2020届江西省南昌市新建二中高三数学模拟 (二)数学（理）试题（解析版）

2020届江西省南昌市新建二中高三数学模拟 (二)数学（理）试题  一、单选题1．已知是虚数单位，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先分别求出集合，由此能求出.【详解】解：∵集合，
，
∴，
故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题.3．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦即可求解.【详解】因为，所以为第二或第四象限的角；若为第二象限的角，则，；若为第四象限的角，则，.故.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.4．在内部任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先确定点的位置，根据位置区域，利用几何概型中的面积型概率求解即可.【详解】如图取线段靠近点的三等分点，取线段靠近点的三等分点，连结，当点在线段上运动时，的面积与的面积的比值等于，当点在图中阴影部分运动时，的面积与的面积的比值大于，因为，且相似比为，故使得的面积与的面积的比值大于的概率，故选：D.【点睛】本题考查面积型几何概型，是基础题.5．等比数列中，，前三项和，则公比的值为（ ）A．1 B． C．1或 D．－1或【答案】C【解析】试题分析：由已知等比数列中，，又，则，两式相除解得或，故选C．【考点】等比数列通项公式．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）A．－2 B．－1 C．2 D．3【答案】D【解析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，当时满足条件，退出循环，输出为3.【详解】由题意模拟执行程序时，，第一次循环，，此时不满足；第二次循环，，此时不满足；第三次循环，，此时不满足；第四次循环，，此时满足；故选：D【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.7．水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意求出，再由三角函数的定义即可求解.【详解】由，，解得， 设圆的圆心为，由，，则，  由正弦函数的定义可得经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为,故选：A【点睛】本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题.8．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据对数函数的单调性可得，再利用指数函数和幂函数的单调性知，从而比较出大小.【详解】；根据指数函数和幂函数的单调性知，故.故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.9．五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（    ）A．360 B．240 C．150 D．90【答案】C【解析】分两步，第一步分类讨论，求出2人2本，1人1本和2人1本，1人3本的种数，第二步分配给3名学生，再由分步计数乘法原理得答案.【详解】先分堆再分配第一步分堆分两类和，则分堆方法有种；第二步分配给三名学生有种分法；由分步计数乘法原理得：种.故选：C.【点睛】本题考查分配问题，注意分两步，先分堆再分配的原则，是基础题.10．如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，可得，由即可求出，进而求出比值.【详解】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，，所以，又，则，球的半径，所以.故选：B【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11．已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（    ）A． B．8 C．6 D．【答案】B【解析】直线：过定点，当时，圆心到直线的距离最大，求出最大距离以及，进而可得的面积.【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径，当时，圆心到直线的距离最大，∵，∴，即直线方程为，则，，，到直线的距离为，则到直线的最大距离，此时的面积，故选：B.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当时，圆心到直线的距离最大是关键，是中档题.12．已知函数，若不等式仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】先求得导函数，并令求得极值点.根据导函数，讨论与两种情况，分别判断函数的单调区间，并根据不等式仅有两个整数解，即可确定a的取值范围.【详解】由，则由.可得，，当时，，，单调递减，时，，单调递增，且，则有两个整数解为1，2，所以，且，解得，当时，，，单调递减，且，则整数解有无数个，不满足题意.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数的单调性，分类讨论思想的综合应用，导数在不等式中的应用，属于中档题.  二、填空题13．已知向量，满足，，若，则与的夹角为______.【答案】【解析】根据向量的夹角公式计算即可.【详解】由知，，又，即则，所以，故夹角为，故答案为：.【点睛】本题考查向量的模和夹角公式，是基础题.14．一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a个馒头，小和尚每餐每a人吃1个馒头.若大和尚的人数用表示，则______.【答案】【解析】设大和尚有x人，根据题意可得关于的方程，解方程并对讨论，即可求解.【详解】设大和尚有x人，则，即，当时，与生活实际不符，所以，解得，即，故答案为：.【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题.15．已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】利用双曲线的定义，从而可得，利用点到直线的距离公式可得，由题意可得，进而求出离心率.【详解】由双曲线定义知，，则，∴，所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，此时最小，且最小值为，易求焦点到渐近线的距离为，即，所以，即，，可求离心率.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.16．已知数列的前项和满足：（），则数列中最大项等于______.【答案】【解析】利用得到，令，可得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，利用的正负来确定数列中最大项.【详解】因为，得时，，两式相减得:，即：，令，又∵，∴数列是首项，公差为1的等差数列，则，所以，，，所以，故数列中且最大，故答案为: .【点睛】本题考查构造等差数列，利用递推式求通项公式，考查学生的观察能力和分析能力，对于数列最大或者最小项，可以通过的正负来寻找，是中档题. 三、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，，满足.（1）求的值；（2）若，则的面积的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】（1）利用正弦定理，将边化为角，通过三角公式变形可得；（2）由（1）及余弦定理可得，代入三角形面积公式可得，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可求得最值.【详解】解：（1）由，得，由正弦定理知：，即，，∵，∴，；（2）由余弦定理知，，则；∴，即，∴，∴，解得，即的面积的最大值是2.【点睛】本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角形的面积最值的求解，考查计算能力，是中档题18．如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.【详解】解：（1）因为平面平面，交线为，又，所以平面，，又，，则平面，平面，所以，；（2）取的中点，的中点，连接，，则平面，平面；以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，　　　　已知，则，，，，，，则，，设平面的一个法向量，由得令，则，，即；平面的一个法向量为；.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.19．已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意求出，即可写出椭圆的标准方程. （2）当直线不存在斜率时，可求出四点，可验证；当直线存在斜率时，设直线方程为，将直线分别与椭圆方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出、，根据解方程即可.【详解】解：（1）由已知椭圆的离心率，，得，则，故椭圆的标准方程为（2）当直线不存在斜率时，可求出，，，，所以，，不满足条件；当直线存在斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程得：，恒成立，设，，则∴将直线：，代入抛物线得，设，，则，又因为，由得：，∴，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.20．某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求图中m的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值.（保留3位小数）（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过的概率为多少？（Ⅲ）若按月均用水量和分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会.并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间的人数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ），2.786，2.800；（Ⅱ）0.432；（Ⅲ）分布列见解析，【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1，即可求得m的值；根据频率分布直方图各小组的频率，由中位数定义即可求解；结合平均数的求法，可用频率分布直方图求得平均数.（Ⅱ）先求得月均用水量超过的概率，再结合独立重复试验中概率求法即可得恰有2户超过的概率.（Ⅲ）按照分层抽样，先求得在月均用水量和在两个区间各自抽取的人数，可知来自用水量在区间的人数为X的取值有0，1，2，3，分别求得各自对应的概率即可得分布列，由分布列求得数学期望即可.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图得：，解得，的频率为，的频率为0.35，∴估计该社区居民月均用水量的中位数为：平均值为：.（Ⅱ）用此样本频率估计概率，从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，月均用水量超过的概率为：，∴恰有2户超过的概率为.（Ⅲ）若按月均用水量和分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，月均用水量中抽取：户，月均用水量中抽取：户.从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴X的分布列为：X0123P  数学期望.【点睛】本题考查了补全频率分布直方图，由频率分布直方图求平均数和中位数，独立重复试验概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望求法，属于中档题.21．已知函数.其中.（1）讨论函数的单调性；（2）函数在处存在极值－1，且时，恒成立，求实数的最大整数.【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增（2）的最大整数为0.【解析】（1）求导，分，讨论的正负值，即函数的单调性；（2）先通过函数在处存在极值－1，可求出，将恒成立，转化为，令，利用导数求的最小值.【详解】解：（1），当时，，在上单调递增；当时，，，则时，，在上单调递减；时，，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）函数在处存在极值－1，由（1）知，且，，所以，，则；因为，，所以时，单调递减；时，单调递增，则在处存在极值满足题意； 由题意恒成立，即，对恒成立，即：，设，只需，因为，又令，，所以在上单调递增，因为，.知存在使得，即，且在上，，，单调递减，在上，，，单调递增，所以，，即，∴，又，知，所以的最大整数为0.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及恒成立问题，其中将恒成立问题通过参变分离转化为最值问题，是常见的解决恒成立问题的手段，考查了学生计算能力，是一道难度较大的题目.22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为，若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据参数方程与普通方程的转化即可得曲线C的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.【详解】（Ⅰ）曲线C的参数方程为：（为参数）.变形为,平方相加后可转化为直角坐标方程得.直线l的极坐标方程为.展开可得,即化简可得直角坐标方程为.（Ⅱ）把直线的方程为转换为标准参数方程可得（t为参数）.把直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，所以，，所以由参数方程的几何意义可知【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，属于中档题.23．已知函数.（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证：.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式，分类讨论解不等式，即可求得不等式的解集.（Ⅱ）根据绝对值三角不等式，求得的最小值，结合基本不等式即可证明不等式成立.【详解】（Ⅰ）即，可得或或，解得或或，则原不等式的解集为；（Ⅱ）证明：，当且仅当，即时上式取得等号，可得函数的最小值为1，则，且a，b，，由，可得，当且仅当取得等号，即.,【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，利用基本不等式证明不等式成立，属于中档题.