2020届四川省遂宁市第二中学高三上学期高考模拟（三）数学（理）试卷

2020届四川省遂宁市第二中学高三上学期高考模拟（三）数学（理）试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1.设i为虚数单位，则＝
（A）-i （B） i （C）-1 （D）1
2.已知集合，，则＝
（A） （B） （C） （D）
3.设a＝log36，b＝log310，c＝e-2，则
（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b （D）a＞b＞c
4.在的展开式中的常数项为
（A）20 （B）15 （C）-15 （D）-20
5.2019年11月2日，成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则分别安排在上、下午的概率为
（A） （B） （C） （D）
6.已知是双曲线：的左焦点，则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
7.设，x∈R,则
（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增
（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增8.设椭圆，a＞b＞0，点A，B为C的左，右顶点，点P为C上一点，若∠APB＝120°，则C的离心率的最小值为
（A） （B） （C） （D）
9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
（A）　　 （B）　　　　 （C）　　　　 （D）
10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切，则实数a＝
（A） （B） （C） （D）
11.设，，且，则
（A） （B） （C） （D）
12.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终
边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将△AMP的面积表示为的函数，
则在上的图象大致为



（A） （B）





（C） （D）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 已知向量,,∥,则t＝ .
14.函数，的最小值为 .
15.在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=1200,CD=3AB=3BC=,则AD的长度为 .
16.在四面体ABCD中，DA⊥底面，侧面ABD⊥侧面BCD，BD=BC=2,，三个侧面△DAB、△DBC、△DCA的面积的平方和为，则∠ADB＝ .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
17．(12分)设数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.




18. (12分)第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个.2018年7月22日，东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字，蓝色吉祥物被命名为Miraitowa，寓意未来和永恒.现从甲，乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评（满分分），其中成绩不低于分的记为“优秀”.根据测试成绩，学生的分数（单位：分）频率分布直方图如下（左图为甲校的，右图为乙校的）：

（1）根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.（结果保留两位小数）
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关：

非优秀
优秀
合计
甲校



乙校



合计



附：
P(K2>k)







19．(12分)图1是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形，其中AB＝BC＝CD＝2，BE＝，∠ABC＝∠ABE=∠BCD＝90°，将其沿，折起，使得与重合，连接，如图2.
（1）证明：图2中面；
（2）在图2中,,N分别为,的中点，求面与面所成的二面角的正弦值.


(图一) （图二）

20. (12分)已知点，点为直线上一动点,的垂直平分线与过且垂直于的直线交于点,设的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）设A,B为曲线上不同的两点, A,B,F三点不共线，,求△FAB的面积的最大值.


21. (12分)已知函数（）．
（1）证明：，并说明等号成立的条件；
（2）设，是否存在实数，使得在其定义域恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数的集合；若不存在，说明理由；
（3）设（），表示不超过的最大整数，试求．



（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设，且．
（1）证明：；
（2）求的最大值．

数学试题(理科)详细解答
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1. 设i为虚数单位，则i6＝
（A）-i （B） i （C）-1 （D）1
答案：C
【解析】i4=1,i6=i2=-1
故选C
2.已知集合，，则=
（A） （B） （C） （D）
答案：B
【解析】 或 ∴A∩B=(-3,-1)
故选B
3.设a＝log36，b＝log310，c＝e-2，则
（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b （D）a＞b＞c
答案：A
【解析】 在定义域上单调递增 ∴1＜a＜b 又∵c＜1 ∴b＞a＞c
故选A
4.在的展开式中的常数项为
（A）20 （B）15 （C）-15 （D）-20
答案：D
【解析】 ∴当r＝3时，T3+1＝-20
故选D
5.2019年11月2日，成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动，则分别安排在上、下午的概率为
（A） （B） （C） （D）
答案：D
【解析】由题意知：小王一共满足的情况为 种情况，分别在上下午的有6种情况，故概率为
故选D
6.已知是双曲线：的左焦点，则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
答案：B
【解析】因为焦点到渐近线的距离为b＝，以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
故选B
7.设，x∈R,则
（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增
（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增答案：C
【解析】∵，，∴f(x)为奇函数
又∵y=4x+1单调递增，∴f(x)在（0，+∞）上单调递减
故选C
8.设椭圆，a＞b＞0，点A,B为C的左，右顶点，点P为C上一点，若∠APB＝120°，则C的离心率的最小值为
（A） （B） （C） （D）
答案：A
【解析】设椭圆的上顶点为M ,则∠AMP≥120°，故，
∴，∴
故选A
9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
（A）　　 （B）　　　　 （C）　　　　 （D）
答案：C
【解析】设球的半径为r,∵球心到平面的距离为球的半径的，
∴截面的半径为，∴截面的面积为 ∵球的表面积为
∴所得截面的面积与球的表面积的比为
故选C
10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切，则实数a＝
（A） （B） （C） （D）
答案：D
【解析】设切点为（x0,0）， 则，所以，故x0=1,a=e
故选D
11.设，，且，则
（A） （B） （C） （D）
答案：C
【解析】，且，，∴
故选C
12.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终
边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将△AMP的面积表示为的函数，
则在上的图象大致为



（A） （B）





（C） （D）
答案：A
【解析】
∵当y＝0时，sinx=0或cosx=1
∴x=0或π，故不选D
又因为，所以当x=时
故选A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 已知向量,,∥,则t＝ .
答案：
【解析】由∥得，故
14.函数，的最小值为 .
答案：2
【解析】令则，y=t2-2t+3,t0=1, 故当t=1时 ymin=2
15.在四边形ABCD中,,，则的长度为 .
答案：6
【解析】在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，故AC=3,∠ACB=30°所以∠ACD=90°
在△ADC中，AC=3, ，故AD=6
16.在四面体中，底面，侧面侧面，，三个侧面、、的面积的平方和为，则 .
答案：
【解析】由底面知侧面底面，结合侧面侧面有平面.故四面体三个侧面均为直角三角形.设（），则，，，.于是三个侧面的面积的平方和是，解得，所以.
三、解答题：
17．(12分)设数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17．答案：（1）an=n,(2) Tn=(n-1)2n+1+2
【解析】（1）∵
∴当n=1时，a1=S1=1 2分
当n≥2时,an=Sn-Sn-1＝n 4分
综上an=n 5分
（2）由（1）知：an=n，故 6分
∴
∴ 8分
∴ 10分
∴Tn=(n-1)2n+1+2 12分

18. 第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个。2018年7月22日，东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字，蓝色吉祥物被命名为Miraitowa，寓意未来和永恒.甲乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评（满分分），其中成绩不低于分的记为“优秀”。根据测试成绩，学生的分数（单位：分）频率分布直方图如下（左图为甲校，右图为乙校）：

（1）根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.（结果保留两位小数）
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关：

非优秀
优秀
合计
甲校



乙校



合计



附：









答案：（1）52.35,(2) 有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关.
【解析】（1）在乙校学生测试成绩频率分布直方图中，成绩低于分直方图面积为；成绩低于分直方图面积为。因此乙校学生测试成绩的中位数的估计值是 6分
（2）

非优秀
优秀
合计
甲校
62
38
100
乙校
34
66
100
合计
96
104
200

。由于，因此有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关 12分
19．(12分)图1是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形，其中AB＝BC＝CD＝2，BE＝，∠ABC＝∠ABE=∠BCD＝90°，将其沿，折起，使得与重合，连接，如图2.
（1）证明：在图2中，面；
（2）在图2中,,N分别为,的中点，求面与面所成的二面角的正弦值.

(图一) （图二）
答案：（1）略,(2)
【解析】（1）在图2中，∵AB⊥BD,AB⊥BC
∴AB⊥BCD ∴AB⊥CD 又∵CD⊥BC ∴CD⊥ABC 6分
(2)以BC为x轴，BA为y轴，过B垂直ABC的直线为z轴建立坐标系，则
A(0,2,0)，B（0,0,0）C(2,0,0),D（2,0,0）M（1,1,1），N(1,0,1)
∴,
设平面CMN的一个法向量为，则
∴
不妨令x=1,则
又因为平面ABC的法向量，所以
故面与面所成的二面角的正弦值 12分
20.已知点，点为直线上一动点,的垂直平分线与过且垂直于的直线交于点,设的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）设A,B为曲线上不同的两点, A,B,F三点不共线，,求△FAB的面积的最大值.
答案：（1）,(2) ;
【解析】（1）由题意，到的距离等于到的距离，因此点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线。因此的轨迹方程是. 4分
（2）设直线的方程为，则与轴交于点（）.
代入抛物线，得
6分
设，，则由题意，有
，即 7分
因此，即，，且，
因此 9分
又，且. 10分
记，且，则
，
因此在与单调递增，在单调递减.
而，故.
故△FAB的面积的最大值 12分
21.已知函数（）．
（1）证明：，并说明等号成立的条件；
（2）设，是否存在实数，使得在其定义域恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数的集合；若不存在，说明理由；
（3）设（），表示不超过的最大整数，试求．
答案：（1）略,(2) ，（3）0.
【解析】（1）令，则．因此在上单调递增，在上单调递减．因此，所以，当且仅当时等号成立． 3分
（2）由题意，，于是可知在上单调递减，在上单调递增．于是．只需．由（1）可知，即，由此可知只能是，否则不符合题意．因此所求实数的集合是． 7分
（3）由（1），取，有，
因此，即．
由（2），(1+x)ln(1+x)，当且仅当时等号成立．
因此当时，．取，有．
因此，整理得，即．
从而，因此． 12分
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.
答案：（1）, (2) 的最小值为，此时.
【解析】（1）曲线C1的参数方程为(为参数)
将代入得：，即 3分
由曲线C2的极坐标方程为得

∴，即 5分
（2）设，则P到C2的距离为 8分
故当时，的最小值为，此时 10分
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设，且．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
答案：（1）略 (2) .
【证明】：
5分
（2）令a=2cos,b=2sin,，则
t=a+b=2cos+ 2sin

故，
又∵，，对称轴为t0=1
∴当时，ymax= 10分