2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试卷

2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟考试

数学试卷（理）

第Ⅰ卷（客观题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a是实数，且是实数，则a等于（    ）

 A．1 B． C． D．

2. 设集合，，则M∩N=(    )

A. M              B. N              C.              D. R

3.已知函数，，且此函数的图象如图所示，则点P的坐标为(   )

A. （2，)          B. （2，）

（4，）         D. （4，）

4. 设函数是定义在上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则的取值范围是(  )

 A.且    B.或   C.     D.

5．的展开式中，常数项为15，则n=（   ） 

 A．3 B．4 C．5 D．6

6.已知在数列中，，则（　　）

Ａ．2100      Ｂ．2600           Ｃ．2800     Ｄ． 3100

7.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线

和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方

形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点

是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（   ）

A.                 B.               C.             D.

8.点，O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足则向量方向上的投影的数量取值范围是（    ）

 A． B．[-3，3] C.    D．            

9．下图a是某县参加2009年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、Am [如A2表示身高（单位：cm）在[150，155]内的学生人数]。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )

A．<9       B．<8        C．<7    D．<6

10．直线与圆相交于A、B两点（其中是实数），且是直角三角形(O是坐标原点)，则点P与点之间距离的最小值为(   )

A                   B.           C.            D.

11．已知点C在内，且，设，则等于（   ）

A．3　             B．          C．            D．

12．抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（    ）

A.               B.                       D.

第II卷（主观题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有           种（用数字做答）

14．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是            cm3.

15．已知                        ．我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为           ．

16.某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：①函数在上单调递增；②存在常数，使对一切实数都成立；③函数在上无最小值，但一定有最大值；④点是函数图象的一个对称中心，其中正确的是            .            

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，

   （1）求sinA；

   （2）记BC的中点为D，求中线AD的长.

18．（本小题满分12分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.

（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线,且使得途中发生堵车事件的概率最小；

（2）若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量ξ， 求ξ的数学期望Eξ.

19.（本小题满分12分）在△ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交 AB，AC于D、E（图一），沿 DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥ 平面BDEC （图二），

（1）若F 是AB的中点，求证：CF∥平面ADE ；

 （2）P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥ 平面PBE ；

  （3）P是AC 上一点，且AC⊥ 平面PBE ，求二面角P—BE—C 的大小.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点.

（Ⅰ）求直线ON（O为坐标原点）的斜率；

（Ⅱ）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角使等式：成立.

21.（本小题满分12分）已知函数。

（I）求函数的极值；

 （2）对于曲线上的不同两点P1（x1,y1），P2（x2,y2），如果存在曲线上的点Q（x0,y0）， 且x1<x0<x2，使得曲线在点Q处的切线//P1P2,，则称为弦P1P2,的伴随切线。

特别地，当x0 = x1 + (1-)x2 (0<<1)时，又称为弦P1P2,的-伴随切线。

（i）求证：曲线y=f(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

（ii）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

选做题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，Δ是内接于⊙O，，

直线切⊙O于点，弦，

与相交于点.

(1)求证：ΔΔ；

(2)若，求．

23．选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）.

(1)将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程；

  (2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数值.

24．选修4—5；不等式选讲

已知不等式的解集是

（1）求实数的值：

（2）解不等式≥.

高三校二模数学（理）评分标准及参考答案

一．ABBCD    BCBBC    AD

二．72      4/3     2026    2、 3

三．17．解：（1）由，C是三解形内角，得

         (6分)

    （2）在△ABC中，由正弦定理，

    （8分），

又在△ADC中，，由余弦定理得 （12分）

18．解：（ⅰ）∵各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，、∴路线ACDB中遇到堵车的概率p1=1-××=;同理路线ACFB中遇到堵车的概率p2=(小于);路线AEFB中遇到堵车的概率p3=1﹣p(··)=(大于)

所以选择路线ACFB, 可使得途中发生堵车事件的概率最小.(6分)

(ⅱ)路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0,1,2,3.

p(ξ=0) =

p(ξ=1)=××+××+××=

p(ξ=2) =××+××+××=

p(ξ=3) =××=

注：分布列（10分）

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=   （12分）

19. （1）取BD的中点为M，连接FM，CM，∵F为AB的中点，∴则MF//AD，由题知△BCD为等边三角形，∴ CM⊥BD ，又 DE⊥BD                   2分

∴CM∥DE ，∴面CFM∥面ADE, CF面CMF.

CF∥面ADE                            

4分

（2）由平面几何知识：BE⊥CD, AD⊥DE, 平面ADE⊥平面BDEC            5分

∴AD⊥平面BDEC, ∴AD⊥BE, ∴BE⊥面ACD

BE∈面PBE, ∴平面ACD⊥平面PBE                                                   8分

（3）法一，由（2）BE⊥面ACD，设BE∩CD=Q,由题知BE⊥CD, BE⊥PQ, ∴PQC为二面角P-BE-C的平面角                     10分

AD=CD∴∠ACD=45°∴△ACD∽△CPQ, ∠PQC=45°

∴二面角P-BE-C的大小为45°              12分

（法二）

 建立空间直角坐标系{DE、DB、DA}，A（0, 0, 1）,则C       9分

，,∵AC⊥面PBE, AD⊥面BCED

设二面角P-BE-C的大小为θ，则cosθ=                 11分

∴二面角P-BE-C的大小为45°                      12分

20．解：（Ⅰ）∵离心率为    ∴    ∴

∴椭圆方程为，    ∴F的坐标为

∴AB：与联立得：

设，  ， 

∴，   

∴………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，   

由平面向量基本定理得：存在实数、，使成立.

若设      ∴……………………………………8分

∵M在椭圆上，∴

即：

由（Ⅰ）=，    =+=

∴    =1……………………………………………………………10分

令，则

∴总存在角（∈R）使成立……………12分

21．解：（I）

当，函数在内是增函数，函数没有极值。……1分

当a<0时，令，得。

当x变化时，与变化情况如下表：

当时，f(x)取得最大值f()=-1+ln()。综上，当时，f(x)没有极值；

当a<0时，f(x)的极大值为-1+ln()，没有极小值。………………………………4分

（II）（i）设P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上的任意两点，要证明弦P1P2有伴随切线，只需证明存在点Q(x0,f(x0))，x1<x0<x2，使得，

且点Q不在P1P2上。…………………………………………………………………………5分

，即证存在，使得，即成立，且点Q不在P1P2上。

以下证明方程在（x1,x2）内有解。

记F(x)=，则F(x)=，令g(t) = lnt - t + 1，t>1。，g(t)在内是减函数，g(t) <g(1)=0。取，则 ，即F(x1)<0…………………………………………7分

同理可证F(x2)>0, F(x1)F(x2)<0。函数F(x)=在（x1,x2）内有零点。

即方程=0在（x1,x2）内有解x=x0。…………………………8分

又对于函数g(t)= lnt - t + 1，取t=，则，

可知，即点Q在P1P2上。F(x)是增函数，F(x)的零点是唯一的，

即方程=0在（x1,x2）内有唯一解。

综上，曲线y=f(x)上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。……………10分

（ii）取曲线C：y=h(x)=x2，则曲线y=h(x)的任意一条弦均有-伴随切线。

证明如下：

设R（x3,y3）,S(x4,y4)是曲线C上任意两点（x3y4），

则

又

即曲线C：y=x2的任意一条弦均有-伴随切线。……………………………………12分

、

22．几何证明选讲

解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，

∵   ∠ABE=∠ACD………………2分

又，∠BAE=∠EDC

∵BD//MN   

∴∠EDC=∠DCN

∵直线是圆的切线，

∴∠DCN=∠CAD

∴∠BAE=∠CAD

∴ΔΔ（角、边、角）……………………………5分

      （Ⅱ）

∵∠EBC=∠BCM  ∠BCM=∠BDC

∴∠EBC=∠BDC=∠BAC  BC=CD=4

又   ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB  

∴    BC=BE=4    ……………………………8分

设AE=，易证  ΔABE∽ΔDEC

∴

又 

∴……………………………10分

23．坐标系与参数方程

  解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:

     -------------------------------------2分

直线的直角坐标方程为：-----------------------2分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，

圆心到直线l的距离-------------------6分

-----------------------------------8分

或               -------------------10分

24. 不等式选讲 ；(1)a=2,b=3         ……………………5分

                 (2){x|0≤x≤3}     ……………………10分