2020届浙江省高考冲刺抢分练高考仿真卷（一） 数学（解析版）

2020届浙江省高考冲刺抢分练高考仿真卷（一） 数学（解析版）
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．已知集合A＝{x|x2<1}，集合B＝{x|log2x<0}，则A∩B等于(　　)
A．(0,1) B．(－1,0) C．(－1,1) D．(－∞，1)
答案　A
解析　根据题意集合A＝{x|－1 2．在平面直角坐标系中，经过点P(2，－)，渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴设所求双曲线的标准方程为2x2－y2＝k.又在双曲线上，则k＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x2－y2＝14，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．5 D．7
答案　C
解析　画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，

由可得
将z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x＋z，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点(3，－1)时，
直线在y轴上的截距最大，即z最大，
z的最大值为z＝2×3－1＝5.
4．若复数z1＝2＋i，z2＝cos α＋isin α(α∈R)，其中i是虚数单位，则|z1－z2|的最大值为
A.－1 B. C.＋1 D.
答案　C
解析　方法一　由题可得z1－z2＝2＋i－cos α－isin α＝2－cos α＋(1－sin α)i(α∈R)，
则|z1－z2|＝
＝
＝＝
＝，其中tan φ＝2，当sin(α＋φ)＝－1时，
|z1－z2|有最大值，此时|z1－z2|＝＝＋1.
方法二　∵z1＝2＋i，z2＝cos α＋isin α(α∈R)，
∴z2在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z1＝2＋i对应的点为Z1(2,1)．
如图：

则|z1－z2|的最大值为＋1.
5．“α≠β”是“cos α≠cos β”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为α＝β⇒cos α＝cos β，所以cos α≠cos β⇒α≠β (逆否命题)必要性成立，α＝－β⇒cos α＝cos β，充分性不成立，故“α≠β”是“cos α≠cos β”的必要不充分条件．
6．函数f(x)＝的图象大致为(　　)


答案　A
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝，f ＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B；当x>1时，f(x)＝＝>0，故可排除C；当x>0时，f(x)＝＝ ，f′(x)＝，显然当10，函数f(x)单调递增，当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，可排除D，故选A.
7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有(　　)
A．72种 B．144种 C．288种 D．360种
答案　B
解析　第一步排语文、英语、化学、生物4科，且化学排在生物前面，有＝12(种)排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A＝12(种)排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144(种)．
8．已知随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
P
a
b
c

其中a，b，c>0.若X的方差D(X)≤对所有a∈(0,1－b)都成立，则(　　)
A．b≤ B．b≤ C．b≥ D．b≥
答案　D
解析　由X的分布列可得X的期望为E(X)＝－a＋c，
a＋b＋c＝1，
所以X的方差D(X)＝(－1＋a－c)2a＋(a－c)2b＋(1＋a－c)2c＝(a－c)2(a＋b＋c)－2(a－c)2＋a＋c＝－(a－c)2＋a＋c＝－(2a－1＋b)2＋1－b＝－42＋1－b，因为a∈(0,1－b)，所以当且仅当a＝时，D(X)取最大值1－b，又D(X)≤对所有a∈(0,1－b)都成立，所以只需1－b≤，解得b≥.
9．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为(　　)

A. B. C. D.
答案　D
解析　因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d＝＝，而截面到球体最低点的距离为1－，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为－＝.
10．设α，β是方程x2－x－1＝0的两个不等实数根，记an＝αn＋βn(n∈N*)．
下列两个命题(　　)
①数列{an}的任意一项都是正整数；
②数列{an}存在某一项是5的倍数．
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
答案　A
解析　因为α，β是方程x2－x－1＝0的两个不等实数根，所以α＋β＝1，αβ＝－1，
因为an＝αn＋βn，
所以an＋1＝αn＋1＋βn＋1＝(αn＋βn)α＋(αn＋βn)β－βnα－αnβ＝(αn＋βn)(α＋β)－αβ(αn－1＋βn－1)＝(αn＋βn)＋(αn－1＋βn－1)＝an＋an－1，即当n≥3时，数列{an}中的任一项都等于其前两项之和，又a1＝α＋β＝1，a2＝α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝3，所以a3＝a2＋a1＝4，a4＝a3＋a2＝7，a5＝a4＋a3＝11，以此类推，即可知数列{an}的任意一项都是正整数，故①正确，若数列{an}存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5.由a1＝1，a2＝3，依次计算知，数列{an}中不存在个位数字为0或5的项，②错误．

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”．其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”．设x，y分别为人数、猪价，则x＝________，y＝________.
答案　10　900
解析　由题意可列方程组
解得
12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.

答案　20＋4　8
解析　由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积S＝2××4×2＋22＋4×2＋2×2＝20＋4，
体积V＝×4×2×2＝8.
13．已知多项式(x＋2)m(x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n满足a0＝4，a1＝16，则m＋n＝________，a0＋a1＋a2＋…＋am＋n＝________.
答案　5　72
解析　令x＝0，得a0＝2m＝4，又由二项展开式的通项公式得C·2m－1·C·1n＋C·2m·C·1n－1＝16，所以m＝2，n＝3，则m＋n＝5；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋am＋n＝32×23＝72.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若c＝2acos B，S＝a2－c2，则△ABC的形状为________，C的大小为________．
答案　等腰三角形　
解析　在△ABC中，由c＝2acos B及正弦定理得sin C＝2sin Acos B，则sin(A＋B)＝2sin Acos B，化简得sin(A－B)＝0，那么A＝B，从而有a＝b，所以△ABC为等腰三角形；由S＝a2－c2及余弦定理得absin C＝a2－(a2＋b2－2abcos C)，化简得a2sin C＝a2cos C，又a>0，所以sin C＝cos C，则tan C＝1，又C是△ABC的内角，故C＝.
15．已知x>0，y>－1，且x＋y＝1，则＋的最小值为________．
答案　2＋
解析　＋＝＋，
结合x＋y＝1可知原式＝＋，
且＋＝×
＝
≥＝2＋，
当且仅当x＝3－，y＝－2＋时等号成立．
即＋的最小值为2＋.
16．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上移动时，△PF1F2的内心I的轨迹方程为____________________________．
答案　x2＋3y2＝1(y≠0)
解析　由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，设点P(x，y)，I(m，n)，－2 17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝1，∠A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且＝λ，＝μ，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值为________．

答案　
解析　连接AM，AN(图略)，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝120°，所以·＝||·||·cos 120°＝－，因为AM是△AEF的中线，所以＝(＋)＝(λ＋μ)，同理可得＝，由此可得＝－＝(1－λ)＋，两边平方并化简得2＝(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2，由于λ＋4μ＝1，可得1－λ＝4μ，代入上式并化简得2＝μ2－μ＋＝2＋，由于λ，μ∈，所以当μ＝时，2取得最小值，所以||的最小值为.
三、解答题(本大题共5小题，共74分．)
18．(14分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)过点，且当x＝时，函数f(x)取得最大值1.
(1)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)，求函数g(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，函数h(x)＝f(x)＋g(x)＋2cos2x－1，求h(x)在上的值域．
解　(1)由题意得A＝1，由函数过得sin φ＝，∵|φ|<，
∴φ＝.
又f ＝1，∴ω＋＝＋2kπ，k∈Z，∵0<ω<4，
∴ω＝2，
∴f(x)＝sin，
∴g(x)＝f ＝sin.
(2)h(x)＝sin＋sin＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
当x∈时，≤2x＋≤，
－≤sin≤1，
－1≤2sin≤2，所以h(x)在上的值域为[－1,2]．
19．(15分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是梯形，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，PB＝，PA＝PC＝.

(1)证明：AC⊥BP；
(2)求直线AD与平面APC所成角的正弦值．
(1)证明　取AC的中点F，连接PF，BF，
由PA＝PC得PF⊥AC，由AB＝BC，得BF⊥AC，
又PF∩BF＝F，∴AC⊥平面PBF，
又BP⊂平面PBF，∴AC⊥BP.
(2)解　延长BF交AD于点E，过点P作PO垂直于平面ABCD于点O，由(1)易知点O在BE上，

在△PBF中，PB＝，BF＝，PF＝，
由余弦定理得cos∠PFB＝＝－，
即∠PFB＝120°，则∠PFO＝60°，
∴PO＝PF·sin 60°＝，
由VP－ACD＝VD－APC得·PO·S△ACD＝·h·S△APC，其中h为点D到平面APC的距离，解得h＝，
设直线AD与平面APC所成角为θ，
则sin θ＝＝.
20．(15分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝＋(n∈N*，且n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：当n≥2时，＋＋＋…＋<.
(1)解　由an＝＋，得Sn－Sn－1＝＋，即－＝1(n≥2)，
所以数列{}是以＝＝1为首项，以1为公差的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，也满足上式，所以an＝2n－1.
(2)证明　当n≥2时，＝<
＝·＝，
所以＋＋＋…＋<1＋
＝－<.
故当n≥2时，＋＋＋…＋<.
21.(15分)已知直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)恰有一个公共点P，l与圆x2＋y2＝a2相交于A，B两点．

(1)求k与m的关系式；
(2)点Q与点P关于坐标原点O对称．若当k＝－时，△QAB的面积取到最大值a2，求椭圆的离心率．
解　(1)由得(a2k2＋b2)x2＋2a2kmx＋
a2(m2－b2)＝0，
则Δ＝(2a2km)2－4(a2k2＋b2)a2(m2－b2)＝0，
化简整理，得m2＝a2k2＋b2.
(2)因为点Q与点P关于坐标原点O对称，故△QAB的面积是△OAB的面积的两倍．
所以当k＝－时，△OAB的面积取到最大值，此时OA⊥OB，
从而原点O到直线l的距离d＝，
又d＝，故＝.
再由(1)，得＝，则k2＝1－.
又k＝－，故k2＝1－＝，即＝，
从而e2＝＝1－＝，即e＝.
22．(15分)已知f(x)＝2ln(x＋2)－(x＋1)2，g(x)＝k(x＋1)，k∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当k＝2时，求证：对于任意x>－1，f(x) (3)若存在x0>－1，使得当x∈(－1，x0)时，恒有f(x)>g(x)成立，试求k的取值范围．
(1)解　函数f(x)的定义域为(－2，＋∞)．
f′(x)＝－2(x＋1)
＝(x>－2)，
当f′(x)>0时，x2＋3x＋1<0.
解得－2 当f′(x)<0时，解得x>.
所以f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)证明　设h(x)＝f(x)－g(x)
＝2ln(x＋2)－(x＋1)2－k(x＋1)(x>－1)，
当k＝2时，
h′(x)＝－2＝，
∴当x>－1时，h′(x)<0恒成立，h(x)单调递减．
又h(－1)＝0，
∴当x∈(－1，＋∞)时，h(x) 即f(x)－g(x)<0.
∴对于任意x>－1，f(x) (3)解　因为h′(x)＝－k
＝－.
方法一　由(2)知，当k＝2时，f(x) 即对于任意x>－1,2ln(x＋2)－(x＋1)2<2(x＋1)，
不存在满足条件的x0；
当k>2时，对于任意x>－1，x＋1>0，
此时2(x＋1) ∴2ln(x＋2)－(x＋1)2<2(x＋1) 即f(x) 当k<2时，令t(x)＝－2x2－(k＋6)x－(2k＋2)，
可知t(x)与h′(x)符号相同，
当x∈(x0，＋∞)时，t(x)<0，h′(x)<0，
h(x)单调递减．
∴当x∈(－1，x0)时，h(x)>h(－1)＝0，
即f(x)－g(x)>0恒成立．
综上，k的取值范围为(－∞，2)．
方法二　存在x0>－1，使得当x∈(－1，x0)时，恒有f(x)>g(x)成立，即h(x)>0恒成立，即h(x)>h(－1)恒成立，即当x∈(－1，x0)时，h′(x)>0恒成立．
令t(x)＝－2x2－(k＋6)x－(2k＋2)．
则t(－1)>0，即可解得k<2，
∴k的取值范围是(－∞，2)．