2020届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（文）试题（解析版）

2020届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.

【详解】

由解得，所以，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2．若（），，则（    ）

A．0或2 B．0 C．1或2 D．1

【答案】A

【解析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.

【详解】

由于（），，所以，解得或.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.

3．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.

【详解】

函数的定义域为，在上为减函数.

A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.

B选项，的定义域为，不符合.

C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.

D选项，的定义域为，不符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

4．已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.

【详解】

由于等差数列中，所以，化简得，所以为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.

5．若单位向量，夹角为，，则（    ）

A．4 B．2 C． D．1

【答案】C

【解析】求出即得解.

【详解】

由题得.

所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查向量的模的计算，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（    ）

A．甲的数据分析素养高于乙

B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C．乙的六大素养中逻辑推理最差

D．乙的六大素养整体平均水平优于甲

【答案】D

【解析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.

【详解】

对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.

对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.

对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.

对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.

7．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

8．已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对分两种情况求方程的根的个数即得解.

【详解】

当时，或，都满足；

当时，，

所以方程没有实数根.

综合得函数的零点个数是2.

故选：B

【点睛】

本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．已知为锐角，且，则角（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解.

【详解】

由题得为锐角，∴

∴.

因为为锐角，∴.

故选：C

【点睛】

本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．

【详解】

双曲线的一条渐近线方程设为，

由题得圆的圆心为，半径，

可得圆心到渐近线的距离为，

则，化为，所以

，

故选：．

【点睛】

本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

11．已知数列的前项和为，且，（），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题得再利用累乘法求出，即得.

【详解】

由题得（）

所以（）

由题得，所以（）.

所以

所以.

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列前项和与的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.

①，，所以，故①正确.

②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.

③，，，故平面不成立，故③错误.

④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.

综上所述，正确的命题有个.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题

13．若满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】4

【解析】【详解】

作出可行域如图所示：

由，解得.

目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.

14．曲线在处的切线与直线垂直，则________.

【答案】1

【解析】先求出切线的斜率解方程即得解.

【详解】

由题得

所以.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．在半径为2的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使得为锐角三角形的概率为________.

【答案】

【解析】如图，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.求出劣弧CD的长，再利用几何概型的概率公式求解.

【详解】

如图，四边形ABCD是矩形，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.

由于OD=OC=CD=2，所以,

所以劣弧CD的长为，

由几何概型的概率公式得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、双空题

16．三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则三棱锥体积的最大值为________；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为________.

【答案】       

【解析】由于是球的直径，故当时，三棱锥体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥体积最大时，等边三角形的外接圆半径，由此求得等边三角形的外接圆的面积，也即求得平面截球所得的截面圆的面积.

【详解】

依题意可知，是球的直径，所以当，即时，三棱锥体积取得最大值为.此时，即三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，由正弦定理得，所以等边三角形的外接圆的面积，也即平面截球所得的截面圆的面积为.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知在的三个内角分别为、、，，.

（1）求的大小；

（2）若，求长.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题得，再解方程即得解；（2）求出，再利用正弦定理得解.

【详解】

（1）由题得，

所以，所以，

解得，，∴.

（2）

由正弦定理得.

【点睛】

本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求的值；

（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

（，其中）

【答案】（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系

【解析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.

（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.

【详解】

（1）由题意，解得.

（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.

完善列联表如下：

，

对照表格可知，，

不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.

【点睛】

本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.

19．如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，且.

（1）求证；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）先证明平面MNG, MG即得证；（2）设与交于点，先求出，再求出即得解.

【详解】

（1）由题意平面平面，因为,

所以平面,因为平面,

所以,因为,

平面,,

所以平面MNG, 因为MG平面MNG,

所以MG.

（2）设与交于点，

在直角△中，,

在直角中，,所以，

则，

因为平面MNG,所以就是到平面的距离，

可知到平面的距离为.

【点睛】

本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.

（1）求的方程；

（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试证明为定值，并求出该定值.

【答案】（1）（2）证明见解析；该定值为

【解析】（1）由已知得，且，即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为：，求出，，再计算得其值为定值.

【详解】

（1）已知点在椭圆：（）上，

可设，即，

又，

且，可得椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.

联立直线与椭圆的方程可得：，

由，可得，

联立直线与椭圆的方程可得：，

即，即.

【点睛】

本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

21．已知函数.

（1）若为的极值点，且（），求的值.

（2）求证：当时，有唯一的零点.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）由题得，，对两式消元因式分解即得的值；（2）由题得，再分析和的图象即得当时，有唯一的零点.

【详解】

（1）由题得，

由题可知，所以，

所以（i）

因为，所以.即（ii）

（ii）-（i）得，

所以.

（2）令，则，

令，，

可知在和上单调递增，在上单调递减，

又，；

为过点的直线，又，则，

因此有且只有一个交点，

即有唯一的零点.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求和的普通方程；

（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.

【答案】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）

【解析】（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.

（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.

【详解】

（1）曲线的普通方程为：；

曲线的普通方程为：.

（2）设过原点的直线的极坐标方程为；

由得，所以曲线的极坐标方程为

在曲线中，.

由得曲线的极坐标方程为，所以

而到直线与曲线的交点的距离为，

因此，

即的最小值为.

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.

23．已知函数.

（1）若，解关于的不等式；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.

（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，，

由此可知，的解集为

（2）当时，

的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.

当时，，且，不恒成立，不符合题意.

当时，，

若，则，故不恒成立，不符合题意；

若，则，故不恒成立，不符合题意.

综上，.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.