2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试（1月） 数学（文）
展开南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试
数 学 文 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
参考公式：
柱体体积公式：，锥体体积公式：，其中为底面积，为高.
样本数据的方差，其中.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合，全集，则UA= ▲ ．
2．设复数，其中为虚数单位，则 ▲ ．
3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．
4．命题“，”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)
5．运行如图所示的伪代码，则输出的的值为 ▲ ．
6．已知样本的平均数是，且，则此样本的方差是
▲ ．
7．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到其焦点的距离为，则点到点的距离为 ▲ ．
8．若数列是公差不为0的等差数列，、、成等差数列，则的值为 ▲ ．
9．在三棱柱中，点是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，则 ▲ ．
10．设函数（）的图象与轴交点的纵坐标为，
轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为 ▲ ．
11．已知是△的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，
则的值为 ▲ .
12．若无穷数列是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ．
13．已知集合，集合，
若，则的最小值为 ▲ ．
14．若对任意实数，都有成立，则实数的值为 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
已知满足．
（1）若，，求；
（2）若，且，求．
16．(本小题满分14分)
如图，长方体中，已知底面是正方形，点是侧棱上的一点．
（1）若//平面，求的值；
（2）求证：．
(第16题图)
17．(本小题满分14分)
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从中裁剪出两块全等的圆形铁皮与，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形做圆柱的侧面（接缝忽略不计），为圆柱的一条母线，点、在上，点、在的一条直径上，、分别与直线、相切，都与内切．
（1）求圆形铁皮半径的取值范围；
（2）请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)
(第17题图)
18．(本小题满分16分)
设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）延长分别交椭圆于点（不重合），设，
，求的最小值．
(第18题图)
19．(本小题满分16分)
定义:若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．设数列中，．
（1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为
“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数使得?若存在，请求出所有满足条件的正整数;若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分16分)
若函数为奇函数，且时有极小值．
（1）求实数的值；
（2）求实数的取值范围；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1． 2． 3． 4．真 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12．10 13． 14．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）由可知，
移项可得，又，故， ……………………………………………2分
又由，可知， ……………………………4分
故在中，由正弦定理可得 ，所以. ………………7分
（2）由（1）知，所以时，，
由即可得 ， ……………10分
∴.…14分
16．（1）证明：连结交于点，连结，
又因为平面，平面
平面平面，所以 ……………3分
因为四边形是正方形，对角线交于点 ，
所以点是的中点，所以，
所以在中，. ……………6分
（2）证明：连结.
因为为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面，
又平面，所以．…………………………………………………………………8分
因为底面是正方形，所以． ……………………………………………………10分
又，面， 面，
所以面. ……………………………………… …………………………………………12分
又因为,所以，又因为，
所以A1P面ACC1A1,所以． ………………………………………………14分
17．解：（1）设半径为，则，
所以的周长， ………………………………………………4分
解得 ，故半径的取值范围为. ……………………………………………6分
（2）在（1）的条件下，油桶的体积， ……………………………………8分
设函数，
所以，由于 ，
所以在定义域上恒成立，
故在定义域上单调递增，
即当时，体积取到最大值. ………………………………………………13分
答：半径的取值范围为，当时，体积取到最大值. ………………………14分
18.解：（1）由当轴时，可知， …………………………………………………2分
将，代入椭圆方程得（※），
而，，代入（※）式得，
解得，故，∴椭圆的方程为.…………………………………………………4分
（2）方法一：设，由得，故，
代入椭圆的方程得（＃）， ………………………………………………8分
又由得，代入（＃）式得，
化简得，即，显然，
∴，故.……………………………………………………………………12分
同理可得，故，
当且仅当时取等号，故的最小值为. ………………………………………………16分
方法二：由点，不重合可知直线与轴不重合，故可设直线的方程为，
联立，消去得（☆），
设，则与为方程（☆）的两个实根，
由求根公式可得，故，则，……………………8分
将点代入椭圆的方程得，
代入直线的方程得，∴，
由得，故
.…………………………………………………12分
同理可得，故，
当且仅当时取等号，故的最小值为. ………………………………………………16分
注：（1）也可设得，其余同理.
（2）也可由运用基本不等式求解的最小值.
19．解：（1）∵，且数列是“数列”，
∴，∴，∴，………………………………2分
故数列是等差数列，公差为，
故通项公式为，即. ………………………………………………4分
（2）由得，，故.
方法一：由得，
两式作差得，即，
又，∴，∴对恒成立，……………………6分
则，而，∴，∴，
∴是等比数列， ………………………………………………………………………………8分
∴，∴，∴，
∴是公比为的等比数列，故数列是“数列”.………………………………10分
方法二：同方法一得对恒成立，
则，两式作差得，而，
∴，∴，以下同方法一. ……………………………………10分
（3）由数列是“数列”得，
又，∴，∴，∴，∴，
∴当时，
，
当时上式也成立，故， ……………………………………12分
假设存在正整数使得，则，
由可知，∴，又为正整数，∴，
又，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
故存在满足条件的正整数，，. ……………………………………16分
20．解：（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立，
所以 ，
化简可得 ，所以. ………………………………………………3分
（2）法一：由（1）可得，
所以，
其中当时，由于恒成立，
即恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分
当时，方程有两个不等的正根，
故可知函数在上单调递增，
在上单调递减，即在处取到极小值，
所以，的取值范围是. ………………………………………………9分
法二：由（1）可得，
令，
则，
故当时，；当时，， …………………………………………5分
故在上递减，在上递增，
∴，
若，则恒成立，单调递增，无极值点；
所以，解得，
取，则，
又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，存在为函数的零点，为极小值.
所以，的取值范围是. ………………………………………………9分
（3）由满足，
代入，
消去m可得， ……………………………………11分
构造函数，
所以，当时， ，
所以当时，恒成立，故h(x)在[0，+)上为单调减函数，其中， ……13分
则可转化为，
故，由，设，
可得当时，，在上递增，故，
综上，的取值范围是 . ………………………………………………16分
