2020届四川省宜宾市叙州区第一中学高三一诊模拟数学（理）试题
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理科数学试题
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．若复数， 则
A．1 B． C． D．3
2．已知集合，集合为函数的定义域，则
A． B． C． D．
3．已知a、b为实数，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，若则等于
A． B． C． D．
5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为
A． B． C． D．
6．已知点P是椭圆 (a＞2)上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF1F2的周长为12，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．12 B．18 C．24 D．30
8．3位男生和3位女生共6位同学排成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的排法共有 种
A．360 B．288 C．216 D．144
9．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为
A．3 B．1 C．2 D．
10．已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的球面上，，平面ABC，则三棱锥的体积为
A． B． C． D．
11．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知偶函数（）的导函数为，且满足.当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．双曲线的渐近线方程是__________，离心率是__________.
14．若，且，则的最小值为______；
15．已知，则______.
16．平面上线段如果三角形GPH上的顶点P永远保持那么随着P的运动,三角形GPH面积的最大值等于_________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：“车辆驾驶员血液酒精溶度（单位mg/100ml）/在，属于酒后驾驶；血液浓度不低于80，属于醉酒驾驶。”2017年“中秋节”晚9点开始，济南市交警队在杆石桥交通岗前设点，对过往的车辆进行检查，经过4个小时，共查处喝过酒的驾驶者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾驶者血液中酒精溶度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图。
（Ⅰ）求这60名驾驶者中属于醉酒驾车的人数（图中每组包括左端点，不包括右端点）
（Ⅱ）若以各小组的中值为该组的估计值，频率为概率的估计值，求这60名驾驶者血液的酒精浓度的平均值。
18．（12分）如图，在四边形中，，连接.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积最大值.
19．（12分）如图，在以为顶点的五面体中，面是边长
为3的菱形.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，，，，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
21．（12分）已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若，是曲线上两点，求的值．
23．（10分）已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若正数，，，满足，求的最小值.
四川省叙州区第一中学高2020届一诊模拟考试
理科数学试题参考答案
1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7． C 8．B 9．B 10．D 11．A 12．C
13．. . 14．1 15． 16．
17：(1)由频率分布直方图可知：
醉酒驾驶的频率为
所以醉酒驾驶的人数为(人)
（2）由频率分布直方图可知
酒精浓度 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 | 85 |
频率 | 0.25 | 0.15 | 0.2 | 0.15 | 0.1 | 0.1 | 0.05 |
所以 =47
18．（Ⅰ）在中，由正弦定理得，
∴．
∵，∴，
∴为锐角，∴．
（Ⅱ）在中，，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，即面积的最大值为．
19．（1）因为是菱形，所以，又因为平面，
平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以.
（2）在中，
根据余弦定理，
因为，，，所以，
则，所以，
即.因为，，
所以.又因为，
平面,
所以平面.
设中点为，连结，,
因为是菱形，，
所以是等边三角形，
所以，.
作于点，
则，
在中，，所以.
如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，
，.
设平面的一个法向量为，
因为，所以，即，
取，解得，，此时.
由图可知，平面的一个法向量为，则，
因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值是.
20：（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为．
（2）由得，
则，解得或．
设，，则，，
设存在点，则，，
所以 ．
要使为定值，只需 与参数无关，
故，解得，
当时，．
综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．
21．（1）解：，
①若时，在上单调递减；
②若时，当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上，若时，在上单调递减；
若时，在上单调递减；在上单调递增；
（2）证明：要证，只需证，
由（1）可知当时，，即，
当时，上式两边取以为底的对数，可得，
用代替可得，又可得，
所以，
，即原不等式成立.
22．（1）将的参数方程化为普通方程得：
由，得的极坐标方程为：
将点代入中得：，解得：
代入的极坐标方程整理可得：
的极坐标方程为：
（2）将点，代入曲线的极坐标方程得：
，
23．解：（1）因为，
所以
①当时，，由，解得；
②当时，，由，即，
解得，又，所以；
③当时，不满足，此时不等式无解
综上，不等式的解集为：
（2）解法1：
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为
解法2：
由柯西不等式：上式
当且仅当时等号成立.所以的最小值为
