2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第二次适应性数学（理）试题（解析版）

2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第二次适应性数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】.

 故选D.

2．下列命题中正确的是（ ）

A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件

C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”

D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则p：∃x∈R，x2＋x－1≥0

【答案】B

【解析】A中，p∨q为真命题时，p、q都为真命题或p、q一真一假，判断A错误；

B中，x＝5时x2﹣4x﹣5＝0，判断充分性成立，x2﹣4x﹣5＝0时x＝5或x＝﹣1，判断必要性不成立，B正确；

C中，根据命题“若p则q”的否命题为“若￢p则￢q”，判断C错误；

D中，根据特称命题的否定是全称命题，判断D错误．

【详解】

解：对于A，若p∨q为真命题，则p、q都为真命题或p、q一真一假，

∴p∧q不一定为真命题，A错误；

对于B，x＝5时，x2﹣4x﹣5＝25﹣20﹣5＝0，充分性成立，

x2﹣4x﹣5＝0时，x＝5或x＝﹣1，必要性不成立，

∴“x＝5”是“x2﹣4x﹣5＝0”的充分不必要条件，B正确；

对于C，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：

“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，∴C错误；

对于D，命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，

则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，∴D错误．

故选B．

【点睛】

本题考查了命题真假的判断问题，也考查了四种命题的应用问题，是基础题目．

3．下列函数中，在区间上为减函数的是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.

【考点】函数增减性

4．函数是(　)

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数

【答案】B

【解析】根据正切函数的奇偶性判断函数是奇函数，再由周期公式求出最小正周期，即可得到结论

【详解】

该函数为奇函数

其最小正周期为

故选

【点睛】

本题主要考查了正切函数的相关知识，解题的关键是要熟练掌握正切函数的性质，属于基础题．

5．设，角的终边上一点为，那么值等于(   )

A． B．－ C． D．－

【答案】A

【解析】【详解】

由题设可知， ，应选答案A．

6．已知，且为奇函数，若，则（   ）

A．0                       B．-3                        C． 1                        D．3

【答案】C

【解析】试题分析：为奇函数,则，故选：C．

【考点】函数的奇偶性.

7．已知，则tan（﹣α）＝（    ）

A．﹣2 B．2 C． D．

【答案】A

【解析】根据，利用诱导公式化简求解.

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据图象特征，研究其单调性排除部分选项，再根据选项间的区别，利用特殊值确定.

【详解】

当时，是增函数，

所以是减函数，排除B，D，

又因为当时，，排除C，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了函数的图象，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.

9．已知，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

故选B.

10．将函数f（x）＝2cos4x的图象向左平移个单位后得到函数F（x）的图象，则下列说法中正确的是（    ）

A．F（x）是奇函数，最小值是﹣2

B．F（x）是偶函数，最小值是﹣2

C．F（x）是奇函数，最小值是

D．F（x）是偶函数，最小值是

【答案】A

【解析】利用平移变换得到，再研究其性质.

【详解】

根据题意，将函数f（x）＝2cos4x的图象向左平移个单位后得到函数.

因为，所以是奇函数，易知最小值是-2.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.

11．设，则（     ）

A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数

【答案】B

【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，

，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．

【考点】函数的奇偶性和单调性．

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据x+2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解.

【详解】

设，

所以，

因为时 ，都有x+2f（x）＞0恒成立，

所以，

所以在上是增函数，

又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数

所以也是定义在R上的奇函数

所以在上是增函数，

又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为

所以函数f（x）是连续函数

所以在R上是增函数，

又因为，

所以，

又因为 x2f（x）＜2，

即.

所以

故选：C

【点睛】

本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性，还考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题

13．命题“∃x0∈R，3”的否定是_____.

【答案】

【解析】根据命题的否定的定义求解，注意既要否定结论，也要转化量词.

【详解】

因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“∃x0∈R，3”的否定是：“∀x∈R，2x≤3”.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

14．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．

【答案】

【解析】试题分析：因为幂函数在区间上是单调增函数，所以，解得：，因为，所以或或．因为幂函数为偶函数，所以是偶数，当时，，不符合，舍去；当时，；当时，，不符合，舍去．所以，故．

【考点】1、幂函数的性质；2、函数值．

15．已知奇函数是定义在上的减函数,若，则实数的取值范围为___________

【答案】

【解析】由已知中奇函数是定义在上的减函数,我们可以将不等式,转化为一个关于m的不等式组,解不等式组,即可得到实数m的取值范围.

【详解】

因为奇函数是定义在上的减函数,
所以不等式可转化为:

解得:
故答案为:.

【点睛】

本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用,其中根据函数的性质将不等式转化为关于m的一次不等式组,是解答的关键,但本题易忽略定义域,而错角为.

16．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）＝f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x，则

①2是函数f（x）的一个周期；

②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；

③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；

④x＝1是函数f（x）的一个对称轴；

⑤当x∈（3，4）时，f（x）＝（）x﹣3.

其中所有正确命题的序号是_____.

【答案】①②④⑤

【解析】①根据f（x+1）＝f（x﹣1），变形为f（x+2）＝f（x），再利用周期的定义判断.②易知，当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x，是增函数，再利用周期性和奇偶性转化判断.③根据②的结论判断.④根据②的结论判断.⑤设x∈（3，4）时，则有4﹣x＝（0，1），再利用周期性和奇偶性再求解.

【详解】

∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝f[（x+1）﹣1]＝f（x），即2是函数f（x）的一个周期，故①正确；

当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x为增函数，因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以当x∈[﹣1，0]时，f（x）为减函数，

再由函数的周期为2，可得（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；

由②得：当x＝2k，k∈Z时，函数取最小值，当x＝2k+1，k∈Z时，函数取最大值1，故③错误；

由②和函数是偶函数得x＝k，k∈Z均为函数图象的对称轴，故④正确；

设x∈（3，4），则4﹣x∈（0，1），所以f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝（）1﹣（4﹣x）＝（）x﹣3，故⑤正确

故答案为：①②④⑤

【点睛】

本题主要考查了函数的基本性质，还考查了数形结合，转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知cos（θ），求的值

【答案】8

【解析】利用诱导公式化简求解.

【详解】

∵cos（θ）＝﹣sinθ，

∴sinθ，

，

=，

8.

【点睛】

本题主要考查了诱导公式和基本关系化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．已知命题p：“∀x∈[1，2]， x2－lnx－a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，求实数a的取值范围．

【答案】 (－∞，－4]∪[－2，]

【解析】根据题意，命题p，利用恒成立问题方法转化，求出a的取值范围；

命题q，由一元二次方程的根的情况分析可得a的取值范围，根据p、q都是真命题，将两次求出的a的范围求交集即可.

【详解】

命题p：a≤x2－lnx在x∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝x2－lnx，f ′(x)＝x-＝ ，

当1<x<2时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝.∴a≤. 即：当a≤时，p是真命题.，

命题q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4.即当 a≥－2或a≤－4时，q是真命题，

综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．

【点睛】

以命题的真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题化简，判断每个简单命题为真(假)时，参数的取值范围，再根据题意，求解集的交、并、补即可.

19．已知曲线f（x）＝alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，且是函数y＝f（x）的极值点，求a﹣b的值

【答案】10

【解析】先求导，根据曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，有f′（1）＝a+b＝﹣2，又x是y＝f（x）的极值点，得到f′（）a+b＝0，两式联立求解.

【详解】

∵f（x）＝alnx+bx+1，

∴f′（x）b，

∵曲线f（x）＝alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，

∴f′（1）＝a+b＝﹣2，①

∵x是y＝f（x）的极值点，

∴f′（）a+b＝0，②

由①②，解得a＝4，b＝﹣6，

∴a﹣b＝4+6＝10，

a﹣b的值为：10.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义和极值点的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

20．设函数，

（1）求函数f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值和最小值；

（2）若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）最大值为7，最小值为；（2）

【解析】（1）函数求导得＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），（x∈R），易知在区间（﹣1，），（1，2）上，＞0，在区间（，1）上，＜0，从而求得函数的极值，再计算给定区间的端点函数值，其中最大的为最大值；最小的为最小值.

（2）对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，只需要f（x）max＜m即可.

【详解】

（1）f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），（x∈R），

因为在区间（﹣1，），（1，2）上，＞0，

所以f（x）单调递增，

因为在区间（，1）上，＜0，

所以f（x）单调递减，

所以f（x）极大值＝f（），f（x）极小值＝f（1），

又因为f（﹣1），f（2）＝7，

所以f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为7，最小值为.

（2）若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，

则只需要f（x）max＜m即可，

由（1）知，f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为7，

所以m＞7.

【点睛】

本题主要考查了导数与函娄的极值，最值及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．已知函数的一段图像如图所示.

（1）求此函数的解析式；

（2）求此函数在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）和.

【解析】（1）根据三角函数的图象求出A，ω，φ，即可确定函数的解析式；

（2）根据函数的表达式，即可求函数f（x）的单调递增区间；

【详解】

（1）由函数的图象可知A，，

∴周期T＝16，

∵T16，

∴ω，

∴y＝2sin（x+φ），

∵函数的图象经过（2，﹣2），

∴φ＝2kπ，

即φ，

又|φ|＜π，

∴φ；

∴函数的解析式为：y＝2sin（x）．

（2）由已知得，

得16k+2≤x≤16k+10，

即函数的单调递增区间为[16k+2，16k+10]，k∈Z．

当k＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]，

当k＝0时，为[2，10]，

∵x∈（﹣2π，2π），

∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）．

【点睛】

本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．

22．已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）时，讨论的单调性；

（Ⅲ）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）函数的极小值为，无极大值；（Ⅱ）当时，函数的在定义域单调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．

（Ⅲ）．

【解析】试题分析：（1）函数的定义域为， 当时，函数，利用导函数求出函数的单调性，即可求出函数的极值；

（2）由，所以，

令，得，，对、、分类讨论，求出的单调性；

（3）若对任意的恒有成立，等价于当，对任意的，恒有成立，由（Ⅱ）知，，所以上式化为对任意的，恒有成立，即，因为，所以，所以．

试题解析：（1）函数的定义域为．，令，

得；（舍去）．

当变化时，的取值情况如下：

所以，函数的极小值为，无极大值．

（2），令，得，，

当时，，函数的在定义域单调递减；

当时，在区间，，上，单调递减，

在区间，上，单调递增；

当时，在区间，，上，单调递减，

在区间，上，单调递增．

（3）由（2）知当时，函数在区间单调递减；所以，当时，，

问题等价于：对任意的，恒有成立，即，因为a<0，，所以，实数的取值范围是．

【考点】导函数的应用．