2020届湖北省十堰市高三年级元月调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖北省十堰市高三年级元月调研考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先求出集合，再根据交集的定义，即可得解.

【详解】

解：因为，

.

故选：D

【点睛】

本题考查交集的运算，属于基础题.

2．复数上的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简得到计算虚部得到答案.

【详解】

，所以的虚部为.

故选：

【点睛】

本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.

3．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】由面面垂直的性质定理、线面垂直的概念，结合充分、必要条件，判断出正确选项.

【详解】

若，根据面面垂直的性质定理可知；若，则由可得.所以“”是“”的充要条件

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

4．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（    ）

A．甲景区月客流量的中位数为12950人

B．乙景区月客流量的中位数为12450人

C．甲景区月客流量的极差为3200人

D．乙景区月客流量的极差为3100人

【答案】D

【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.

【详解】

根据茎叶图的数据：

甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.

甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.

故选：

【点睛】

本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.

5．执行下边的程序框图，若输入的的值为5，则输出的的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】

执行程序框图：依次为，，，，∵

∴输出的的值为4.

故选：

【点睛】

本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力.

6．设函数若是奇函数，则=(    )

A．-3 B．-9 C．-1 D．1

【答案】A

【解析】首先根据函数是奇函数可得，又，据此即可求出结果.

【详解】

因为函数是奇函数，所以，

又，所以.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用分段函数求函数值，属于基础题.

7．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．16 B．19 C．20 D．25

【答案】B

【解析】利用，，成等比数列求解

【详解】

因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题

8．将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】变换得到，根据平移得到，计算得到答案.

【详解】

，所以，

所以，则.

故选：

【点睛】

本题考查了三角函数的平移，变换是解题的关键.

9．已知抛物线的焦点为，，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断线段的中点到其准线的距离是，再计算到轴的距离.

【详解】

，所以线段的中点到其准线的距离是

由题意可知，则线段的中点到轴的距离是.

故选：

【点睛】

本题考查了抛物线上的点到准线的距离问题，意在考查学生的转化能力和计算能力.

10．已知函数，.若，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据条件求出的值域，与的值域，由，，，可得两值域的包含关系，即可求得参数的取值范围.

【详解】

解：因为，，所以的值域为.

因为，所以在上的值域为，依题意得，则

解得.

故选：C

【点睛】

本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.

11．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为平方厘米，半球的半径为厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积，列出的表达式，再求出体积，解不等式即可．

【详解】

解：设圆柱的高度与半球的半径分别为，，则，则，

所以酒杯的容积，

又，所以，

所以，解得，

故选：．

【点睛】

考查了组合体的体积和表面积计算，属于中档题．

12．双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】设：，：，联立方程得到，再计算，，利用余弦定理得到，计算得到答案.

【详解】

记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：

则直线：.联立，解得

则故，.因为，所以

所以，，则.

因为，所以，

所以，整理得，则

解得.

故选：

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

二、填空题

13．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.

【详解】

由题意可知，即对恒成立，

所以，所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.

14．第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 _____．

【答案】.

【解析】首先根据题意，列举出从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况，共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，根据古典概型概率计算公式即可求结果.

【详解】

从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》），（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》），（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了古典概型概率的计算，属于基础题.

15．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.

【答案】

【解析】先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.

【详解】

由等面积法可得，依题意可得，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.

16．在数列中，，且

（1）的通项公式为________；

（2）在，，，   ，这2019项中，被10除余2的项数为________.

【答案】    403   

【解析】（1）等式两边同除构造数列为等差数列即可求出通项公式；

（2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解

【详解】

（1）因为，所以

，即，则为等差数列且首项为1，差为2，所以

，故

（2）因为，所以当n能被10整除或n为偶数且能被5整除时，被10除余2，所以，故被10除余2的项数为.

故答案为：；403

【点睛】

本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．

三、解答题

17．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

（1）求购买金额不少于45元的频率；

（2）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

附：参考公式和数据：，.

附表：

【答案】（1）（或0.5）；（2）列联表见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

【解析】（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；

（2）完善列联表，计算出跟参考数据比较得出结论.

【详解】

解：（1）购买金额不少于45元的频率为.

（2）列联表如下：

，

因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

【点睛】

本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.

18．设函数，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知，.

（1）若，求B；

（2）若，求的面积.

【答案】(1) . (2)

【解析】（1）运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f（x），并求得，再利用正弦定理求得，可得结论；

（2）由三角形的余弦定理得结合面积公式，求得b，c的关系，即可得到所求三角形的周长．

【详解】

（1），

因为，所以，即.

因为，所以，

因为，所以或，

又，所以.

（2）由余弦定理，可得，

即，解得（负根舍去），

故的面积为

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，，分别为棱，上一点，，且平面.

（1）证明：为的中点.

（2）若四棱锥的体积为，求正方体的表面积.

【答案】（1）见解析；（2）24

【解析】（1）取的中点，连接，可证，再由线面平行得到，又，所以四边形为平行四边形，即可得证.

（2）设棱长为，易知到平面的距离为，由求出的值，即可求出表面积.

【详解】

解：（1）证明：取的中点，连接

因为，所以为的中点，又为的中点，所以.

因为平面，平面，平面平面.

所以，即.

又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.

（2）设，则，，的面积分别为，，，

易知到平面的距离为，所以，

解得，故所求正方体的表面积为.

【点睛】

本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.

20．已知椭圆的焦距为，短轴长为.

（1）求的方程；

（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意求出和的值，即可求出椭圆的方程；

（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点和，即可得出所求圆的标准方程.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，则，，

所以，，，所以的方程为；

（2）设点、，联立，消去，得.

由韦达定理得，，

所以，线段的中点坐标为.

，

所以，所求圆的标准方程为.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.

21．已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）求a，b的值；

（2）若对恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）,

（2）

【解析】（1）求导可得,由题,切线方程斜率为,解得,代回函数求得,即,可求得；

（2）如果求对恒成立,即求,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式

【详解】

解：（1）,

因为在处的切线方程为,即,此时切线斜率,

则,解得,

所以,

所以,则,解得

（2）由（1）知,

,

设函数,则,所以在为增函数,因为,

令,得；令,得,

所以当时,；当时,,

所以,

从而,即

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.

（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，则，即.

因为，，所以.

（2）将代入，得.

设，两点对应的参数分别为，，则，.

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围，

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，得出关于的不等式，求出解集即可．

【详解】

（1）当时，，解得；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则.

综上，不等式的解集为；

（2） ，

若对任意，不等式恒成立，

则，解得或.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．