2020届四川省凉山州高考数学一诊试卷（理科）（解析版）


2020年四川省凉山州高考一诊试卷
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={1，2}，B={-1，1，a+1}，且A⊆B，则a=（　　）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2
2. 在复平面内，复数z=（1+i）（2-i）对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 抛物线x2+3y=0的准线方程为（　　）
A. x= B. x=- C. y= D. y=-
4. 已知2||=||，（ -）⊥，则与的夹角是（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5. 如图所示的程序框图，若输出值y=1，则输入值x的集合是（　　）

A. {0，1} B. {1，2} C. {0，2} D. {1}
6. 污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一．凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（　　）（精确到小数点后2位）
A. 0.13 B. 0.15 C. 0.20 D. 0.22
7. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，则只要将f（x）的图象（　　）

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
8. △ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，bcosA=sinB，则A=（　　）
A. B. C. D.
9. 已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（　　）
A. α内有无数条直线与β平行 B. l⊥α且l⊥β
C. γ⊥α且γ⊥β D. α内的任何直线都与β平行
10. 函数f（x）=，其图象的对称中心是（　　）
A. （0，1） B. （1，-1） C. （1，1） D. （0，-1）
11. 已知点M为直线x+y-3=0上的动点，过点M引圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则点P（0，-1）到直线AB的距离的最大值为（　　）
A. B. C. D.
12. 若函数f（x）=x2-ax+blnx在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知的展开式中的常数项为______（用数字答）．
14. 已知0＜α＜，tanα=，则sinα+cosα=______．
15. 在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为______．
16. 如图，直线PT和AB分别是函数f（x）=x3-3x过点P（2，2）的切线（切点为T）和割线，则切线PT的方程为______；若A（a，f（a）），B（b，f（b））（b＜a＜2），则a+b=______．







三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=1，S3=9．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=a2n-1+a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．







18. 如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示．
（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x（x＜10，x∈N）的值；
（2）从样本中任意抽取3名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于，则该班成绩判断为可疑．试判断甲班的成绩是否可疑？并说明理由．







19. 在△ABC中（图1），AB=5，AC=7，D为线段AC上的点，且BD=CD=4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM⊥BC，连接AC．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．









20. 已知函数f（x）=（e=2.71828…为自然对数的底数）．
（1）若a≠0，试讨论f（x）的单调性；
（2）对任意x∈（0，+∞）均有（x2+1）ex-ax3-x2-ax≥0，求a的取值范围．







21. 已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•
（l）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．







22. 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（1，0），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0．
（1）判断点M与直线l的位置关系；
（2）设直线l与曲线C：（t为参数，t∈R）相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．







23. 已知f（x）=|x+a|．
（1）若a=2，求不等式f（2x-2）＜3的解集；
（2）若f（x）+f（x-2）≥m2+m对任意，x∈R恒成立，求m的取值范围．







答案和解析
1.【答案】A

【解析】解：因为集合A={1，2}，且A⊆B，
所以A是B的子集，则A中有的元素，B中都有，
则2∈B，
因为B={-1，1，a+1}，且需要满足集合中元素的互异性，
所以2=a+1，
即a=1
故选：A．
通过集合包含关系，可知元素的关系，可知2=a+1，解出即可．
本题考查集合包含关系，属于基础题．
2.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查复数的运算及其几何意义，属基础题．
化简复数z后可得其对应点为（3，1），从而可解.
【解答】
解：z=（1+i）（2-i）=3+i，
故z对应的点在第一象限，
故选：A．
3.【答案】C

【解析】解：抛物线x2+3y=0即：x2=-3y的准线方程为：y=．
故选：C．
直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
4.【答案】C

【解析】解：由2||=||，（ -）⊥，
所以（-）•=0，
即-•=0，
所以•==，
所以cosθ===；
又θ∈[0°，180°]，
所以与的夹角是θ=60°．
故选：C．
根据平面向量的数量积，计算夹角即可．
本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．
5.【答案】C

【解析】解：根据程序框图知，该程序运行后输出函数y=；
当x≥1时，令y=log2x=1，解得x=2；
当x＜1时，令y=-1=1，解得x=0；
综上知，输出值y=1时，输入值x的集合是{0，2}．
故选：C．
根据程序框图知该程序运行后输出分段函数，利用分类讨论法即可求出结果．
本题考查了程序框图的应用问题，也考查了分段函数应用问题，是基础题．
6.【答案】C

【解析】解：设年平均增长率为x，则150（1+x）2=216，
∴=1.44，
则1+x=1.20，得x=0.20．
∴这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为0.20．
故选：C．
设年平均增长率为x，则150（1+x）2=216，由此求解x值得答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是基础题．
7.【答案】B

【解析】解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象，
可得： =-，得T=2π，由=π，可得ω=1．
∵A＞0，函数的最小值为-2，
∴A=2．
函数表达式为f（x）=2sin（x+φ），
又∵当x=时，函数有最小值，
∴+φ=-+2kπ（k∈Z），解之得φ=-+2kπ（k∈Z），
∵|φ|＜，
∴取k=1，得φ=，
因此，函数的表达式为f（x）=2sin（x+），
由此可得函数g（x）=2sinx=f（x-），
∴将函数f（x）的图象右移个单位长度，即可得到g（x）=2sinx的图象．
故选：B．
由函数f（x）的最值求出A，求出函数的周期并利用周期公式算出ω．再由当x=时函数有最小值，建立关于φ的等式解出φ，从而得到f（x）．最后根据函数图象平移的公式加以计算，可得答案．
本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，确定其解析式并讨论函数图象的平移．着重考查了三角函数的图象与性质、函数图象平移公式等知识，属于中档题．
8.【答案】D

【解析】解：∵a=，bcosA=sinB，
∴bcosA=asinB，
∴由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA，
∵B是三角形内角，sinB≠0，
∴tanA=，
∴由A是三角形内角，可得：A=．
故选：D．
利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．
本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
9.【答案】B

【解析】解：由α内有无数条直线与β平行，不能得到α∥β，故A不是α∥β的充分条件；
由l⊥α且l⊥β，得α∥β，反之，由α∥β，不一定有l⊥α且l⊥β，故B是α∥β的充分不必要条件；
由γ⊥α且γ⊥β，不能得到α∥β，故C不是α∥β的充分条件；
由α内的任何直线都与β平行，可得α∥β，反之，由α∥β，可得α内的任何直线都与β平行，故D是α∥β的充分必要条件．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及充分必要条件的判定逐一核对四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．
10.【答案】D

【解析】解：f（x）===-1，
设g（x）=，则g（x）是奇函数，g（x）关于（0，0）对称，
则f（x）=g（x）-1，则f（x）关于（0，-1）对称，
故选：D．
利用诱导公式，进行化简，先构造奇函数，然后进行平移即可．
本题主要考查函数对称性的应用，根据条件构造一个奇函数，利用函数平移是解决本题的关键．比较基础．
11.【答案】D

【解析】解：设M（a，3-a），切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线MA上任意一点Q（x，y），
由，得（x-x1，y-y1）（x1，y1）=0，化简得xx1+yy1=1，
同理直线MA的方程为xx2+yy2=1，
因为（a，3-a）都在直线MA，MB 上，且A，B都满足上面两式，
所以直线AB的方程为：ax+（3-a）y=1，
由点P（0，-1）到直线AB的距离d=
令a-4=t，a=t+4，
所以d====，
故选：D．
求出切线的方程，结合切点弦的性质，求出直线AB，利用距离公式d，求出最大值即可．
考查直线与圆的相切，切点弦问题，同时考查了求直线与圆的最值问题，中档题．
12.【答案】A

【解析】解：，
令g（x）=x2-ax+b，依题意，函数g（x）在（1，2）上有两个零点，则，
则必有4b＜a2＜16，即b＜4．
故选：A．
求导可知，函数g（x）=x2-ax+b在（1，2）上有两个零点，进而得到a，b的关系，由此即可得解．
本题考查利用导数研究函数的极值，同时也涉及了二次函数的零点分布问题，难度不大．
13.【答案】10

【解析】解：∵的通项是
=C5rx15-5r，
∵要求展开式中的常数项，
∴15-5r=0，
∴r=3
∴展开式中的常数项是C53=10，
故答案为：10
首先写出二项式的通项，把通项整理成最简形式，根据要求展开式的常数项，得到x的指数等于0，求出r的值，写出结果．
本题考查二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项，注意对于通项的整理，不管要求那一项，一般都写出通项．
14.【答案】

【解析】解：∵0＜α＜，tanα=，
∴cosα==，sinα==，
∴sinα+cosα=．
故答案为：．
由已知利用同角三角函数的基本关系式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数的基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15.【答案】

【解析】解：设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意得：a=，b=，c=1，
由题意得小球的最大直径为1，设小球的半径为r，则2r=1，所以r=，所以小球的体积V==，
故答案为：
小球与最小的棱长垂直的相对面相切时体积最大，且这时最小的棱长为小球的直径，进而求出小球的体积的最大值．
考查球内接多面体的最大体积的求法，及球的体积公式，属于基础题．
16.【答案】y=2  -2

【解析】解：由直线PT∥x轴，可得直线PT的方程为y=2，
由P（2，2），A（a，a3-3a），B（b，b3-3b）三点共线，可得kPA=kPB，
由kPA===（a+1）2，同样可得kPB=（b+1）2，
即有（a+1）2=（b+1）2，因为a≠b，可得a+1+b+1=0，
可得a+b=-2．
故答案为：y=2，-2．
由图象可得直线PT∥x轴，可得直线PT的方程，再由三点P，A，B共线可得kPA=kPB，由直线的斜率公式，化简可得所求值．
本题考查导数的几何意义和三点共线的条件，考查化简运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，
由a1=1，S3=9，可得3+×3×2d=9，解得d=2，
则an=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=a2n-1+a2n=2（2n-1）-1+4n-1=8n-4，
则前n项和Tn=4+12+…+（8n-4）=n（4+8n-4）=4n2．

【解析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的求和公式计算可得d，进而得到所求通项公式；
（2）求得bn=a2n-1+a2n=2（2n-1）-1+4n-1=8n-4，由等差数列的求和公式可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：（1）样本中甲、乙两班的平均成绩分别为，，
=（70×3+80×3+90×2+100×2+5×3+3+7×6）=89，
=（70×2+80×3+90×4+100+8×2+3×2+1+2+4+5+x+9）=84+，
∵=，∴84+=89，
解得x=7．
（2）甲班的成绩可疑．理由如下：
甲班成绩相同的有：87分3人，75分2人，97分2人，
∴从样本中抽取3名学生的成绩中至少有两名学生的成绩相同的概率为：
P==，
∴甲班的成绩可疑．

【解析】（1）分别求出样本中甲、乙两班的平均成绩，，由=，能求出x．
（2）甲班成绩相同的有：87分3人，75分2人，97分2人，从样本中抽取3名学生的成绩中至少有两名学生的成绩相同的概率为P==，从而甲班的成绩可疑．
本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、排列组合等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：（1）证明：在图1中有：AC+7，BD=CD=4，∴AD=3，
在△ABD中，AB=5，AD=3，BD=4，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥CD，
在图2中，△ABC中，AM⊥BC，M为BC的中点，
∴AB=AC=5，在△ABD中，AC=5，CD=4，AD=3，
∴AC2=CD2+AD2，∴CD⊥AD，
翻折后仍有BD⊥CD，
∵AD∩BD=D，∴CD⊥平面ABD，
∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．
（2）解：由（1）得CD，BD，AD两两垂直，
以D为原点，DB，DA，DC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，3，0），B（4，0，0），C（0，0，4），
=（4，-3，0），=（0，-3，4），
设平面ABC的法向量=（x，y，z），
则，取y=4，得=（3，4，3），
平面ACD的法向量=（1，0，0），
∴cos＜＞==．
∴二面角B-AC-D的余弦值为．

【解析】（1）推导出BD⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ABD，由此能证明CD⊥AB．
（2）以D为原点，BD，AD，CD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，，
当a＞0时，令f′（x）＞0解得x＞1；令f′（x）＜0解得x＜1且x≠0；
当a＜0时，令f′（x）＞0解得x＜1且x≠0；令f′（x）＜0解得x＞1；
∴当a＞0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，0），（0，1）单调递减；
当a＜0时，f（x）在（-∞，0），（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
（2）因为x∈（0，+∞），所以x3+x＞0，故在（0，+∞）上恒成立，
设，则a≤g（x）min，
，令g′（x）=0，则x=1，
∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴，
∴，即实数a的取值范围为．

【解析】（1）求导后，分a＞0及a＜0讨论即可；
（2）依题意，在（0，+∞）上恒成立，设，则a≤g（x）min，求出函数g（x）的最小值即可．
本题考查函数的单调性，极值及最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由题意，双曲线的焦点（±1，0）所以由题意知椭圆中：c=1，e==，b2=a2-c2，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为：；
（2）∵，∴M为线段AB的中点，又kMP==kPO，
1）当M为坐标原点时，
①当AB的斜率不存在时，此时，A，B为短轴的两个端点，S△ABP=2b•|xP|==，
②当AB的斜率存在时，设的斜率为k，设A（x，y），B（x'，y'），则直线AB：y=kx（k）
代入椭圆方程整理：（3+4k2）x2-12=0，x+x'=0，xx'=，
∴|AB|===4，
P到直线AB的距离d=，
所以SABP=•|AB|•d=2=，
令t=6-12k，∴==，
∵要得面积S△ABP的最大值，则t＞0，t+≥24，
∴=3，这时t=，即t=12，∴6-12k=12，k=-时等号成立，
∴（S△ABP）max=2，直线方程为：y=-x．
2）当M不为原点时，
由kMP=kOP=，∴M，O，P三点共线，
∴kMO=，设A（x，y），B（x'，y'），M（x0，y0），
lAB的斜率为：kAB，x+x'=2x0，y+y'=2y0，=，
因为A，B在椭圆上：，
∴+=0，
∴1+=0，
∴1+•kAB=0，
即1+=0，∴kAB=-，
设直线lAB：y=-x+m代入椭圆整理得：x2-mx+m2-3=0，△=m2-4（m2-3）＞0，m2＜4，x+x'=m，xx'=m2-3
∴|AB|==•，P到直线AB的距离为：d==2，
∴S△ABP==••2=•，
令g（m）=（2-m）3（2+m），（-2＜m＜2），
g'（m）=-4（2-m）2（m+1），m∈（-2，-1），g'（m）＞0，g（m）单调递增，m∈（-1，2），g'（m）＜0，g（m）单调递减，所以g（-1）max=27，∴S△ABP）max=，∴直线AB的方程：y=--1，
综上所述，面积的最大值为，直线AB的方程：y=--1．

【解析】（1）离心率及焦点及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
（2）分M是原点和不是原点两种情况，设直线AB 的方程，与椭圆联立，求出两根之和及之积，求出弦长AB，及P到直线AB的距离，
求出面积的表达式，用均值不等式或导数的方法，求出面积最大时的直线AB的方程．
考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．
22.【答案】解：（1）l在平面直角坐标系的方程为x+y-1=0，
将M（1，0）代入得1+0-1=0，
∴点M在直线l上．
（2）曲线C的直角坐标系为y2=4x，
直线l的参数方程为，（t为参数），
将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x，得：
，
∴点M到A，B两点的距离之积为：|t1t2|=8．

【解析】（1）l在平面直角坐标系的方程为x+y-1=0，将M（1，0）代入成立，从而点M在直线l上．
（2）曲线C的直角坐标系为y2=4x，直线l的参数方程为，（t为参数），将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x，得，由此能求出点M到A，B两点的距离之积．
本题考查点与直线的位置关系的判断，考查点到两点的距离之积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】解：（1）当a=2时，f（2x-2）＜3即|2x-2+2|＜3，解得，
故所求不等式的解集为；
（2）f（x）+f（x-2）=|x+a|+|x+a-2|≥|x+a-x-a+2|=2，
∴只需2≥m2+m成立即可，
∴-2≤m≤1，即实数m的取值范围为[-2，1]．

【解析】（1）将a=2代入，解绝对值不等式得到答案；
（2）由绝对值不等式的性质可知，只需2≥m2+m成立即可，由此得到m的取值范围．
本题考查绝对值不等式的解法及不等式的恒成立问题，属于基础题．