2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学（理）试题（解析版）

2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学（理）试题  一、单选题1．已知实数，满足，其中是虚数单位，若，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案.【详解】实数满足其中是虚数单位，，可得解得.,则在复平面内,复数所对应的点位于第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出集合，的补集，再计算即可.【详解】，，则，故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.3．已知实数，满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先利用指数函数的性质得到，的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案.【详解】由指数函数的单调性, 可得：对于A，由，可得，故A错误；对于B，由，可得，故B正确；对于C，由，可得，故C错误；对于D，根据图象可得，由，与的大小无法确定，故D错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体，利用表面积计算公式即可得出.【详解】由三视图可知，该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体.该几何体的表面积为：.故选:D.【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，三视图还原直观图是解题关键，属于基础题.5．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，逐项判断即可.【详解】对于，其在定义域上为增函数，不符合题意；对于，其在定义域上为偶函数，不符合题意；对于，其是奇函数，又在上单调递减，符合题意；对于，，，其在上不为减函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握，属于基础题.6．已知正方形内接于圆，点是的中点，点是边上靠近的四等分点，则往圆内投掷一点，该点落在内的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据已知可分别求解圆的面积及面积，根据几何概型概率公式，即可求解.【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为，的面积为，因为圆的直径即，圆的面积为，根据几何概型概率公式可得.故选:C.【点睛】本题考查几何概型的概率，意在考查数学计算和应用能力，属于基础题.7．伟大的法国数学家笛卡儿创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形中，，，，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】过作于，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可.【详解】过作于，故，因为，，故，则故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题.8．已知函数，则下列说法错误的是（    ）A．函数的周期为 B．函数的一条对称轴为C．函数在上单调递增 D．函数的最小值为【答案】C【解析】化简，可得，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A，函数的周期为： ,故A说法正确；对于B，时，是函数的一条对称轴，故B说法正确；对于C，当时，此时不单调，故C说法错误；对于D， 函数的最小值为，故D说法正确，故选：C.【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据图像可得函数的定义域不为0，并根据图像的变化趋势，逐项判断，即可求出结论.【详解】若，则 ，不符合题意，故不正确；若，当时，，当，当在存在唯一交点，其横坐标设为，而在连续，递增区间是，递减区间是，所以在存在为唯一的最大值点，满足题意；若，则当时，，故选项不正确；由图象可知，函数的定义域中不含0，故不正确.故选:B.【点睛】本题考查函数图像的辨析，考查函数的性质，属于中档题.10．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为365，则判断框中可以填（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，， 不满足判断框内的条件，执行循环体，，不满足判断框内的条件，执行循环体，，不满足判断框内的条件，执行循环体，，不满足判断框内的条件，执行循环体，，不满足判断框内的条件，执行循环体，，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为365.则判断框内的件为故选:C.【点睛】本题考查补全程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.11．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为 （    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线l:y=-x+a与渐近线交于,直线l:y=-x+a与渐近线交于,A,因为,所以,双曲线的渐近线方程为,故选D.点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中,即可求得离心率. 12．已知数列满足.令，则的最小值为（    ）A．20 B．15 C．25 D．30【答案】B【解析】设数列的前项和为，则可计算出.然后应用公式即可计算出数列的通项公式，可得数列是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理，再根据绝对值的特点可得的最小值.【详解】依题意，由 ，可得：.设数列的前项和为，则.当时，.当时，.也满足上式，故，.数列是以35为首项，﹣5为公差的等差数列，当或时，取得最小值.故选:B.【点睛】本题考查数列的前项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质，考查计算求解能力，属于中档题.  二、填空题13．二项式的常数项为，则__________.【答案】【解析】利用二项式定理的通项公式可得，再利用微积分基本定理及其性质即可得出.【详解】，令，解得..，表示函数与轴围成的面积， 即为在轴上方的半圆面积，，.
故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知点满足，则的取值范围为__________.【答案】【解析】首先画出可行域，利用的几何意义：区域内的点与原点连线的斜率，因此求最值即可.【详解】由已知得到平面区域如图：表示区域内的点与原点连接的直线斜率，由解得，由解得当与连接时直线斜率最大为1，与连接时直线斜率最小为﹣2，所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用目标函数的几何意义数形结合求最值，属于基础题.15．已知，两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为__________.【答案】【解析】由椭圆的方程可得，的坐标，进而求出直线的方程，及的长度，当三角形的面积最大时为过点的直线与直线平行且与椭圆相切，设过的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解.【详解】由椭圆方程可得，所以直线的方程为：，由题意可得当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，两条平行线间的距离最大时，三角形的面积最大，设过点与平行的切线方程为：，直线与直线的距离为，联立直线与椭圆的方程可得： ，整理可得：，，可得，解得，所以当时最大，这时的最大值为：.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.16．已知，使得不等式能成立，则实数的取值范围为__________.【答案】或.【解析】由题意可得，分别，，，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围.【详解】不等式，即为，若则不等式显然不成立；当时，可得，设， ，则在时递减，在递增，即有在处取得最小值，由题意可得，又当时，可得，设 ，则在时递减，在递增，即有在处取得最大值1，由题意可得，综上可得的范围是或，故答案为:或.【点睛】本题以不等式能成立为背景，考查应用导数求函数的最值，分类讨论分离参数是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 三、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得，然后结合三角形的内角和定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）.，，，即，所以，或或即，或（舍去），或（舍去），又因为，故，（2）由余弦定理可得， ，，.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩不低于76分的学生人数，求的分布列及期望【答案】（1）茎叶图见解析，中位数为：；（2）分布列见解析，【解析】（1）由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数.（2）的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.【详解】（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：.（2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩不低于76分的学生人数，则的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123  数学期望.【点睛】本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.19．已知三棱柱中，，，.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】（1）要证平面，只需求证，结合已知，即可求得答案；（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，根据，即可求得答案.【详解】（1）,.在中,,由余弦定理得,,.又,,又,平面.（2）由（1），又在中，可得又平面；由（1）得平面， 又以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图：则,又解得：，故设平面法向量为由，可得故：取，则设平面法向量为由，可得故：取可得：平面与平面所成二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.（1）证明：为定值；（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）其上顶点到直线的距离为2，求出，点代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点的直线方程为：，可得，.利用，可得，利用两点之间的距离公式可得；（2）由（1）得直线的方程为，与椭圆方程联立求出，由点到直线距离公式，求出到直线距离，求出四边形面积的关于的表达式，结合关系，由基本不等式求出最大值.【详解】（1）其上顶点到直线的距离为2， ，解得.又椭圆过点，，解得.∴椭圆的标准方程为：.点在椭圆上，.设经过点的直线方程为：，可得，.，即.为定值.（2）由（1）得直线斜率为，方程为，即，，联立解得，，点到直线的距离为，当且仅当，即时，等号成立，，四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题.21．已知函数，且函数在处取到极值.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数，且函数有3个极值点，，，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）求出原函数的导函数，由求解值，则曲线在处的切线方程可求；（2）求出函数的解析式，由，根据已知有三个解，存在两个不同于的零点， 设，求出取值范围，结合的函数特征，可判断是函数的两个零点，构造函数，研究的单调性，把证明转化为证明即可.【详解】（1）， ，函数在处取到极值，，即.则，，∴曲线在处的切线方程为；（2），函数的定义域为且，令，，在上单调递减，在上单调递增；是的最小值；有三个极值点，，得.的取值范围为，当时，，，；即，是函数的两个零点.，消去得；令，，的零点为，且.在上递减，在上递增.要证明，即证，等价于证明，即.，即证.构造函数，则；只要证明在上单调递减，函数 在单调递减；增大时，减小，增大，减小，在上是减函数.在上是减函数.当时， .即.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明，构造函数是解题的关键和难点，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于难题.22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求曲线关于直线对称曲线的参数方程.【答案】（1）：，：；（2）（为参数）【解析】（1）由，，，可得曲线的直角坐标方程；由代入法可得直线的普通方程；（2）由圆关于直线的对称为半径相等的圆，由点关于直线对称的特点，解方程可得所求曲线的方程.【详解】（1），得由，，，曲线的直角坐标方程为，即为；直的参数方程为 （为参数），消去，可得；（2）设曲线关于直线对称曲线为圆，由 可得 ，则曲线关于直线对称曲线方程为，其参数方程为 （为参数）.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，普通方程和参数方程互化，以及圆关于直线对称方程等基础知识，意在考查直观想象、查逻辑推理能力，属于中档题.23．已知定义在R上的函数.（1）求的最小值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）3；（2）【解析】（1）去绝对值化简函数，然后结合函数的单调性，即可求解函数的最值，（2）结合基本不等式及二次函数的性质可求.【详解】解：（1）因为.所以，当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，函数取得最小值；（2）若，且，即，当且仅当即， 时，等号成立，则 ，令， ，而的开口向上，对称轴方程为，在上单调递增，当，取得最小值，的最小值为.【点睛】本题考查分类讨论求绝对值函数的最值，以及应用基本不等式、二次函数的性质求最值，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.