2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学（理）试题  一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】计算出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】解：，，，.故选：A.【点睛】本题考查对数不等式以及交集的运算，属于基础题.2．设复数，定义.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据复数代数形式的运算法计算出，再根据定义求出.【详解】解：因为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基础题.3．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（    ）A．甲景区月客流量的中位数为12950人B．乙景区月客流量的中位数为12450人C．甲景区月客流量的极差为3200人D．乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.4．的展开式的中间项为（    ）A．-40 B． C．40 D．【答案】B【解析】根据二项式定义可知一共有项，通项为可知第项为中间项，计算可得.【详解】解：的展开式的通项为则中间项为.故选：B.【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.5．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（    ）A．PA，PB，PC两两垂直 B．三棱锥P-ABC的体积为C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为【答案】C【解析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，底面ABC.所以三棱锥P-ABC的体积为，，，，，、不可能垂直，即不可能两两垂直，，.三棱锥P-ABC的侧面积为.故正确的为C.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.6．已知P为双曲线右支上一点，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴，若成等比数列，则（    ）A．4 B．10 C．5 D．6【答案】D【解析】根据双曲线的方程可得、的值，根据，，成等比数列，求出，再根据双曲线的定义计算可得.【详解】解：，又，，成等比数列，.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线定义的应用，属于基础题.7．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用对数函数的单调性比较与的大小关系，再利用指数函数的单调性得出，即可得出、、三个数的大小关系.【详解】指数函数为增函数，则，对数函数是上的增函数，则，因此，.故选：A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.8．在平行四边形ABCD中，，E为线段CD的中点，若，则（    ）A．-4 B．-6 C．-8 D．-9【答案】C【解析】设，则，根据求出的值，再用表示计算可得.【详解】解：设，则.则，解得，从而.故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的计算，以及向量的线性运算，属于基础题.9．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.【详解】解：，，又因为的图象关于对称，所以，即，因为，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.10．在正方体中，E为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接交于O，可证为二面角的平面角，即可求得的长度，即可求出外接球的表面积.【详解】解：连接交于O，则，易知，则平面，所以，从而为二面角的平面角，则.因为，所以，故四面体的外接球的表面积为.故选：【点睛】本题考查二面角的计算，三棱锥的外接球的表面积计算问题，属于中档题.11．已知函数若函数恰有8个零点，则a的值不可能为（    ）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【解析】分和两种情况讨论，当时显然不成立，当时，的实根为.令，画出函数图象，数形结合分析可得.【详解】解：易知，当时，方程只有1个实根，从而不可能有8个零点，则的实根为.令，则，则数形结合可知，直线与的图象有2个交点，直线与的图象有3个交点，所以由题意可得直线与的图象有3个交点，则必有，又，所以.故选：【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.12．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据定义，判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性判断可得.【详解】解：因为，所以，故命题p为真命题，则为假命题.，故命题q为假命题，则为真命题.由复合命题的真假判断，得为真命题.故选：【点睛】本题考查复合命题的真假性判断，由递推公式研究数列的性质，属于中档题.  二、填空题13．某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为______.【答案】.【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案.【详解】根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为.故答案为：【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生对于几何概型的掌握情况.14．设是等差数列的前n项和，若，则的取值范围是________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，根据前n项和公式，可得公差的取值范围，即可求出的取值范围.【详解】解：设等差数列的公差为，故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.15．椭圆的左、右焦点分别为，若，则M的离心率为________.【答案】【解析】依题意可得的坐标，由，则，即可得到、的关系，求得椭圆的离心率.【详解】解：， ，，所以，则即，所以故答案为：【点睛】本题考查两直线垂直斜率的关系，以及椭圆的离心率的计算问题，属于基础题.16．若存在，使得函数与的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为________.【答案】【解析】分别求出函数与的导函数，设公共点为，则解得，又，则，令，求出函数的导数，研究函数的最值.【详解】解：设曲线与的公共点为，因为，所以，化简得，解得或，又，且，则.因为.所以.设，所以，令，得，所以当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，所以b的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题. 三、解答题17．为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率；（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）0.65（3）详见解析【解析】（1）根据所有的小矩形的面积之和为得到方程，解得.（2）根据频率分布直方图，计算概率.（3）按分层抽样的规则分别计算出成绩在，内的人数，在列出分布列，计算出数学期望.【详解】解：（1），，（2）成绩不低于70分的频率为，事件A发生的概率约为0.65.（3）抽取的100名理科生中，成绩在内的有人，成绩在内的有人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中，成绩在内的有4人，在内的有6人，由题可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，，，的分布列为X01234P   .【点睛】本题考查频率分布直方图的数据的处理，分层抽样，离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，属于中档题.18．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求b；（2）求内切圆的半径.【答案】（1）（2）【解析】（1）由得，即可计算出，再由余弦定理计算出边.（2）由面积公式（为内切圆的半径），及解得.【详解】解：（1）由，得，则又，所以.由余弦定理得，，即，即，解得或5.若，则为等腰直角三角形，与矛盾，舍去，故.（2）当时，的面积为，则内切圆的半径.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，以及二倍角公式，属于中档题.19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.（1）证明：平面ABCD.（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过证明平面，得到，再证即可证得平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值.【详解】（1）证明：平面PCD，平面，，，为的中点，则且.四边形BCDE为平行四边形，，.又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，平面，则.平面平面，，又，为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示不妨设，则,则.设平面PBD的法向量为，则即即令，得.设BC与平面所成角为，则.【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.20．在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足（1）求点的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点符合题意.【解析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.【详解】（1）设，，则，，.又，则即因为点N为曲线上的任意一点，所以，所以，整理得，故点C的轨迹方程为.（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，将代入，得.设，，则，.因为，所以，即，所以.故存在点，使得.【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁.21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值和的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.【解析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.（2）讨论，两种情况，变换得到，设，求函数的最小值得到答案.【详解】（1），由切线方程，知，，解得，.故，，由，得；由，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）①当时，恒成立，则.②当时，恒成立等价于对恒成立.令，，.令，，则对恒成立，所以在上单调递增.又，，所以，.当时，；当时，.所以，又，则，故，整数的最大值为3.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）求，，的值；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.【详解】（1）由，得，则，即.因为，，所以.（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，，则，.所以.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到，解不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得，则；当时，，解得，则.综上所述：不等式的解集为.（2），当时等号成立.若对任意，不等式恒成立，即，解得或.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.