2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简集合，，根据交集定义，即可求得；

【详解】

故

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，解题关键是掌握交集定义和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

2．设复数在复平面上的对应点为，为的共轭复数，则（    ）

A．是纯虚数 B．是实数 C．是纯虚数 D．是纯虚数

【答案】D

【解析】由复数在复平面上的对应点为，可得，根据为的共轭复数，可得，逐项验证，即可求得答案.

【详解】

复数在复平面上的对应点为

根据为的共轭复数

对于A，，是实数，故A错误；

对于B，，是纯虚数，故B错误；

对于C，，是实数，故C错误；

对于D，，是纯虚数，故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数共轭的定义和复数四则运算法则，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

3．“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根本充分条件和必要条件定义，结合对数单调性，即可求得答案.

【详解】

，

可得

由在定义域是单调递增函数

故由“”可以推出“”

“”是“”充分条件

由，

可得，解得

故由“”不能推出“”

“”是“”非必要条件

综上所述，“”是“” 充分不必要条件

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了判断充分不必要条件，解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义，及其对数的单调性，考查了分析能力和推理能力，属于基础题.

4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：

则下列结论中正确的是（    ）

A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半

B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍

C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍

D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当

【答案】C

【解析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.

【详解】

由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，

对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，

对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3×t=0.3t，故B错误，

对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.3×2t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，

对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

5．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，而，即可得到.在比较和，即可大小关系，进而求得的大小关系.

【详解】

，

又，

，即

综上所述，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.

【详解】

由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

7．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为:存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数对问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果.

【详解】

不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，

根据素数对称为孪生素数，

则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，

这4个孪生素数只有孪生素数(3,5)的积为

共有4组，孪生素数的积不超过20的概率：，

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力.

8．设等比数列的前项和为，若，且，成等差数列，则（    ）

A．510 B．255 C．512 D．256

【答案】B

【解析】由题意，设等比数列的公比为，由，成等差数列，求得，进而求得.

【详解】

设等比数列的公比为，

，成等差数列，

即，则，

又，

，解得，

.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前项和公式的应用，其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.

9．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的奇函数

C．)在上单调递减 D．在上的最大值为

【答案】D

【解析】化简，可得，由将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，结合余弦函数图象特征，即可求得答案.

【详解】

由将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

可得

可得其周期为,故A,B错误

根据其周期为，结合余弦图象特征可知，在不是单调函数

根据，在

在时，，故此时取最大值，故D正确；

综上所述，只有选项D符合题意

故选：D.

【点睛】

本题解题关键是掌握三角函数图象平移的方法和余弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

10．已知椭圆，是其左右焦点，若对椭圆上的任意一点，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】椭圆，是其左右焦点，若对椭圆上的任意一点，画出图象，根据图象可知当点移动到轴顶点时，角度最大，此时，移动到椭圆其位置也必有，求出，，根据向量数量积坐标公式，即可求得答案.

【详解】

椭圆，是其左右焦点，若对椭圆上的任意一点，

画出图象：

根据图象可知当点移动到轴顶点时，角度最大，此时，移动到椭圆其位置也必有

根据

，，

点移动到轴顶点时，

可得：，

由，可得，即

解得其

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是掌握椭圆的图象特征和向量的数量积坐标公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

11．已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】三棱锥，以为底，到平面的距离为高，得到三棱锥在两两垂直时体积最大，此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，从而求出其半径，得到球的体积.

【详解】

三棱锥，以为底，到平面的距离为高，

则可知平面时，到平面的距离最大为，

底面为等腰三角形，

，

当时，的面积最大，即，

当两两垂直时，三棱锥体积最大，

此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，

设球的半径为，

则，

解得，

所求球的体积为.

故选：A.

【点睛】

本题考查求三棱锥的体积，求三棱锥外接球的体积，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.

12．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案

【详解】

函数的图象与函数的图象关于原点对称，

则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，

即方程有解，

即有解，

令，

则，

当时，，

当，，故，

由，，

故当时，

故的取值范围为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了图象的对称性，以及运用导数求函数的单调区间，极值的求解，在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围．

二、填空题

13．设在上是奇函数，且，当时，，则____________.

【答案】

【解析】由，结合是奇函数，求出周期，根据时，，即可求得.

【详解】

，

，即

是定义是上的奇函数，

①

故，即②

故周期为

又当时，

故

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数周期性的应用，重点在于得出函数的周期，难点在于对所求式子的化简，属中档题.

14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________.

【答案】（或写成）

【解析】设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.

【详解】

设与的夹角为

可得，

故，将代入可得

得到，

于是与的夹角为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.

15．设数列的前项和为，且满足，则使，成立的的最大值为____________.

【答案】3

【解析】对递推关系再递推一步，得到新的等式，两个等式相减，结合等比数列的定义进行求解即可.

【详解】

当时，，即

故；

当时，两式相减得.

故数列为首项为，公比为的等比数列，

可得，

当时，，即也符合

故数列的通项公式为：

故

由

可得

整理可得：

即

可得

故的最大值为：.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了由数列递推公式求数列通项公式，考查了等比数列的定义，考查了数学运算能力.

三、双空题

16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛.已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是____________尺.若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积（含上下两底）最小，那么它的底面半径是____________尺.

【答案】20    （或写成）   

【解析】根据长方体的体积公式，即可求得该粮仓的高；设圆柱形底面半径为,根据一个长方体等于圆柱形体积，列出等式，结合均值不等式，即可求得答案.

【详解】

设长方体高为

1斛粟的体积为2.7立方尺，即立方丈

根据长方体体积公式可得：

解得丈

设圆柱形底面半径为，高为，表面积为

根据题意可知：一个长方体等于圆柱形体积

可得

故

当且仅当

即，可得

故答案为：20，.

【点睛】

本题主要考查了长方体的体积和根据基本不等式求最值，着重考查了学生的空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题．

四、解答题

17．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，为等边三角形，平面底面为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上，且，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）要证平面平面，只需证明平面，结合已知条件，即可求得答案；

（2）过作，垂足为，，结合所给数据，即可求得答案.

【详解】

（1）为等边三角形，为的中点，

平面底面，平面底面

底面，平面，

由又题意可知为正方形，

，又，

平面

平面，

平面平面

（2）过作，垂足为

【点睛】

本题主要考查了求证面面垂直和椎体体积，解题关键是掌握将面面垂直转化为线面垂直方法和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

18．在中，内角所对的边分别是，且.

（1）求角；

（2）若，求的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为，根据正弦定理“边化角”，结合正弦两角和公式，即可求得角；

（2）根据余弦定理求得关系式，结合均值不等式和三角形面积公式，即可求得的面积的最大值.

【详解】

（1）由题设及正弦定理得

化简得

，

，

可得：

（2）由已知（1），根据余弦定理得，

即，

，（当且仅当时取号）

（当且仅当时取号）

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形问题，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

19．3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多.研究者分析了1月1日~29日的6013份病例数据，发现的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有为男性.随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据.他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有为危重，而女性患者危重情况的为.也就是说男性的发病情况似乎普遍更严重.研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色.”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：

（1）求列联表中的数据的值；

（2）能否有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？

（3）该学生实验小组打算从“轻—中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果.然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率.

附表及公式：.

【答案】（1），， ，；（2）没有；（3）

【解析】（1）根据列联表所给数据，联立方程组，即可求得答案；

（2）根所给数据得到列联表，利用公式求得，与临界值比较，即可求得答案；

（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，求得所求概率.

【详解】

（1）求列联表可得

解得：，， ，.

（2）根据所给数据

由

没有99.9%把握认为新冠肺炎的感染程度和性别有关

（3）由于在“轻-中度感染”的患者中，按男女比例为2:3，

设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，

则所有组合为：

(D,E,a)(D,E,b),(D,E,c),(D,a,b),

(D,a,c),(D,b,c),(E,a,b),(E,a,c),

(E,b,c),(a，b，c)，

可能的情况共有10种．其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，

设至少抽到2名女性患者的事件为，则

【点睛】

本题主要考查列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.

20．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，其中为切点.

（1）求曲线的方程；

（2）判断直线是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.

【答案】（1）；（2）能，

【解析】（1）曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1，得动点到点的距离与到直线：的距离相等,根据抛物线定义，即可求得答案.

（2）设点，，，由根据导数可得求得抛物线在点处的切线的方程，结合点在切线上，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1

得动点到点的距离与到直线：的距离相等

又由抛物线的定义可知，曲线为抛物线，焦点为，准线为：

曲线的方程为

（2）设点，，

由，即，

得.

抛物线在点处的切线的方程为

即.

，

，

点在切线上，

①，

同理②

综合①、②得，点，的坐标都满足方程

即直线：恒过抛物线焦点

【点睛】

本题主要考查了求抛物线方程和抛物线与直线位置关系问题，解题关键是掌握抛物线定义和导数求切线斜率的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

21．已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，求函数在上的最小值.

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）

【解析】（1）因为，求得，可得函数单调区间，结合极值定义，即可求得答案；

（2）由（1）可得，分别讨论，，，求，即可求得答案.

【详解】

（1）函数的定义域为.

，

①当，

，函数在上为减函数；

②，

函数在上为增函数.

极小值，无极大值

（2）由（1）可得

，由，

可得.

当，即时，

在成立，在此区间上为减函数，

.

当，即时，

，；

，

在为减函数，在为增函数

当，即时，

，

在为增函数，

综上所述，

【点睛】

本题主要考查了含参函数的极值问题和根据导数求最值问题，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值的定义，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）若，求曲线与的交点坐标；

（2）过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.

【答案】（1），；（2）或

【解析】（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线与的交点坐标；

（2）由直线的普通方程为，故上任意一点，根据点到直线距离公式求得到直线的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.

【详解】

（1），

.

由，得，

曲线的直角坐标方程为.

当时，直线的普通方程为

由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）由题意知直线的普通方程为，

的参数方程为（为参数）

故上任意一点到的距离为

则.

当时，的最大值为所以；

当时，的最大值为，所以.

综上所述，或

【点睛】

解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最大值为，若，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；

（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.

【详解】

（1）

①当时，恒成立，

；

②当时，，即，

；

③当时，显然不成立，不合题意；

综上所述，不等式的解集为.

（2）由（1）知，

于是

由基本不等式可得 （当且仅当时取等号）

（当且仅当时取等号）

（当且仅当时取等号）

上述三式相加可得

（当且仅当时取等号）

，

，故得证.

【点睛】

本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.