2020届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次高考适应性考试（12月）数学（文）试题

石嘴山市三中2020届高三年级第四次高考适应性考试数学（文）能力测试2019.12一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分．）1．已知复数，则的虚部是A． B． C． D．42．设集合A={x|y=lg(x-3)}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B等于A． B．R C． D．3．某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．008号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生4．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图A．＜，＜ B．＞，＜C．＜，＞ D．＞，＞5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为A． B． C．  D．6．已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为A． B． C． D．7．若，则cosα+sinα的值为  B. C. D. 8．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A.－3<m<0      B.－3<m<2      C.－3<m<4       D.－1<m<39．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为A． B． C． D． 10.已知奇函数在上是增函数．若，，，则、、的大小关系为A． B． C． D．11.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若4|AF|＝| BF|，O为坐标原点，则A.        B.       C.4        D.512．已知函数，若且，则的最大值为A． B． C． D．二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.13．已知非零向量满足，则向量的夹角________．14．已知正项等比数列{an}中，，若S3＝31，则an＝_____．15.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________． 下列共有四个命题：
（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；
（2）在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好；
（3）a，b∈R，，q：，则p是q的充分不必要条件；
（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶函数，则f（-2）=4．
  其中正确的序号为______．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分，17、(本小题满分10分)（12分）在中，角，，的对边分别是，，，，且．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长． 18．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1  (1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．19.（12分）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且有．（1）证明：；（2）求四棱锥的体积．   20. .(本题满分12分)已知数列满足，， ,其中．
  (1).求证：数列是等差数列,并求出数列的通项公式；
  (2).设,求数列的前n项和．   21.(本题满分12分)已知椭圆E：的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x－y＋＝0相切。(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆过右焦点F的弦为AB，过原点的弦为CD，若AB//CD，求证：为定值。  22.(12分) 设a>0，函数.
  (1).当a=1时，求函数的单调区间；
  (2).若函数y=f(x)在区间(0,+)上有唯一零点，试求a的值．
 答案解析：一、选择题：1.【答案】A【解析】由，得，所以虚部为．故选A．2.【答案】D3.【答案】C【解析】由题意得抽样间隔为，因为号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，故选．4.【答案】B【解析】班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B5.【答案】B【解析】根据题意，函数解析式为函数为指数函数，底数，递增，故选B．6.【答案】C【解析】由题意可得，，所以，，所以，从而，故选C．7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】D【解析】由题意设直线的方程为，令，得，因为，所以，所以，故选D10.【答案】A【解析】函数在上是奇函数，，又函数在上是增函数，且，，，故选A．11.【答案】B12.【答案】B【解析】如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，当时，，令，得，切点坐标为，此时，，，故选B．二、填空题13.【答案】14、【答案】【解析】由，得，所以．又因为，即，所以或(舍去)，所以．15.【答案】16.【【答案】（2）（4）
【解析】解：（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；
（2）在回归分析中，由定义可知，相关指数绝对值越接近1，相关性越强，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好，故正确；
（3）a，b∈R，，则p是q的必要不充分条件，故错误；
（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶函数，
∴m2-3m+3=1，∴m=2，或m=1（舍去）则f（-2）=4．故正确．
故答案为（2），（4）．三、解答题：
17.（10分）【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，∴，解得．又，所以，即，∴．（2）由（1）知，，∴，解得．由余弦定理，得，即．∴的周长为．18.[解析]（12分）　(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17. 1，样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.19.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，连接，，由已知得，∴，又点是的中点，∴．因为，点是线段的中点，∴．又因为，∴，从而平面，∴，又，不平行，∴ 平面．（2）由（1）知，，底面的面积为，∴四棱锥的体积．20【答案】（I）证明：∵
=
=，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又，∴bn=2+（n-1）×2=2n，∴，解得，．
（II）解：由（I）可得，
∴，∴数列{cncn+2}的前n项和为
 
=
，．   21.      22.【答案】解：（1）函数f（x）=x2-2ax-2alnx，
当a=1时，f（x）=x2-2x-2lnx，（其中x＞0）；
∴f′（x）=2x-2-=，
令f′（x）=0，即x2-x-1=0，
解得x=或x=（小于0，应舍去）；
∴x∈（0，）时，f′（x）＜0，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调减区间是（0，），
单调增区间是（，+∞）；
（2）f（x）=x2-2ax-2alnx，
则f′（x）=2x-2a-=，
令f′（x）=0，得x2-ax-a=0，∵a＞0，∴=a2+4a＞0，∴方程的解为x1=＜0（舍），
x2=＞0；
∴函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，
∴f（x）的大致图象如图所示，
则f（x）min=f（x2），
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，
则f（x2）=0，
而x2满足x22=ax2+a，
∴f（x2）=ax2+a-2ax2-2alnx2=a（x2+1-2x2-2lnx2）=0，
得1-x2-2lnx2=0，
∵g（x）=2lnx+x-1在是单调递增的，∴g（x）至多只有一个零点，
而g（1）=0，
∴用x2=1代入x22-ax2-a=0，
得1-a-a=0，
解得a=．