2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（六） 数学（文）（解析版）

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（六） 数学（文）（解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·张家口模拟)已知实数a，b满足(a＋bi)(2＋i)＝3－5i(其中i为虚数单位)，则复数z＝b－ai的共轭复数为(　　)
A．－＋i B．－－i
C.＋i D.－i
答案　A
解析　依题意，a＋bi＝＝＝，故a＝，b＝－，故z＝b－ai＝－－i，故复数z的共轭复数为＝－＋i，故选A.
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集的个数为(　　)
A．1 B．3
C．5 D．7
答案　B
解析　依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x2＝4y与y＝x的图象，观察可知，它们有2个交点，即A∩B有2个元素，故A∩B的真子集的个数为3，故选B.
3．已知命题p：“∀a>b，|a|>|b|”，命题q：“∃x0<0，2 x0>0”，则下列为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．p∨q D．p∨(綈q)
答案　C
解析　对于命题p，当a＝0，b＝－1时，0>－1，
但是|a|＝0，|b|＝1，|a|<|b|，所以命题p是假命题．
对于命题q，∃x0<0,2x0>0，如x0＝－1,2－1＝>0.
所以命题q是真命题，所以p∨q为真命题．
4．“a＝”是“直线l1：ax＋a2y＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋y＋1＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　“直线l1：ax＋a2y＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋y＋1＝0垂直”等价于－·(1－a)＝－1，即a＝.
5．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝(　　)

A．8 B．6 C．7 D．9
答案　B
解析　由题意，得T＝1×log24×log46×…×log6264＝××…×＝＝6，故选B.
6．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2 B. C．1 D.
答案　A
解析　由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为(　　)
A. B．1 C．2 D.
答案　C
解析　由题意双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，即＝⇒c2＝3a2.
又由c2＝a2＋b2，即b2＝2a2，
所以双曲线的方程为－＝1，
又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得
－＝1，解得a＝，所以双曲线的实轴长为2a＝2.
8．若x，y满足则x2＋y2的最大值为(　　)
A．5 B．11.6 C．17 D．25
答案　C
解析　作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x2＋y2的最大值在点B(1,4)处取得，故x2＋y2的最大值为17.


9．设函数f(x)＝|lg x|，若存在实数0 A．M>N>Q B．M>Q>N
C．N>Q>M D．N>M>Q
答案　B
解析　∵f(a)＝f(b)，∴|lg a|＝|lg b|，∴lg a＋lg b＝0，即ab＝1，∵2＝＝<＝，∴N＝log22<－2，又>＝，∴>>2，∴M＝log2>－2，又Q＝ln ＝－2，∴M>Q>N.
10．正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是(　　)
A. B．4＋ C．2＋ D.
答案　D
解析　(1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝＝.

(2)从底面到N点，沿棱柱的AC，BC剪开、展开，如图2.
则MN＝
＝ ＝ ，
∵ <，∴MNmin＝ .
11．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　依题意易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，且P在第一象限内，由∠F1F2P＝120°可得P点的坐标为(2c，c)．又因为kAP＝，即＝，
所以a＝4c，e＝，故选D.
12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝f(x)－x－b恰有一个零点，则实数b的取值范围是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　D
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)＝－f(x＋1)，
即f(x)＝－f(x＋2)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，∵f(x－1)为偶函数，∴f(x－1)关于x＝0对称，
则f(x)关于x＝－1对称，同时也关于x＝1对称．
若x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，
此时f(－x)＝＝－f(x)，则f(x)＝－，x∈[－1,0]；
若x∈[－2，－1]，x＋2∈[0,1]，
则f(x)＝－f(x＋2)＝－，x∈[－2，－1]；
若x∈[1,2]，x－2∈[－1,0]，
则f(x)＝－f(x－2)＝＝，x∈[1,2]．
作出函数f(x)的图象如图：

由函数g(x)＝f(x)－x－b＝0得f(x)＝x＋b，
由图象知当x∈[－1,0]时，由－＝x＋b，平方得x2＋(2b＋1)x＋b2＝0，
由判别式Δ1＝(2b＋1)2－4b2＝0得4b＋1＝0，得b＝－，此时f(x)与y＝x＋b的图象有两个交点，
当x∈[4,5]，x－4∈[0,1]，则f(x)＝f(x－4)＝，
由＝x＋b，平方得x2＋(2b－1)x＋4＋b2＝0，
由判别式Δ2＝(2b－1)2－16－4b2＝0得4b＝－15，
得b＝－，
此时f(x)与y＝x＋b的图象有两个交点，
则要使此时f(x)与y＝x＋b的图象恰有一个交点，则在[0,4]内，b满足－ 即实数b的取值范围是4n－ 即4(n－1)＋ 令k＝n－1，则4k＋ ∴D正确．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，－1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　
解析　由题意，得a·b＝|a||b|cos45°＝×1×＝1，所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a＋2b|＝.
14．已知函数f(x)＝ax－log2(2x＋1)(a∈R)为偶函数，则a＝________.
答案　
解析　由f(x)＝f(－x)，得ax－log2(2x＋1)＝－ax－log2(2－x＋1)，2ax＝log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＝log2＝x，由于x的任意性，∴a＝.
15．如图，为测量竖直旗杆CD的高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4 m的两点A，B，且AB所在直线为东西方向，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD的高度为________m.

答案　12
解析　设CD＝x，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BC＝x，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴AC＝＝，
在△ABC中，∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，AB＝4，
∴∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，
由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°，
即(4)2＝x2＋x2＋2··x·＝x2，
解得x＝12.即旗杆CD的高度为12 m.
16．(2019·安徽师大附中期中)如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则·的最小值为________．

答案　5－2
解析　如图，以A为坐标原点，边AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0)，C(2,2)，D(0,2)，设P(cosθ，sinθ)，θ∈，则·＝(2－cosθ，2－sinθ)·(－cosθ，2－sinθ)＝(2－cosθ)·(－cosθ)＋(2－sinθ)2＝5－2(cosθ＋2sinθ)＝5－2sin(θ＋φ)，tanφ＝，当sin(θ＋φ)＝1时，·取得最小值5－2.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}中，an>0，a1＝，－＝，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n·(log2an)2，求数列{bn}的前2n项和T2n.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q>0，
因为－＝，所以－＝，
因为q>0，解得q＝2，
所以an＝×2n－1＝2n－7，n∈N*.4分
(2)bn＝(－1)n·(log2an)2＝(－1)n·(log22n－7)2＝(－1)n·(n－7)2，
设cn＝n－7，则bn＝(－1)n·(cn)2，6分
T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝－(c1)2＋(c2)2＋[－(c3)2]＋(c4)2＋…＋[－(c2n－1)2]＋(c2n)2＝(－c1＋c2)(c1＋c2)＋(－c3＋c4)(c3＋c4)＋…＋(－c2n－1＋c2n)(c2n－1＋c2n)＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n＝＝n(2n－13)＝2n2－13n.12分
18．(2019·福建模拟)(本小题满分12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，其中点D在以AB为直径的圆上，SD＝，SC＝，AB＝2AD＝4，平面SCD⊥平面ABCD.

(1)证明：SD⊥平面ABCD；
(2)设点P是线段SB(不含端点)上一动点，当三棱锥P－SAC的体积为1时，求异面直线AD与CP所成角的余弦值．
解　(1)证明：连接BD，因为点D在以AB为直径的圆上，所以∠ADB＝90°，因为AB＝2AD＝4，所以∠ABD＝30°，∠DAB＝60°，所以BD＝AB·cos∠ABD＝4×cos30°＝2.2分
因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，所以CD＝AB－2AD·cos60°＝4－2×2×＝2.
又因为SD＝，SC＝，
所以SD2＋CD2＝SC2，即SD⊥CD. 4分
又因为平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以SD⊥平面ABCD.5分

(2)由(1)，得VS－ABC＝S△ABC·SD＝·AC·BC·SD＝2，设BP＝λBS，则VP－ABC＝S△ABC·λSD＝2λ，所以VP－SAC＝VS－ABC－VP－ABC＝2－2λ＝1，解得λ＝，7分
即点P是线段SB的中点，取AB的中点为M，连接CM，则由(1)及题设条件得AM∥CD，且AM＝CD＝2，
所以四边形AMCD为平行四边形，从而CM∥AD，且CM＝AD＝2，
所以∠PCM(或其补角)为异面直线AD与CP所成的角，8分
因为SA＝＝，所以PM＝，
因为SB＝＝，
所以cos∠PBC＝＝，
所以CP2＝PB2＋BC2－2PB·BC·cos∠PBC＝，
所以cos∠PCM＝＝，
即异面直线AD与CP所成角的余弦值为. 12分
19．(2019·山东烟台5月适应性练习二)(本小题满分12分)混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位：MPa)随龄期(单位：天)的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期xi(i＝1,2，…，10)分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时的抗压强度yi的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．




(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·
(yi－)
(wi－)·
(yi－)
9.4
29.7
2
366
5.5
439.2
55
表中wi＝ln xi，＝wi.
(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立y关于x的回归方程；
(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f28视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40 MPa.
①试预测该批次混凝土是否达标？
②由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度f7与第28天的抗压强度f28具有线性相关关系f28＝1.2f7＋7，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度．
附：＝，＝－ ，参考数据：ln 2≈0.69，ln 7≈1.95.
解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋dln x适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型.
令w＝ln x，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝10，3分
＝－ ＝29.7－10×2＝9.7，所以y关于w的线性回归方程为＝9.7＋10w，
因此y关于x的线性回归方程为＝9.7＋10ln x．6分
(2)①由(1)知，当龄期为28天，即x＝28时，
抗压强度y的预测值＝9.7＋10ln 28＝9.7＋10×(2ln 2＋ln 7)≈43.8分
因为43＞40，所以预测该批次混凝土达标.9分
②令f28＝1.2f7＋7≥40，得f7≥27.5.
所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5 MPa.12分
20．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ln x－ax＋a＋b)，a，b∈R，直线y＝x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线(e为自然对数的底数)．
(1)求a，b的值；
(2)是否存在k∈Z，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)f′(x)＝ex，由已知，
有即
解得a＝1，b＝.4分
(2)由(1)，知f(x)＝ex，
则f′(x)＝ex，
令g(x)＝ln x－x＋＋，
则g′(x)＝－＜0恒成立，6分
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又因为g(1)＝＞0，g(2)＝ln 2－1＜0，
所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得g(x0)＝0，且当x∈(0，x0)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，
当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0.
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减.9分
又因为当x→0时，f(x)＜0，f(1)＝＞0，f(2)＝e2＞0，f(e)＝ee＜0，
所以存在k＝0或2，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点.12分
21．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2交于M，N两点，求证：∠MF1N的定值．
解　(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝8，
故所求椭圆C的标准方程为＋＝1.4分
(2)证明：由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3，
直线l与直线l1，l2联立可得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，6分
所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4,3k＋m)．
所以·＝－8＋m2－9k2.
联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.8分
因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化简，得m2＝9k2＋8.10分
所以·＝－8＋m2－9k2＝0，所以⊥，故∠MF1N为定值.12分

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(2018·全国卷Ⅱ)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解　(1)曲线C的参数方程为
∴曲线C的直角坐标方程为＋＝1.3分
∵直线l的参数方程为
∴当cosα≠0时，y－2＝(x－1)tanα，
得直线l的直角坐标方程为y＝(x－1)tanα＋2；
当cosα＝0时，直线l的直角坐标方程为x＝1.5分
(2)将与曲线C：4x2＋y2＝16联立可得，
4(1＋tcosα)2＋(2＋tsinα)2＝16.
化简得，(4cos2α＋sin2α)t2＋(8cosα＋4sinα)t－8＝0.
∴t1＋t2＝－.7分
∵曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
∴t1＋t2＝0，∴8cosα＋4sinα＝0，tanα＝－2，
∴直线l的斜率为－2.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
所以f(x)＝
∴当x>1时，f(x)＝2>1恒成立；
当－1≤x≤1时，f(x)＝2x>1，x>，
∴ 当x<－1时，f(x)＝－2>1不成立；
综上所述，f(x)>1的解集为.5分
(2)当x∈(0,1)时，
f(x)＝x＋1－|ax－1|>x，
即|ax－1|<1，所以－1 ∴0 ∴即0 所以a的取值范围是(0,2].10分