2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学（文）试题


一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据集合中元素的意义判断即可.
【详解】
由题,集合为点的集合,为数的集合.故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.
2．已知单位向量满足等式，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据单位向量定义可先求得，，结合平面向量的数量积定义将平方展开化简，即可求得，进而确定与的夹角.
【详解】
设与的夹角为，由，，
可得，，
平方化简可得，
设与的夹角为，则，即，
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义及运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.
3．已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：因为，满足关于的方程，所以，，使取得最小值，因此，是假命题，选C．
【考点】方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．
点评：小综合题，二次函数，当a>0时，使函数取得最小值．

4．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图象所反应的性质，结合四个选项的函数求导数判断单调性，逐一判断即可.
【详解】
对于A：函数是奇函数，不满足题意；
对于B：当时，，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此的最小值为：，所以，即，
单调递增，不满足题意；
对于C：当时，，当时，，函数单调递增，不满足题意；
对于D：函数为偶函数，且当时， ，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此的最小值为：，当时，，当时，，因此函数有两个零点，
设为，显然当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，当时，，即，函数单调递增，满足题意.
故选：D
【点睛】
本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式，考查了偶函数的性质，考查了导数的应用.
5．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若乌龟恰好领先阿基里斯米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知乌龟每次爬行的距离为等比数列，利用等比数列前项和公式即可得解.
【详解】
由题意，乌龟每次爬行的距离组成等比数列，且，，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了等比数列前项和公式的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.
6．设数列的前项和为，满足，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用时,化简已知条件, 当为偶数时，,求得,代值即可求得结果.
【详解】
数列的前项和为,满足,
当为偶数时，，即有
所以
故选:D.
【点睛】
本题考查利用与的关系求得,考查数列求和问题,难度一般.
7．已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：由数据1，2，3，4，x（0