2020届湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高三下学期4月联考数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高三下学期4月联考数学（理）试题


一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合,利用指数函数的值域求出集合,根据集合补集的定义和集合的交运算求解即可.
【详解】
依题意得，集合,，
由集合补集的定义知，，
由集合的交运算可得，，
故选：B
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交、补运算；考查运算求解能力；属于基础题.
2．若复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】利用复数的四则运算进行化简，再由复数的几何意义求解即可.
【详解】
依题意得，
，
故在复平面内复数所对应的点为，该点位于第一象限.
故选:A
【点睛】
本题考查复数的四则运算和复数的几何意义；考查运算求解能力；属于基础题.
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是（ ）
A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为平方步
【答案】B
【解析】根据题意，利用扇形的面积公式求解即可.
【详解】
依题意，问题[三三]中扇形的面积为平方步，
问题[三四]中扇形的面积为平方步.
故选：B
【点睛】
本题考查数学文化和扇形的面积公式;考查运算求解能力；熟练掌握扇形的面积公式是求解本题的关键；属于基础题.
4．运行如图所示的程序框图，若输入的的值为2时，输出的的值为，则判断框中可以填（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出时判断框中可以填的条件.
【详解】
运行该程序：
第一次循环，；
第二次循环；
第三次循环，；
第四次循环，，
此时输出的值，观察可知，仅选项C符合题意.
故选:C
【点睛】
本题主要考查含有当型循环结构的程序框图；考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握含有循环结构的程序框图的运行方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
5．已知正项数列的首项为1，是公差为3的等差数列，则使得成立的的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
依题意得，，故，
令，得，解得，
因为，所以使得成立的的最小值为13.
故选:C
【点睛】
本题考查等差数列通项公式；考查运算求解能力；熟练掌握等差数列通项公式是求解本题的关键；属于基础题.
6．若函数的大致图象如下图所示，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用时，和时进行逐项排除即可.
【详解】
令，即，则，即，
由图可知，，
故时，时，排除A、D；
当时，易知是减函数，
且当时，则，C明显不合题意，排除C；
故选：B
【点睛】
本题考查指数函数的性质和解析式较复杂的函数图象的判断；考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力；通过观察图象，选取合适的特殊值点进行排除是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
7．在三棱柱中，已知，平面，则下列选项中，能使异面直线与相互垂直的条件为（ ）
A． B．
C．四边形为正方形 D．四边形为正方形
【答案】A
【解析】根据题意作出图形，利用线面垂直的判定与性质进行求解即可.
【详解】
根据题意，作图如下：

因为平面，所以，
又，，
所以平面，
因为平面，
所以，
当异面直线与相互垂直时，
由，可得平面，
因为平面，所以，
所以四边形为正方形，所以，
反之亦然，即时，可得成立.
故选:A
【点睛】
本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理证明异面垂直；考查数形结合思想和逻辑推理能力；熟练掌握线面垂直的判定和性质是求解本题的关键；属于中档题.
8．已知非零实数满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用不等式的基本性质和对数函数的单调性及特殊值法进行判断即可.
【详解】
因为非零实数满足，
所以，
两边同时开立方可得，，
因为对数函数为上的增函数，
所以，，，
所以选项A、B、D均正确；
对于选项C，当，时，，所以选项C错误.
故选：C
【点睛】
本题考查不等式的基本性质和对数函数的单调性；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握不等式的基本性质和特殊值检验法是求解本题的关键；属于中档题.
9．若首项为的数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得,由两边同时除以，利用累加法求出的表达式，再利用裂项相消法对数列进行求和即可.
【详解】
依题意得，由，
等式两边同时除以可得，
则，，，，
以上式子左右两边分别相加可得，
即，所以，
故.
故选:C
【点睛】
本题考查利用累加法求数列通项公式和裂项相消法对数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对递推式进行变形，利用累加法求出数列的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称
C．
D．当时，
【答案】C
【解析】利用辅助角公式化简函数的表达式，利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质和函数图象的平移变换公式求出函数的解析式即可判断.
【详解】
依题意得，，
所以当时，，
当，即时，函数递减，
当，即时，函数递增，
所以函数在上先减后增，故A错误；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到
函数解析式为，
因为，其为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，故B错误；
因为，
所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
当时，，则，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型
11．在正方形中，已知，，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，线段所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，，由得到关于的表达式，利用平面向量数量积的坐标表示得到的表达式，利用基本不等式求出的取值范围即可求出的取值范围，进而可得的取值范围.
【详解】
以为坐标原点，线段所在直线分别为轴，
建立平面直角坐标系如图：

设，，则
由，得，
化简可得，
故，即，
因为，故，
当且仅当时等号成立，
所以，
故的取值范围为.
故选:A
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示和基本不等式求最值；考查运算求解能力和数形结合思想；建立合适的直角坐标系和基本不等式的灵活运用是求解本题的关键；属于难度大型试题.
12．过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或2
【答案】D
【解析】分在轴同侧和在轴异侧两种情况进行求解：不妨设在第一象限，根据题意作出图形，利用图形中的几何关系求出的值，再由离心率求解即可.
【详解】
有两种情况：
（1）若在轴同侧，不妨设在第一象限.如图，

设内切圆的圆心为，则在的平分线上，
过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，利用点到直线的距离公式可得，
焦点到渐近线的距离为，
又，所以，
又，
所以，
所以，
从而可得离心率；
（2）若在轴异侧，不妨设在第一象限如图，

易知，，，
因为的内切圆半径为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，，
则，
从而可得离心率.
综上，双曲线的离心率为或2.
故选：D
【点睛】
本题考查利用双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系求离心率；考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力；利用数形结合思想，正确求解图形中的几何关系和线段长度是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.


二、填空题
13．的展开式中，项的系数为______.
【答案】240
【解析】写出二项展开式的通项公式，令的幂指数为，求出通项中的即可求解.
【详解】
依题意可得，的展开式的通项为
，
令，解得，
故项的系数为.
故答案为：240
【点睛】
本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；正确写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.
14．若直线与曲线相切，则______.
【答案】或16
【解析】设切点坐标为，对进行求导，利用导数的几何意义求出切点坐标，然后代入直线方程即可求解.
【详解】
设切点坐标为，由题意知，，
由导数的几何意义知，切线斜率，
即，解得，
所以切点为或，
把切点或分别代入中，
可得或.
故答案为：或16
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线的斜率和切点坐标；考查运算求解能力；属于基础题.
15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为____.
【答案】
【解析】利用相互独立事件的概率公式和互为对立事件的概率和为1，求出4个人都没有完成任务的概率和 4个人中有3个没有完成任务的概率即可.
【详解】
由题意知，由相互独立事件的概率公式得，
4个人都没有完成任务的概率为，
4个人中有3个没有完成任务的概率为，
故至少2人完成任务的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查相互独立事件概率公式和互为对立事件的概率和为1；考查运算求解能力和逻辑思维能力；正难则反，间接法的运用是求解本题的关键；属于中档题.
16．已知抛物线的焦点为，直线，过点且与抛物线分别交于点和点，弦和的中点分别为，若，则下列结论正确的是
（______________）
①的最小值为32
②以四点为顶点的四边形的面积的最小值为128
③直线过定点
④焦点可以同时为弦和的三等分点
【答案】①②③
【解析】依题意得直线的斜率均存在，设，，直线，把直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义分别求出的表达式，利用基本不等式求最值即可判断①；求出四边形面积的表达式，利用基本不等式求最值即可判断②；表示出坐标，进而得到直线的方程即可判断③；假设点为弦的三等分点，不妨设，利用平面向量的坐标表示进行求解，根据能否推出矛盾判断④即可.
【详解】
依题意得直线的斜率均存在，且，
设，，直线，
联立方程，整理可得，
所以，则，
因为，以代替可得，，
所以，
当且仅当时取等号，所以①正确；
因为，所以四边形的面积，
当且仅当时取等号，所以②正确；
因为，，
所以直线的方程为，
即，恒过定点，故③正确；
若点为弦的三等分点，不妨设，
则，所以，
即，又，
解得（舍去），或，
代入，得，与两直线垂直矛盾，故④错误.
故答案为：①②③
【点睛】
本题考查抛物线的定义及其几何性质、直线与抛物线相交的弦长和面积的求解、基本不等式的运用、平面向量的坐标表示；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握相关知识，并能灵活运用是求解本题的关键；属于综合性试题.

三、解答题
17．在中，角所对的边分别是，且，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，求的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）利用余弦定理推论和正弦定理进行边化角，然后由两角和的正弦公式和正弦定理求解即可；
（2）由（1）知，利用余弦定理求出的值，代入三角形面积公式求解即可.
【详解】
（1）依题意得，，故，
则，
所以，即，
因为，所以，因为，所以，
由正弦定理可得，，
所以为外接圆的半径，，
故外接圆的面积.
（2）由及余弦定理得，，
又，，
所以，解得，
故.
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形、求外接圆面积、两角和的正弦公式及三角形的面积公式；考查运算求解能力和知识迁移能力；熟练掌握正余弦定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
18．如图，四棱锥中，二面角为直二面角，为线段的中点，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）利用面面垂直的判定定理和性质定理及线面垂直的判定定理即可证明；
（2）连接，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系如图所示，
由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，根据题意，求出向量，利用空间向量法求二面角的方法，则向量的夹角或其补角即为所求.
【详解】
（1）证明二面角为直二面角，
所以平面平面，
因为，，
平面平面，平面，
平面，又平面，
，
，，
又为的中点，，
又，平面，
平面，平面平面.
（2）如图，

连接，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系，
，，
，，，，，
，，
设平面的法向量为，
即令，则，，
是平面的一个法向量，
平面，平面的一个法向量为，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的大小为.
【点睛】
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质和空间向量法求二面角的平面角；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定与性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
19．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019年1~10月份产品的生产数量（单位：万件）以及销售总额（单位：十万元）之间的关系如下表：

2.08
2.12
2.19
2.28
2.36
2.48
2.59
2.68
2.80
2.87

4.25
4.37
4.40
4.55
4.64
4.75
4.92
5.03
5.14
5.26


（1）计算的值；
（2）计算相关系数，并通过的大小说明与之间的相关程度；
（3）求与的线性回归方程，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少.（该问中运算结果保留两位小数）
附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
相关系数.
参考数据：，，.
【答案】（1），. （2）0.997；具有很强的相关性 （3），5.65
【解析】（1）利用表中的数据代入公式中求解即可；
（2）利用（1）中，结合表中的数据，代入题中相关系数公式中计算求解，然后与进行比较即可；
（3）由题知，，利用回归方程经过样本中心点求出回归方程，把代入回归方程求解即可.
【详解】
（1）依题意，，.
（2）依题意，，
因为，
所以与之间具有很强的相关性.
（3），
所以所求回归直线方程为，
故当时，.
【点睛】
本题考查相关系数和线性回归方程的求解；考查运算求解能力；利用回归方程经过样本中心点是求解本题的关键；属于基础题、常考题型.
20．已知斜率存在且不为0的直线过点，设直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为.
（1）若的面积为，求直线的方程；
（2）若直线分别交直线于点，且，记直线的斜率分别为.探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）或. （2）是，定值为
【解析】（1）设，，设直线，根据题意求出,由求出, 联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出即可；
（2）设直线的方程为：与椭圆方程联立得到关于的一元二次方程，设，，利用韦达定理求出，利用点斜式求出直线的方程，进而求出点坐标，利用平面向量坐标表示求出的表达式，代入斜率公式求出直线的斜率即可求解.
【详解】
（1）设，,
因为，椭圆的左顶点为，所以，
故，
故，
设直线，代入椭圆的方程中，整理得，
所以，，
故，
解得，，
故直线的方程为或.
（2）由题意得，设直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得，
整理得，
设，，
则①，②，
又，所以直线的方程为，
令，解得，
同理可得，，设，
所以，
因为，所以，，
将①②代入上式并化简可得，
所以直线的斜率为，
故，为定值.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定点、定值问题及平面向量的坐标表示；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与椭圆位置关系中相关问题的求解方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）
【解析】（1）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）令，由，可得，利用分析法和放缩法的思想，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值证得当时，对任意，都有即可.
【详解】
（1）依题意，，，
令，即，解得，
故当时，，
当时，，
当时，，
故函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为，
（2）令，
由题意得，当时，，则有，
下面证当时，对任意，都有，
由于时，，
所以当时，，
故只需证明对任意，都有，
令，则，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即，
所以，则，
令，，则.
当时，，，
所以，即函数在上单调递增，
所以当时，，
所以对任意，都有.
所以当时，对任意，都有，
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间、通过构造函数，利用分析法和放缩法的思想求解恒成立问题中参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用分析法进行一步步放缩是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线与轴交于两点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线的普通方程及曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线在第一象限交于点，且线段的中点为，点在曲线上，求的最小值.
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求解即可；
（2）联立直线方程和曲线的方程求出点坐标，利用中点坐标表示可得点，结合（1）知，判断点与圆的位置关系求出的最小值即可.
【详解】
（1）由可得，即，
所以直线的普通方程为.
由可得，即，
将，代入上式，可得，即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由，可得或，
因为点位于第一象限，所以，
由（1）可得，因为线段的中点为，所以，
由（1）可知曲线表示圆，其圆心为，半径，
所以，
因为点在曲线上，所以.
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、点与圆的位置关系；考查运算求解能力和逻辑思维能力；正确判断点与圆的位置关系是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
23．（1）已知均为正数，且，求证：；
（2）已知实数满足，，求证：.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）由均为正数，对代数式分别利用三个正数的基本不等式进行变形即可得证；
（2）利用分析法证明不等式：通过提取公因式变形最终得到显然成立的不等式即得证.
【详解】
（1）证明：因为，由三个正数的基本不等式可得，
，当且仅当时取等号；
同理可得，，当且仅当时取等号；
故，当且仅当时取等号，
因为，所以，
当且仅当时取等号.
（2）证明：要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
因为，，
所以，，，
所以，
所以得证.
【点睛】
本题考查利用三个正数的基本不等式求最值和利用分析法证明不等式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握基本不等式求最值需满足的条件和分析法证明不等式的步骤是求解本题的关键;属于中档题.