2020届天津市和平区高三下学期线上学习阶段性评估检测数学试题
展开和平区2019-2020学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测
数学学科试卷
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共45分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
如果事件A，B互斥,那么 如果事件A，B相互独立,那么
.
柱体的体积公式. 锥体的体积公式.
其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,
表示柱体的高. 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{∈R|－15}，则(A∪B)∩C=（ ）
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{∈R|－15}
(2)设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
(3)已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，
则等于（ ）
A． B． C． D．
(4)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元） | 1 | 2 | 4 | 5 |
销售额（万元） | 10 | 26 | 35 | 49 |
根据上表可得回归方程的约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（ ）
A．54万元 B．55万元 C．56万元 D．57万元
(5)设，，，则（ ）
A． B． C． D．
(6)著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
(7)已知双曲线(a>0，b>0)的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
(8)已知函数，那么下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数 B．在上恰有一个零点
C．是周期函数 D．在上是增函数
(9)已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共105分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共11小题，共105分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
(10)设复数满足，则______．
(11)二项式的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）
(12)在直三棱柱中，若四边形是边长为4的正方形，且，是的中点，则三棱锥的体积为______ ．
(13)一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是_____；若X表示摸出黑球的个数，则E(X)＝______.
(14)已知，，当取得最小值为 _____ 时，______．
(15)如图，在等腰中，,
与分别是的三等分点，且
, ,
.
三、解答题：本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(16) (本小题满分14分)
已知函数f (x)＝sin2x－cos2x－．
(Ⅰ)求f (x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；
(Ⅱ)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f (C )＝0，
若sinB＝2sinA，求a，b的值．
（17）(本小题满分14分)
如图，在三棱柱中，已知，侧面
（Ⅰ）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；
（Ⅱ）在棱（不包含端点上确定一
点的位置，使得(要求说明理由).
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求
二面角 的大小．
（18）(本小题满分15分)
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线、的斜率之和为定值．
（Ⅲ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由？
（19）(本小题满分16分)
已知正项等比数列满足，，数列满足.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和；
（Ⅲ）若，且对所有的正整数都有成立，求的取值范围.
(20)(本小题满分16分)
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围.
和平区2019-2020学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测
数学学科试卷参考答案
一、选择题：(本题满分45分)
1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C
二、填空题：(本题满分30分)
三、解答题：(本题满分75分)
(16) (本小题满分14分)
解: (Ⅰ)f (x) ＝sin2x－－ ……………… (1分)
＝sin2x－－1……………… (2分)
＝……………… (4分)
当2x－＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f (x)的最小值为－2，…… (6分)
此时自变量x的集合为：
．……… (7分)
(Ⅱ) ∵f (C)＝0，∴……………… (8分)
又∵0<C<π，∴2C－＝，即C＝．………………… (10分)
在△ABC中，sinB＝2sinA，由正弦定理知b＝2a，……………… (11分)
又∵c＝，
∴由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝3，……… (12分)
联立，得
∴…………………… (14分)
（17）(本小题满分14分)
解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，
则，，…………… (2分)
（Ⅰ）直三棱柱中，
平面的法向量，…………… (3分)
又，…………… (4分)
设，则 ……………… (5分)
（Ⅱ）设，则，
∴ …………… (7分)
，即 …………… (8分)
……………………………………… (9分)
（Ⅲ）∵，则，
设平面的法向量，
则，取，…………… (10分)
∵，
∴，又
，
∴平面的法向量，…………… (11分)
∴，…………… (13分)
又二面角的平面角为锐二面角
∴二面角为45°. ……………………… (14分)
（18）(本小题满分15分)
解：（Ⅰ），，…（2分)
，，
………………………………………( 4分)
（Ⅱ） 设，
设直线BD的方程为
……………………( 5分)
……………………( 6分)
① ②………………… (7分)
设直线、的斜率分别为： 、，则
…(8分)
= ------* ，……………………( 9分)
将①、②式代入*式整理得
=0
即0 …………………………………………………( 10分)
（Ⅲ），……( 11分)
，……………………( 12分)
设为点到直线BD：的距离，
……………………………………………………………( 13分)
，，……………………( 14分)
当且仅当时取等号.
因为，
所以当时，的面积最大，最大值为 …………(15分)
（19）(本小题满分16分)
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，
由可得，由于各项都为正数，，即，，解得，.，………( 2分)
；……………………( 4分)
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，……………………( 5分)
，
得，……………………( 6分)
两式相减得：，………( 9分)
因此，；……………………………………( 10分)
（Ⅲ）……………………………………………( 11分)
，
,，即，则有.
所以，数列是单调递减数列，则数列的最大项为.………………(13分)
由题意可知，关于的不等式对任意的恒成立，
.……………………………………………………( 14分)
由基本不等式知，当时，等号成立，………………( 15分)
，
实数的取值范围是……………………( 16分)
(20) (本小题满分16分)
解：（Ⅰ）当时，，，…………( 1分)
令，即，解得，………( 2分)
令得到，令得到，
故函数在单调递减，在单调递增；………( 3分)
故； ……………………( 4分)
（Ⅱ）当时，函数
则，…………………( 5分)
若时，，单调递减，…………………( 6分)
若时，，
当或时，，当时，，
即在区间，上单调递减，在区间上单调递增.……………( 8分)
若时，，
当或时，，当时，，
即在区间，上单调递减，在区间上单调递增.……………(10分)
综上，
时，函数的减区间为，无增区间；
时，函数的减区间为，，增区间为；
时，函数的减区间为，，增区间为
（Ⅲ）当时，设函数.
令，，
当时，，为增函数，…………………( 11分)
，为增函数，…………………(12分)
在区间上递增，
∵在上的值域是，
所以在上至少有两个不同
的正根，，……………( 13分)
令，求导，
令，
则，
所以在递增，，，
当，，∴
当，，∴，
所以在上递减，在上递增，……………( 14分)
∴， …………………………………( 15分)
∴.…………………………………………(16分)
