C．45° D．30°
10．（2020•武汉模拟）如图，直线MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，∠EPM=∠FQM，且∠AEP=∠CFQ，求证：AB∥CD．

11．（2020•温州模拟）已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．

如图，DE∥BC，∠1=∠B，求证：EF∥AB．




1．如图，AB∥CD，点E在CD上，点F在AB上，如果∠CEF：∠BEF=6：7，∠ABE=50°，那么∠AFE的度数为（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
2．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=80°，∠2=50°．要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．50°
3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC=30°），并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1=38°，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．22° C．28° D．38°
4．如图，已知AB∥DC，∠BED=60°，BC平分∠ABE，则∠C的度数是（　　）

A．75° B．60° C．45° D．30°
5．如图，直尺经过一块三角板DCB的直角顶点B，若将边AB绕点B顺时针旋转，∠ABC=20°，∠C=30°，则∠DEF度数为（　　）

A．25° B．40° C．50° D．80°
6．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=4cm，PB=3cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离是___________cm．

7．如图，已知AB∥CD∥PN，∠ABC=50°，∠CPN=150°，求∠BCP的度数．

8．如图，直线AB∥CD，MN⊥CE于M点，若∠MNC=60°，求∠EMB的度数．





1．【答案】C
【解析】∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，
∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选C．
2．【答案】D
【解析】如图所示：

∵a∥b，∴∠1=∠4，
又∵∠1=50°，∴∠4=50°，
又∵∠2+∠3+∠4=180°，∠2=30°，∴∠3=100°，故选D．
3．【答案】C
【解析】如图，

∵a∥b，∠2=45°，∴∠3=∠2=45°，
∴∠1=180°﹣∠3=135°，故选C．
4．【答案】D
【解析】∵∠A+∠3+∠4=180°，∠A=30°，∠3=∠1=85°，∴∠4=65°．
∵直线l1∥l2，∴∠2=∠4=65°．故选D．

5．【答案】B
【解析】如图所示：

∵∠2+∠3+∠4=180°，
∠4=90°，∠2=40°，
∴∠3=50°，
又∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∴∠1=50°，
故选B．
6．【答案】B
【解析】∵∠1=58°，
∴∠EFD=∠1=58°．
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF=180°，
∴∠BEF=180°﹣58°=122°．
∵EG⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠2=∠BEF﹣∠GEF
=122°﹣90°
=32°．
故选B．
7．【答案】A
【解析】∵AC∥OB，∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵OA∥BC，
∴∠3=180°﹣50°=130°．
故选A．
8．【答案】C
【解析】如图所示，∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAC=85°，
又∵∠BAC是△ABE的外角，
∴∠2=∠BAC﹣∠E=85°﹣30°=55°，
故选C．

9．【答案】B
【解析】∵∠AGE=34°，
∴∠DGE=146°，
由折叠可得，∠DGH=∠EGH=12∠DGE=73°，
∵AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH=73°，
∵EG∥QH，
∴∠QHG=180°﹣∠EGH=107°，
∴∠BHQ=∠QHG﹣∠BHG=107°﹣73°=34°．
故选B．
10．【解析】如图，
∵∠EPM=∠FQM，∠AEP=∠CFQ，∠EPM+∠AEP+∠1=180°，∠FQM+∠CFQ+∠2=180°，
∴∠1=∠2，
∴AB∥CD．

11．【解析】∵DE∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠B，
∴∠2=∠B，
∴EF∥AB．


1．【答案】B
【解析】设∠CEF=6x，如图所示：

∵∠CEF：∠BEF=6：7，
∴∠BEF=7x，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEC=180°，
又∵∠ABE=50°，
∴∠BEC=130°，
又∵∠BEC=∠CEF+∠BEF，
∴7x+6x=130°，
解得：x=10°，
∴∠CEF=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF=180°，
∴∠AFE=120°，
故选B．
2．【答案】C
【解析】如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°=30°．
故选C．

3．【答案】B
【解析】∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，
∴∠ACB=60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∵∠1=38°，
∴∠ACD=38°，
∴∠2=∠BCD=60°﹣38°=22°，
故选B．

4．【答案】D
【解析】∵AB∥DC，∠BED=60°，
∴∠ABE=60°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=12∠ABE=30°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
故选D．
5．【答案】C
【解析】∵∠DAB=∠C+∠ABC，∠C=30°，∠ABC=20°，
∴∠DAB=20°+30°=50°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF=∠DAB=50°，
故选C．
6．【答案】3
【解析】点P到直线l的距离是点P到直线l垂线段的长度，
∵PB⊥l，且PB=3cm，
∴点P到直线l的距离是3cm，
故答案为：3．
7．【解析】∵AB∥CD∥PN，
∴∠BCD=∠ABC=50°，∠DCP=180°﹣∠CPN=180°﹣150°=30°，
∴∠BCP=∠BCD﹣∠DCP=50°﹣30°=20°．
8．【解析】∵AB∥CD，
∴∠NMB=∠MNC=60°，
又∵MN⊥CE，
∴∠EMN=90°，
∴∠EMB=90°﹣∠NMB=90°﹣60°=30°．




上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的. ——L·克隆内克
给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴. ——A·L·柯西
数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立性是其本质的直接后果.
——A·埃博
数学，科学的女皇；数论，数学的女皇. ——C·F·高斯
一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家.
——维尔斯特拉斯

数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的.
——史密斯

——三角形与尺规作图



1．了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰(边)三角形的概念；全等图形的概念；尺规作图概念；了解五种基本作图的理由
2．理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰(边)三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质；
3．会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角和定理.识别全等图形；利用HL判定两个三角形全等；会用尺规作图完成五种基本作图；使用精练、准确的作图语言叙述画图过程；利用基本作图画三角形较简单的图形；利用基本作图画较简单的图形；会判定两个三角形全等
4．掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；
5．能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算；证明一个三角形是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题；利用角平分线的判定解决有关的实际问题.

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题考查,难度系数小,较简单,属于低档题
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质.


1．三角形的有关线段
（1）三角形的中线、高线、角平分线、中位线都是线段,三角形的中位线性质可以证明“平行”关系、“线段相等”关系,三角形的中线特点可以证明面积相等.
（2）三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
2．等腰三角形
①等腰对等角、等角对等腰
②等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.
③等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
④等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，∵△AOC≌△BOD，∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选B．

【考点】全等三角形的判定与性质
8．（2019•临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】∵CF∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△ADE和△FCE中∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD=CF=3，
∵AB=4，∴DB=AB﹣AD=4﹣3=1．故选B．
【考点】全等三角形的判定与性质
9．（2019•铁岭）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　）

A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【解析】连接AC并延长交EF于点M．

∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，
∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，
∵∠FCE=180°﹣∠E﹣∠F=180°﹣80°﹣50°=50°，
∴∠BAD=∠FCE=50°，故选B．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
10．（2019•青海）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】A
【解析】如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，
∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．

【考点】平行线的性质；等腰直角三角形
11．（2019•恩施州）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC=65°，
故选B．
【考点】三角形中位线定理．
12．（2019•铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．12 B．14 C．24 D．21
【答案】A
【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=7，∴四边形EFGH的周长=7+5=12．故选A．
【考点】三角形中位线定理
13．（2019•铁岭）如图，∠MAN=60°，点B为AM上一点，以点A为圆心、任意长为半径画弧，交AM于点E，交AN于点D．再分别以点D，E为圆心、大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线AF，在AF上取点G，连接BG，过点G作GC⊥AN，垂足为点C．若AG=6，则BG的长可能为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．23
【答案】D
【解析】由作法得AG平分∠MON，∴∠NAG=∠MAG=30°，
∵GC⊥AN，∴∠ACG=90°，∴GC=12AG=12×6=3，
∵AG平分∠MAN，∴G点到AM的距离为3，∴BG≥3．故选D．
【考点】垂线段最短；角平分线的性质；作图—基本作图
14．（2019•丹东）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，FG是（　　）

A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧
【答案】C
【解析】由作图可知作图步骤为：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．
③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．
④过点N作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选C．
【考点】平行线的判定；作图—复杂作图
15．（2019•鄂尔多斯）如图，在▱ABCD中，∠BDC=47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算α的度数是（　　）

A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC=47°42′，
由作法得EF垂直平分BD，BE平分∠ABD，
∴EF⊥BD，∠ABE=∠DBE=12∠ABD=23°51′，
∵∠BEF+∠EBD=90°，∴∠BEF=90°﹣23°51°=66°9′，
∴α的度数是66°9′．故选D．

【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图
16．（2019•贵阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE=2，BE=1，则EC的长度是（　　）

A．2 B．3 C．3 D．5
【答案】D
【解析】由作法得CE⊥AB，则∠AEC=90°，AC=AB=BE+AE=2+1=3，
在Rt△ACE中，CE=32-22=5．故选D．
【考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图
17．（2019•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A=30°，则S△BCDS△ABD=___________．

【答案】12
【解析】由作法得BD平分∠ABC，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，∴DA=DB，
在Rt△BCD中，BD=2CD，∴AD=2CD，∴S△BCDS△ABD=12．故答案为12．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图—基本作图
18．（2019•本溪）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE=BF；分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP=3，则点P到BD的距离为__________．

【答案】3
【解析】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A=90°，AP=3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．
【考点】角平分线的性质；矩形的性质；作图—复杂作图
19．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C=∠C1=90°，AC=A1C1=3，BC=4，B1C1=2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是__________．
【答案】53
【解析】如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°，AC=A1C1=3，BC=4，B1C1=2，
∴AB=32+42=5，
设AD=x，则BD=5﹣x，
∵△ACD≌△C1A1D1，
∴C1D1=AD=x，∠A1C1D1=∠A，∠A1D1C1=∠CDA，∴∠C1D1B1=∠BDC，
∵∠B=90°﹣∠A，∠B1C1D1=90°﹣∠A1C1D1，
∴∠B1C1D1=∠B，∴△C1B1D1∽△BCD，
∴BDC1D1=BCC1B1，即5-xx=2，解得x=53，
∴AD的长为53，故答案为53．

【考点】全等三角形的性质
20．（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB=8，CE=6，则BC的长为__________．

【答案】27
【解析】如图，连接AC交BD于点O，

∵AB=AD，BC=DC，∠A=60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，
∵CE∥AB，∴∠BAO=∠ACE=30°，∠CED=∠BAD=60°，
∴∠DAO=∠ACE=30°，∴AE=CE=6，∴DE=AD﹣AE=2，
∵∠CED=∠ADB=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF=DF=2，
∴CF=CE﹣EF=4，OF=OD﹣DF=2，
∴OC=CF2-OF2=23，∴BC=BO2+OC2=27 ．
【考点】等边三角形的判定与性质
21．（2019•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）

【解析】如图所示：⊙O即为所求．

【考点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图
18．（2019•无锡）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，ACc2．理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a﹣x）2，∴a2+b2=c2+2ax．∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2．小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（温馨提示：在图③中，作BC边上的高）
（2）证明你猜想的结论是否正确．
15．（2020•哈尔滨一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为直角边的Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且Rt△ABC的面积为5；
（2）在（1）的条件下，画出△BCD，点D在小正方形的顶点上，且tan∠CDB=32，连接AD，请直接写出线段AD的长．

16．（2020•兰州模拟）已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．

17．（2020•北京模拟）已知，如图，点A是直线l上的一点．求作：正方形ABCD，使得点B在直线l上．（要求保留作图痕迹，不用写作法）请你说明，∠BAD=90°的依据是什么？

18．（2020•江西一模）在▱ABCD中，AD=2AB，∠B=60°，E、F分别为边AD、BC的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形．
（2）在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形．

19．（2020•九江一模）在图①②中，点E在矩形ABCD的边BC上，且BE=AB，现要求仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．[保留画（作）图痕迹，不写画（作）法]
（1）在图①中，画∠BAD的平分线；
（2）在图②中，画∠BCD的平分线．

20．（2020•江西模拟）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=50°，∠A=100°，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
（1）在图（1）中，以AD为腰画一个等腰三角形ADE；
（2）若AB=AD，在图（2）中画一个60°的角．

21．（2020•长春模拟）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图①中，过点B作AB的垂线．
（2）在图②中，过点C作AB的垂线．

22．（2020•长春模拟）图①、图②分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形的面积为10，且分别满足以下要求：
（1）在图①中画一个直角三角形ABC．
（2）在图②中画一个钝角等腰三角形ABC．
（3）在图②中画出△ABC的边AB上的中线CD（只用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程）．

23．（2020•陕西模拟）如图，在△ABC内部有一点D，利用尺规过点D作一条直线，使其平行于BC．（保留作图痕迹，不写作法）




1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于12GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．
根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：
①CE=CD；
②BC=BE=BF；
③S四边形CDFB=12CF•BD；
④∠BCF=∠BCE．
所有正确结论的序号为（　　）

A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
2．如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△ABC的面积为4，则△BED的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，若EF=6，BC=13，CD=5，则S△DBC=（　　）

A．60 B．30 C．48 D．65
4．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的三条高线交于一点
B．直角三角形有三条高
C．三角形的三条角平分线交于一点
D．三角形的三条中线交于一点
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=8，BC=6，那么∠B的余切值为（　　）
A．34 B．43 C．35 D．45
6．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点D的坐标为（　　）

A．（﹣2，7） B．（7，2） C．（2，﹣7） D．（﹣7，﹣2）
7．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠A=∠D，AC、DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）作CN∥BD，BN∥AC，CN交BN于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论．

8．如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形，AN与MB交于P．
（1）求证：AN=BM；
（2）连接CP，求证：CP平分∠APB．

9．在△ABC和△DBE中，CA=CB，EB=ED，点D在AC上．
（1）如图1，若∠ABC=∠DBE=60°，求证：∠ECB=∠A；
（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC=∠DBE=45°时，求证：CE∥AB；
（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC=12时，求EFDF的值．

10．已知⊙O及⊙O外一点P．
（1）方法证明：如何用直尺和圆规过点P作⊙O的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法：
①连接OP，以OP为直径作⊙O′；
②⊙O′与⊙O相交于点A，作直线PA．
则直线PA即为所作的过点P的⊙O的一条切线．
请证明小明作图方法的正确性．
（2）方法迁移：如图②，已知线段l，过点P作一条直线与⊙O相交，且该直线被⊙O所截得的弦长等于l．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

11．如图，△ABC的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图：
①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹﹒
（1）在图1中画出AC边上的点D，使得CD=2AD；
（2）在图2中画出△ABC的重心G﹒

12．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
（1）尺规作图：在⊙O上求作点D，使∠COD=∠COB（点D不与B重合），连接CD，AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的面积．

13．已知，如图∠AOB内部有一点P，求作：等腰△EOF，使得EF过点P，点E在射线OB上，点F在射线OA上，且OE=OF．

14．图1，图2均为4×4的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1．图1中的线段AB和图2中线段CD的端点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，按下列要求画图：
（1）在图1中，画出以AB为对角线的菱形AEBF（不是正方形），点E，F均在小正方形的顶点上；
（2）在图2中，画出以CD为对角线的正方形CGDH，点G，H均在小正方形的顶点上，请直接写出正方形CGDH的面积．





1．【答案】D
【解析】如图所示，连接CD，BD，
由题可得，CA=CD，BA=BD，
∴点B，C都在AD的垂直平分线上，
∴BC垂直平分AD，
∴BH⊥AD，AH=DH．
故小明和小方说的都对，而小华和小强的说法都错误，
故选D．

2．【答案】A
【解析】由题可得，CF是∠ACD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=8，
∴∠F=∠DCF，
∴∠BCF=∠F，
∴BF=BC=10，
∴AF=BF﹣AB=10﹣8=2．
故选A．
3．【答案】A
【解析】如图所示，过B作BE⊥ON于E，
由题可得OP平分∠MON，∴∠DOA=∠BOA，
∵AB∥DO，∴∠DOA=∠BAO，
∴∠BOA=∠BAO，∴BO=BA=6，
∵∠NOM=60°，∠BEO=90°，∴∠OBE=30°，
∴OE=12OB=3，∴BE=OB2-OE2=62-32=33，
即直线AB与ON之间的距离为33，故选A．

4．【答案】C
【解析】由作法得MN垂直平分BC，∴BE=CE，
∵∠BAC=90°，∴AE=BE=CE，
∴E为△ABC外心，所以①正确；
∵MN垂直平分BC，∴DB=DC，
∴△ABE、△ACE和△BCD都是等腰三角形，所以②错误；
当∠ABC=60°时，而AE=BE，
∴△ABE是等边三角形；所以③正确；
当∠C=30°时，BD垂直且平分AE．∴∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠AEB=60°，
∵EA=EC，∴∠EAC=∠C=30°，
∵∠AED=90°﹣∠AEB=30°，∴DA=DE，
∴BD垂直且平分AE．所以④正确．
故选C．
5．【答案】B
【解析】根据作图过程可知：
PQ是AF的垂直平分线，∴AE=EF，AB=FB，
∵AE：EC=2：3，AC=5，∴AE=2，EC=3，∴FC=32-22=5．
∵AB2+AC2=BC2即BF2+25=（BF+5）2，解得BF=25
∴BC=BF+FC=35．则BC的长为35．故选B．
6．【答案】D
【解析】根据画图过程可知：
DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠EAM=∠CAM，
∵∠EAC=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD，
∵AD是高，∴∠ADB=90°，
∴∠FAD=∠ADB=90°，∴△ADF的形状是等腰直角三角形．
故选D．
7．【答案】B
【解析】作DH⊥AB于H，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH=DC=4，
∴S△ABD=12×14×4=28．故选B．

8．【答案】B
【解析】由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE，
∴AC=6，
在Rt△ACB中，AB=62+82=10，
∵DE∥BC，
∴点D为AB的中点，
∴AD=12AB=5．
故选B．
9．【答案】C
【解析】如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=13CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴EMBC=EQCQ=2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12．
故选C．

10．【答案】C
【解析】如图，∵CD⊥BD于D，
∴△ABC中AB边上的高线是线段CD．
故选C．

11．【答案】26
【解析】设BE、CD交于点O，
∵BE、CD为中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴BO=2EO，CO=2OD，（也可以连接DE，利用三角形的中位线定理证明）
设OE=x，OB=2x，OD=y，OC=2y．

∵AD=BD=92，AE=CE=72，
∵BE⊥CD，
∴∠BOD=∠COE=90°，
∴y2+(2x)2=(92)2x2+(2y)2=(72)2，
可得x2+y2=132，
∴BC=(2x)2+(2y)2=26．
故答案为26．
12．【答案】20°或50°
【解析】如图，

当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=12（180°﹣40°）=70°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=20°．
当CD′=AD′时，∠D′CA=∠A=40°，
∴∠BCD′=90°﹣40°=50°，
故答案为20°或50°．
13．【解析】（1）∵正方形ABCD，
∴∠C=∠A=90°，DC=DA，
∵△DCE沿DE对折得到△DFE，
∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，DF=DA，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
DG=DGDF=DA，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴∠ADG=∠FDG，即DG平分∠ADF；
（2）∵正方形ABCD中，AB=12，点E是BC边的中点，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=x，则EG=6+x，BG=12﹣x，
在Rt△BEG中，根据勾股定理得，EG2=BE2+BG2，
即（6+x）2=62+（12﹣x）2，
解得x=4，
∴EG=6+4=10，
∴△EDG的面积=12EG×DF=12×10×12=60．

14．【解析】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2 的大小关系为：a2+b20，x>0，
∴2ax>0，
∴a2+b2