2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题（解析版）

2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题


一、单选题
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（　　 ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【答案】A
【解析】根据并集的概念直接计算即可得解.
【详解】
由题意得.
故选：A.
【点睛】
本题考查了集合并集的运算，属于基础题.
2．若集合，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也非不必要条件
【答案】A
【解析】根据题意，对充分性和必要性进行讨论，即可判断和选择.
【详解】
由题可知，若，则一定有，故充分性满足；
但是若，则不一定有，故必要性不满足.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.
3．已知，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据向量的坐标与垂直关系,可得的等量关系.由可知其意义为到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.
【详解】
,,且
由向量数量积的运算可得
的意义为到原点距离平方
由点到直线距离公式可知原点到直线的距离为
因为点到直线的距离为最短距离,所以的最小值为
即的取值范围为
故选:C
【点睛】
本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.
4．若，，满足，，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】
，，，
，，
，，，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.
5．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，若，则在上单调递减，
又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.
若，则在上是增函数，
函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
【点睛】
本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】结合图象只需研究函数零点个数，即可判断选择.
【详解】
当时，所以舍去D;
当时，所以舍去BC；
故选：A
【点睛】
本题考查利用函数零点判断函数图象，考查基本分析判断能力，属基础题.
7．已知函数，若，那么实数的值是（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】先求出，变成，可得到，解方程即可得解.
【详解】
，变成，即，解之得：.
故选：C.
【点睛】
本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题.
8．2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）

A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱物理
D．样本中的女生偏爱历史
【答案】D
【解析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.
【详解】
由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理.
故选：D.
【点睛】
本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.

二、多选题
9．设函数，则( )
A．是偶函数 B．在单调递减
C．最大值为2 D．其图像关于直线对称
【答案】ABD
【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.
【详解】
.
选项A：，它是偶函数，本说法正确；
选项B：，所以，因此是单调递减，本说法正确；
选项C：的最大值为，本说法不正确；
选项D：当时，，因此当时，函数有最小值，因此函数图象关于对称，本说法正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题.
10．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入占比
90.10%
4.98%
3.82%
1.10%
净利润占比
95.80%
﹣0.48%
3.82%
0.86%

则下列判断中正确的是（）
A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
【答案】ACD
【解析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．
【详解】
根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；
小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；
该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；
所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．
11．在空间四边形中,分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是( )
A．一定是各边的中点
B．一定是的中点
C．,且
D．四边形是平行四边形或梯形
【答案】CD
【解析】根据线面平行的性质定理即可得解.
【详解】
解：由平面,所以由线面平行的性质定理,得,,则,且,且,四边形是平行四边形或梯形.
故选：.
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.
12．如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )

A．直线与平面所成的角等于
B．点C到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球半径为
【答案】ABD
【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．
【详解】
正方体的棱长为1，
对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；
对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；
对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；
对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确．
故选：．
【点睛】
本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．


三、填空题
13．______.
【答案】
【解析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.
【详解】


.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查反三角函数的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
14．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________________.
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.
【详解】
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝.
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
【点睛】
本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.
15．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，点是的中点，则四棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】先根据对称性确定四棱锥的外接球球心位置，再求球半径，最后代入球表面积公式即可.
【详解】
由题意得四边形为正方形，设其中心为，取中点则,即为四棱锥的外接球球心，球半径为，球表面积为.
【点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
16．定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx已知方程在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea，将函数的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，，则h（7）＝_____.
【答案】
【解析】根据题意可知函数f（x）是一个周期为2e的偶函数，即可作出函数f（x）在[﹣e，3e]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得的值，再利用二倍角公式化简函数，然后根据平移法则即可求得，从而求得．
【详解】
因为f（e+x）＝f（e﹣x），所以f（x）关于x＝e对称，又因为偶函数f（x），
所以f（x）的周期为2e.
当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx，于是可作出函数f（x）在[﹣e，3e]上的图象如图所示，
方程的实数根是函数y＝f（x）与函数的交点的横坐标，
由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e，3e]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e，所以4e＝3ea，故a，
因为，
所以，
故.
故答案为：.

【点睛】
本题主要考查函数的性质应用，图象的应用，方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用，二倍角公式的应用，以及平移法则的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．

四、解答题
17．记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值及对应的大小.
【答案】（1）（2）当或时,有最大值为20．
【解析】（1）将已知条件转化为的形式列方程，由此解得，进而求得的通项公式.
（2）根据等差数列前项和公式求得，利用配方法，结合二次函数的性质求得的最大值及对应的大小.
【详解】
（1）设的公差为，且．
由，得，
由，得，
于是,．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得


因为，
所以当或时,
有最大值为20．
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式基本量的计算，考查等差数列前项和的最值的求法，属于基础题.
18．已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最小值及取最小值时的的集合.
【答案】（1）；（2）最小值为，的集合为.
【解析】（1）利用平方差公式、二倍角公式以及辅助角公式得出，然后解不等式，解此不等式即可得出函数的单调递增区间；
（2）由求出的取值范围，结合正弦函数的基本性质得出函数的最小值，并求出对应的的值.
【详解】
（1），
解不等式，
得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2），，
当时，即当时，函数取得最小值.
因此，函数的最小值为，对应的的集合为.
【点睛】
本题考查正弦型函数单调性区间与最值的求解，一般要利用三角恒等变换思想将函数解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.
19．如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，四边形ABCD为平行四边形，，.

（1）求证：平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）推导出,,由此能证明平面;
（2）连结,则平面,四棱锥的体积:,由此能求出结果.
【详解】
（1）证明:四边形ABCD为平行四边形,,.
,
,
几何体中,为三棱柱,且平面ABC,

,
,
平面.
（2）连结,
平面,,
平面,
四棱锥的体积:



.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在，
【解析】（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中的关系和已知，可以求出椭圆方程；
（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.
【详解】
解：（1）由已知可得：解得，，，
所以椭圆：.
（2）由已知可得，，，∴，∵，
设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得
，设，，
则，，
∵，∴.
即，
因为，，
即.
.
所以，或.
又时，直线过点，不合要求，所以.
故存在直线：满足题设条件.
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了垂心的概念，考查了数学运算能力.
21．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:
月收入(单位百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;

月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成



不赞成



合计




(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828


【答案】(Ⅰ)填表见解析,没有 (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由题意填表，计算K2，对照临界值得出结论 (Ⅱ)由分层抽样求出抽取的人数，列举法写出基本事件，计算概率即可.
【详解】
(Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,

月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
29
3
32
不赞成
11
7
18
合计
40
10
50


由表中数据,计算K26.27