2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试（三）数学（理）试题（解析版）

2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试（三）数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】求解一元二次不等式得到集合A，由交集的定义即得解.【详解】由题意可得：由交集的定义，有.故选：C【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2．复数在复平面内所对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】利用复数的除法可求，从而得到其在复平面内所对应的点，由此可得正确的选项.【详解】由题意： ，该复数对应的点 位于第二象限.故选：B.【点睛】在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．3．函数是（    ）         A．周期为的奇函数       B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数      D．周期为的偶函数 【答案】B【解析】试题分析：根据周期公式可得,又，所以该函数是偶函数．故选B．【考点】三角函数的周期性和奇偶性．4．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】先求解f(x)的定义域排除B,D，再求导通过导函数研究f(x)的单调性，即得解.【详解】由于的定义域为：，故排除B，D；，与同正负，令在单调递增；令在单调递减；故选：A【点睛】本题考查了已知函数解析式研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.5．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得到，利用a,b,c的关系即得解.【详解】由于故：由题意双曲线的焦点在x轴上，因此渐近线方程为：故渐近线方程为：故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6．对任意，若，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用同角三角函数关系转化为对任意成立，即得解.【详解】由于，故，对任意成立故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据程序框图的循环结构，依次计算，即得解.【详解】初始值： 满足：满足：满足：……满足：输出：故选：D【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.8．的展开式中的常数项等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】分别将，用二项式定理展开，再研究对应项乘积得到的常数项即可.【详解】由于故的展开式中的常数项为：故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量求解异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图建立空间直角坐标系，则设异面直线与所成角为 故选：C【点睛】本题考查了向量法求解异面直线夹角，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于基础题。10．在中，，为线段上的点，且.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】转化，结合余弦定理，即可求解x,得到.【详解】不妨设由余弦定理：联立得到：故选：B【点睛】本题考查了解三角形和向量综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11．在中，内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用正弦定理得到，求出，再利用求解，结合得到，最后由面积公式即得解.【详解】由正弦定理可得：又由正弦定理可得：又，故C为锐角故故选：A【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．若函数恰有两个零点，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】转化函数恰有两个零点为与有两个交点，利用导数研究的单调性，得到简图，结合图像即得解.【详解】由于不为零点即与有两个交点与同正负令故在单调递增；令故在单调递减；结合图像可知当时，与有两个交点，函数恰有两个零点.故选：C【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.  二、填空题13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，三位球迷赛前在一起聊天.说：“甲队一定获胜.”说：“甲队不可能输.”说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）【答案】甲胜【解析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.【详解】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.故答案为：甲胜【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题.14．公元前世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______.【答案】【解析】依次按照完全数的定义分析：1，6，24，28，36，得到集合中为完全数，不为完全数，在集合中任取两个数有种情况，在集合中任取两个数有种情况，利用古典概型和互斥事件的概率公式即得解.【详解】1没有除自身外的约数，因此1不为完全数；6的真因子为1，2，3，1+2+3=6，故6为完全数；24的真因子为1，2，3，4，6，8，12，1+2+3+4+6+8+12=36，故24不为完全数；28的真因子为1，2，4，7，14，1+2+4+7+14=28，故28为完全数；36的真因子为1，2，3，4，6，9，12，18，1+2+3+4+6+9+12+18=54，故36不为完全数；因此集合中为完全数，不为完全数.在集合中任取两个数有种情况；在集合中任取两个数有种情况；这两个数中有完全数的对立事件为取到的两个数都不是完全数，因此：故答案为：【点睛】本题考查了古典概型和互斥事件的概率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.15．往一球型容器注入cm3的水，测得水面圆的直径为cm，水深为cm，若以cm3/s的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为cm时，则需经过______s.【答案】【解析】根据题意作出简图，由球截面性质：，可求得，当再次测得水面圆的直径为cm时，水面到达关于球心对称的位置所在平面，此时注入水的体积，根据注水速度即可得解.【详解】设球半径为，如图假设水面在所在位置，则由球截面性质：球体积：当再次测得水面圆的直径为cm时，水面到达关于球心对称的位置所在平面此时注入水的体积故经过的时间故答案为：【点睛】本题考查了球的截面性质和体积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．已知斜率存在的直线交抛物线于两点，点，若，则直线恒过的定点是______.【答案】【解析】设直线l: ,与抛物线联立，得到韦达定理，又代入韦达定理得到即得解.【详解】设直线l: ,设即：，过定点故答案为：【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 三、解答题17．记数列的前项和为，已知，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求的通项公式，并求的最小值.【答案】（1）（2）；的最小值为.【解析】（1）令，代入可求解，转化为，得到是以为首项，以为公差的等差数列，即得解.（2）利用，结合（1）种结论得到，通过列举和正负分析可得的最小值.【详解】（1）令，得，即，解得.所以.易知，两边同时除以，得.所以是以为首项，以为公差的等差数列.所以，所以.（2）当时，.当时，不符合上式.所以当时，，当取其他值时，，所以的最小值为.【点睛】本题考查了数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且.点是线段上一点，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）先证明，再结合得到平面，即得证；（2）建立如图所示空间直角坐标系，求解平面SED，CED的法向量，利用二面角的向量公式可得解.【详解】（1）因为，，所以，所以.因为，所以，所以，所以.因为平面，平面，所以.又，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）过作，交于点.以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，.所以，，.设平面的法向量为，则即取，则.易知为平面的一个法向量，且.所以.所以所求二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．甲市有万名高三学生参加了天一大联考，根据学生数学成绩（满分：分）的大数据分析可知，本次数学成绩服从正态分布，即，且，.（1）求的值.（2）现从甲市参加此次联考的高三学生中，随机抽取名学生进行问卷调查，其中数学成绩高于分的人数为，求.（3）与甲市相邻的乙市也有万名高三学生参加了此次联考，且其数学成绩服从正态分布.某高校规定此次联考数学成绩高于分的学生可参加自主招生考试，则甲和乙哪个城市能够参加自主招生考试的学生更多？附：若随机变量，则，，.【答案】（1）（2）6.825（3）甲市能够参加自主招生考试的学生更多.【解析】（1）根据题设的概率数据以及给出的区间的概率值即可得解；（2）由题意可知服从二项分布，利用二项分布的期望公式，可得解；（3）利用区间的概率值，可求得，由（2）可知，根据正态分布的特点，可得解.【详解】（1）因为，，所以解得（2）.由题意知，所以.（3）因为.所以.由（2）可知，即甲市数学成绩高于分的学生人数与乙市数学成绩高于分的学生人数相等，根据正态分布的特点可知，甲市数学成绩高于分的学生人数比乙市多，即甲市能够参加自主招生考试的学生更多.【点睛】本题考查了概率和统计综合，考查了正态分布，二项分布等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求解A点坐标，代入椭圆方程，结合离心率为，即得解.（2）设，，利用点差法得到，得到直线的方程为，得到，利用在椭圆内部得到范围，即得解.【详解】（1）不妨取第一象限的交点为.由椭圆将圆的圆周分为四等份，知.所以.因为点在椭圆上，所以.①因为，所以.②①②联立，解得，.所以椭圆的方程为.（2）设，，则两式相减，得.又因的中点为，所以，.所以直线的斜率.当时，直线的方程，直线即轴，此时.当时，直线的斜率.所以直线的方程为，即.令，则.因为点在椭圆内部，所以.所以，所以.综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．已知函数.（1）若在上存在极小值，求的取值范围；（2）设（为的导函数），的最小值为，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）对求导，研究单调性，求出极小值点为，依题意知，求解即可;（2）对求导，令，二次求导可得，所以在上单调递增，所以是即的唯一实根， 由求解的取值范围即可.【详解】（1）函数的定义域为..令，解得.因为在上，；在上，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的极小值为.依题意知，即，所以.解得.即的取值范围为.（2），所以.令，则，所以在上单调递增.所以是即的唯一实根.令，得，即.所以.由题意得，解得.所以的取值范围为.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线经过点，且与极轴所成的角为.（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于两点，若，求直线的普通方程.【答案】（1）.（为参数）.（2）或.【解析】（1）曲线的参数方程消去参数即得普通方程，根据直线参数方程的定义表示即可；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，得到韦达定理，由参数方程的几何意义可以得到即可得解.【详解】（1）由参数方程得，所以曲线的普通方程为.设点的直角坐标为.则，.即，故直线的参数方程为（为参数）.（2）将代入，得..设是方程的两个根，则，.所以.所以整理得或，所以直线的方程为或.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.23．已知存在，使得，.（1）求的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）利用绝对值不等式的性质可得，结合题设条件即得解；（2）利用均值不等式，，即得解.【详解】（1）因为，因为存在，使得，所以，即的取值范围是.（2）由（1）知.因为.又所以当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式，均值不等式的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.