2020届江苏省常州礼嘉中学高三上学期第一次教学质量调研考试数学（理）试卷
展开礼嘉中学2019—2020学年第一学期
高三年级理科数学阶段教学质量调研试卷
（考试时间：120分钟，总分：160分 日期：2019.10 ）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1.已知集合A＝，B＝{ ，0，1，2}，则AB＝ ▲ ．
2.不等式的解集为 ▲ ．
3.函数的定义域为 ▲ ．
4.若实数x，yR，则命题p：是命题q：的 ▲ 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）
5. 若a＝21.4，b＝80.2，c＝，则a，b，c的大小关系是 ▲ （用“＞”连接）．
6.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2,则实数的值为 ▲ ．
7.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式的解集为 ▲ ．
8.若锐角α满足 (α＋)＝3α＋1，则2α的值为 ▲ ．
9.已知函数，若＝2a，则实数a＝ ▲ ．
10.在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移个单位长度后,得到的图象经过坐标原点，则的值为 ▲ ．
11.函数在区间的最大值为 ▲ ．
12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinC＋csinB＝4asinB·sinC，
b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ▲ ．
13.已知是曲线上的动点，是直线上的动点，则的最小值
为 ▲ ．
14. 若关于x的方程恰有4个不同的正根，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且,.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
16．（本题满分14分）
在中，a,b,c 分别为角 A, B, C 所对边的长，.
(1)求角C的值；
(2)设函数，求的取值范围.
17．（本题满分14分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若cosC＝，求sin(A－C)的值．
18．（本题满分16分）
已知函数.
(1)求直线在点(0，－1)处的切线方程；
(2) 求证：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
19．（本题满分16分）
如图，在P地正西方向16cm的A处和正东方向2km的B处各一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F.
(1)若在P处看E，F的视角,在B处看E测得,求AE，BF；
(2)为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设，公路PF的每千米建设成本为a万元，公路PE的每千米建设成本为8a万元.为节省建设成本，试确定E,F的位置，使公路的总建设成本最小.
20．（本题满分16分）
已知函数f (x)＝2lnx＋ax2－bx，a，b∈R．
(1)若曲线y＝f (x)在x＝1处的切线为y＝2x－3，求实数a，b的值；
(2)若a＝0，且f (x)≤－2对一切正实数x恒成立，求实数b的取值范围；
(3)若b＝4，求函数f (x)的单调区间．
礼嘉中学2019—2020学年第一学期
高三年级理科数学阶段教学质量调研试卷参考答案
1. | 2. | 3. | 4.必要不充分 |
5. c＞a＞b | 6. 3 | 7. | 8. |
9. | 10. | 11. | 12. |
13. | 14. (0，) |
|
|
13．已知P是曲线上的动点，Q是直线上的动点，则PQ的最小值为 ．
答案：
考点：导数与切线
解析：当曲线在点P处的切线的斜率为，且PQ⊥直线时，PQ最小，由，解得x＝2（负值已舍），此时切点P(2，1﹣)，求得点P到直线的距离为，所以PQ的最小值为．
14.若关于x的方程恰有4个不同的正根，则实数a的取值范围是 ．
答案：(0，)
考点：函数与方程
解析：思路一：原方程可转化为恰有4个不同的正根，根据数形结合画图后即可求得0＜a＜．
思路二：原方程可转化为恰有4个不同的正根，从而转化为方程在(0，1)有两个不等的根，则有，解得0＜a＜．
15．在中，角，，所对的边分别为，，，且,.
⑴求的值；
⑵若，求的面积.
【答案】（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，………………………………………………………………2分
所以. ………………………………4分
…………………………………………………………6分
（2）在三角形中,由，
所以， ………………………………………………8分
由，…………………………10分
由正弦定理,得，………………………12分
所以的面积. …………………………14分
16.在中，a,b,c 分别为角 A, B, C 所对边的长，.
(1)求角C的值；(2)设函数，求的取值范围.
解：（1）在△ABC中， 因为，
由正弦定理， 所以． …… 3分
即， 由余弦定理，得． …… 5分
又因为，所以． …… 7分
（2）因为=
= …… 10分
由（1）可知，且在△ABC中，所以，即 …… 12分
所以，即所以的取值范围为 …… 14分
17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若cosC＝，求sin(A－C)的值．
解：（1）因为asin2B＝bsinA，
由正弦定理 ＝ 得 2sinAsinBcosB＝sinBsinA． ………………… 3分
因为A，B为△ABC的内角，所以sinA≠0，sinB≠0，
所以cosB＝． …………………………… 5分
又因为B为△ABC的内角，所以0＜B＜π，所以B＝．…………………………… 7分
（2）因为cosC＝，C∈(0，π)，
所以sinC＝＝＝， …………………………… 9分
所以sin2C＝2sinCcosC＝2××＝，
cos2C＝2cos2C－1＝2×()2－1＝－． ………………………… 11分
因为B＝，所以A＋C＝，从而A－C＝(－C)－C＝－2C，
因此 sin(A－C)＝sin(－2C)＝sincos2C－cossin2C＝×(－)－(－)×＝．………… 14分
18.解答：已知函数f(x)＝.
(1) 求直线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2) 求证：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
（1）由题意：得，
∴，即曲线在点处的切线斜率为，∴，即；
（2）证明：由题意：原不等式等价于：恒成立；令，∴，，∵，∴恒成立，∴在上单调递增，∴在上存在唯一使，∴，即，且在上单调递减，在上单调递增，∴.又，
，∵，∴，∴，∴，得证.
综上所述：当时，.
19. 如图，在P地正西方向16cm的A处和正东方向2km的B处各一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F.
(1)若在P处看E，F的视角,在B处看E测得,求AE，BF；
(2)为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设，公路PF的每千米建设成本为a万元，公路PE的每千米建设成本为8a万元.为节省建设成本，试确定E,F的位置，使公路的总建设成本最小.
解：(1) 在中，由题意可知，则．……2分
在中，，在中 4分
因为所以
于是
所以………6分
答：……7分
（2）由公路的成本为公路的成本的倍,所以最小时公路的建设成本最小.
在Rt△PAE中，由题意可知，则．
同理在Rt△PBF中，，则．
令，………………………………9分
则…………………………11分
令，得，记，，
当时，，单调减；
当时，，单调增．
所以时，取得最小值， …………………………………13分
此时，．…………………………15分
所以当AE为4km，且BF为8km时，成本最小． ……………………16分
20．已知函数f (x)＝2lnx＋ax2－bx，a，b∈R．
（1）若曲线y＝f (x)在x＝1处的切线为y＝2x－3，求实数a，b的值；
（2）若a＝0，且f (x)≤－2对一切正实数x恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若b＝4，求函数f (x)的单调区间．
解：（1）由f (x)＝2lnx＋ax2－bx，得f ′(x)＝，
因为曲线y＝f (x)在x＝1处的切线为y＝2x－3，
所以f (1)＝a－b＝－1， f ′(1)＝2a－b＋2＝2，
解得a＝1，b＝2． …………………………… 3分
（2）因为a＝0，所以f (x)＝2lnx－bx，x∈(0，＋∞)；
由f (x)≤－2得2lnx－bx≤－2，即b≥． …………………………… 5分
设g (x)＝，x＞0，则g′(x)＝－，由g′(x)＝0得x＝1．
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，
则g (x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，所以当x＝1时，g (x)有最大值g (1)＝2．
于是b≥2，即实数b的取值范围为[2，＋∞) ． ……………………… 8分
（3）函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，当b＝4时f ′(x)＝．
①当a＝0时，f ′(x)＝，由f ′(x)＞0得0＜x＜；由f ′(x)＜0得x＞，
所以f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)； ……………………… 9分
②当a＜0时，由f ′(x)＞0得0＜x＜；由f ′(x)＜0得x＞，
所以f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)；……11分
③当0＜a＜1时，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞；
由f ′(x)＜0，得＜x＜，
所以f (x)的增区间为(0，)和(，＋∞)，
减区间为(，)； ……………………… 13分
④当a≥1时，f ′(x)≥0恒成立，于是f (x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；
综上，当a＜0时，f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)；
当a＝0时，f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)；
当0＜a＜1时，f (x)的增区间为(0，)和(，＋∞)，
减区间为(，)；
当a≥1时，f (x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间． ……………………… 16分
