2020届云南省陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（理）试题（解析版）

2020届云南省陆良县高三上学期第二次适应性考试数学（理）试题  一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B．C． D．或【答案】A【解析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，，．故选：A．【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知为实数，若复数为纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】＝，∵复数是纯虚数，∴且得且≠，即，故选D．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3．的值等于(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解，得到答案．【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．若，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知，，，∴，故选B.5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案.【详解】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为，又由半径为2的圆形纸板的面积为，根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当时，，，满足进行循环的条件，当时，，满足进行循环的条件，当时，，满足进行循环的条件，当时，，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．的展开式中，含的项的系数是（）A．-40 B．-25 C．25 D．55【答案】B【解析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含的项有两种构成，一种是中的1与中的二次项相乘得到，一种是中的与中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。【详解】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为，故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．函数的图象大致为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出即可判断【详解】，则函数为奇函数，故排除，当时，，故排除，故选．【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.9．等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，得到，再由裂项相消法即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，，可得，所以，因此，所以，所以 .故选B【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出抛物线焦点坐标，可知双曲线；再由双曲线截抛物线的准线所得线段长为，由双曲线的对称性可知点在双曲线上，代入即可求解.【详解】由题易知抛物线的焦点坐标为，则双曲线的一个焦点坐标为，因为抛物线的准线方程为，双曲线截抛物线的准线所得线段长为，所以点在双曲线上，可得，可得 ，所以，即 故选：A【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的定义和性质以及双曲线的对称性，需熟记并理解双曲线与抛物线的定义和性质，属于基础题.11．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的体积为（ ）A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】试题分析：因为，，，所以的中点为的外心，连接，则，又和所在的平面互相垂直，所以平面，上的每一点到距离相等，因此正三角形的中心即是外接球球心，其半径也是外接球半径，所以球半径，求体积为 ，故选C.【考点】1、外接球的性质及勾股定理；2、面面垂直及球的体积公式.【方法点睛】本题主要考查外接球的性质及勾股定理、面面垂直及三棱锥外接球体积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.本题是根据方法④直接找出球心并求出半径进而得到求体积的.12．已知函数 若函数有个零点，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，时，，且 时， 画出的图象如图，由图知时，与有三个交点，此时有三个零点，所以实数取值范围是，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的图象以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．  二、填空题13．已知x，y满足不等式组，则的最小值为______．【答案】2【解析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．【详解】解：，的几何意义为动点到原点距离的平方．作出x，y满足不等式组对应的平面区域如图：由图可知：原点到直线的距离为可行域内动点到原点距离的最小值．由点到直线距离公式得，的最小值为．故答案为：2．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．曲线在处的切线的倾斜角为__________．【答案】【解析】首先求出，根据导数的几何意义即可求解.【详解】由，所以 所以 即处的切线的斜率为 故切线的倾斜角为    故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及求导公式，需熟记基本初等函数的导数公式和运算法则，理解导数的几何意义.15．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．【答案】150【解析】根据等比数列前项和的性质成等比数列，建立方程关系即可求解.【详解】在等比数列中， ，，也成等比数列，即成等比数列，  解得  故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列前项和以及性质的应用，要熟练掌握等比数列项和公式和性质以及等比数列的基本运算，考查学生的运算能力.16．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为_________．【答案】16【解析】首先根据圆和圆的标准方程，作差求出两圆的公共弦所在的直线方程，结合点在该公共弦上得到，然后把变形为，展开后利用基本不等式即可求解.【详解】根据题意，圆和圆，两圆作差可得其公共弦所在的直线方程为，又由点在两圆的公共弦上，则， 当且仅当且，即时等号成立，的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查圆的公共弦所在的直线方程、基本不等式求最值，属于基础题. 三、解答题17．已知，设．（1）求的解析式并求出它的周期．（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．【答案】（1），周期为；（2）．【解析】（1）先根据向量的运算规则求解，然后化简可求；（2）先求角，结合余弦定理求出，可得面积.【详解】（1）由，则＝，即函数的周期，故，周期为．（2）因为，所以，所以，又，所以，所以，又，由余弦定理得：，所以，所以，即.【点睛】本题主要考查三角函数的性质和利用余弦定理求解三角形，侧重考查数学运算的核心素养.18．如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.（1）证明：平面平面；（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）先证明平面，再证明后即可得平面，即可得证；（2）建立空间坐标系后分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，求出后即可得解.【详解】（1）证明：因为是半圆的直径，所.因为垂直于所在的平面，，所以，所以平面.因为，且，所以四边形为平行四边形.所以，所以平面，因为平面，所以平面平面. （2）由题意，，、、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则即令，则.设平面的一个法向量为，则即则，则.  因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题.19．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：个人所得税税率表调整前个人所得税税率表调整后免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率1不超过1500元部分31不超过3000元部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20 （1）假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入元人数403010875 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量X表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）220元；（2）分布列见解析，；【解析】（1）分别计算小明调整前后的税收，实际收入比调整前增加的为税收减少的部分（2）由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；列出分布列，利用期望定义公式计算即可．【详解】解：（1）按调整起征点前应纳税为：；按调整起征点后应纳税为：；；所以小明实际收入增加了220元；（2）由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；；；；；所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P     ；【点睛】本题考查了税收的计算，离散型随机变量的概率分布列和期望的计算，属于基础题．20．已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.（1）求该椭圆的方程.（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）的面积为定值1.【解析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，求，点到直线的距离，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由，又由于，一个长轴顶点在直线上，可得：，，.（1）故此椭圆的方程为.（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆的方程得：，由，可得，则，，，又点到直线的距离，，由于，可得：，故，当直线的斜率不存在时，可算得：，故的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.21．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.【答案】（1）当时， 的递增区间为；当时，的递增区间为，，递减区间为；当时，的递增区间为，，递减区间为；（2）见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可.（2）问题转化为，令 ，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1）由题意，函数的定义域为, 当时，恒成立，故的递增区间为；当时，在区间，时，时，所以的递增区间为，，递减区间为；当时，在区间，时，时，所以的递增区间为，，递减区间为；综上所述，当时， 的递增区间为；当时，的递增区间为，，递减区间为；当时，的递增区间为，，递减区间为；（2）当时，由,只需证明. 令 ，.设，则. 当时，，单调递减;当时，，单调递增,∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是 成立.故成立.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，导函数在证明不等式中的应用，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.22．已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1），；（2）存在，【解析】（1）消去参数可求出直线的普通方程，利用极坐标公式可求出曲线的直角坐标方程.（2）求出圆心到直线的距离，根据垂径定理即可求解.【详解】（1）消由   直线的普通方程为由， 曲线的直角坐标方程为（2）由于曲线的直角坐标方程为，则圆心，，所以圆心到直线的距离 ，根据垂径定理可得，即，可求得，实数.【点睛】本题主要了参数方程、极坐标方程化为普通方程以及直线与圆相交的弦长问题，考查了学生的运算能力，属于中档题.23．已知，，，函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值．【答案】（1）；（2）3【解析】（1）当时,不等式化为即解．对与的大小关系分类讨论即可得出. （2）由绝对值三角不等式与柯西不等式即可求解.【详解】（1）当时,不等式即，化为．当时，化为：，解得；当时，化为：，化为：，解得；当时，化为：，解得．综上可得：不等式的解集为：； （2）由绝对值三角不等式得，由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式、柯西不等式，考查学生的灵活分析问题的能力、运算能力.