2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联合考试数学（文）试题（解析版）

2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联合考试数学（文）试题

一、单选题

1．设，则的共轭复数在复平面内的对应点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】利用复数的除法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】

，.

故选:B

【点睛】

本题考查了复数的除法运算的法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面的位置特征，考查了数学运算能力.

2．设集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据对数函数的单调性和定义域，结合集合并集的定义进行求解即可.

【详解】

由题意得，，故.

故选：A

【点睛】

本题考查了对数不等式的解法，考查了集合并集的定义，考查了数学运算能力.

3．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数、指数函数的单调性和三角函数正负性进行求解即可.

【详解】

由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，根据余弦函数的性质可得，所以.

故选：C

【点睛】

本题考查了对数式、指数式、三角式的大小判断，考查了指数函数、对数函数的单调性和三角函数的正负性，属于基础题.

4．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．

【详解】

解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，

用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．

故选：．

【点睛】

本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．

5．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据图象所反应的性质，结合四个选项的函数求导数判断单调性，逐一判断即可.

【详解】

对于A：函数是奇函数，不满足题意；

对于B：当时，，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此的最小值为：，所以，即，

单调递增，不满足题意；

对于C：当时，，当时，，函数单调递增，不满足题意；

对于D：函数为偶函数，且当时， ，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此的最小值为：，当时，，当时，，因此函数有两个零点，

设为，显然当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，当时，，即，函数单调递增，满足题意.

故选：D

【点睛】

本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式，考查了偶函数的性质，考查了导数的应用.

6．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（    ）

A．522 B．324 C．535 D．578

【答案】A

【解析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可.

【详解】

第6行第6列开始的数为808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不合），837（不合），522，则满足条件的5个样本编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522.

故选:A

【点睛】

本题考查了随机数表的应用，属于基础题.

7．已知，则的近似值为（    ）

A．1.773 B．1.782 C．1.796 D．1.815

【答案】B

【解析】运用诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.

【详解】

.

故选：B

【点睛】

本题考查了诱导公式，考查了辅助公式，考查了数学运算能力.

8．已知向量，，，则当取最小值时，实数（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】根据平面向量的加法的几何意义、共线的性质结合平面向量的坐标表示公式求出的坐标，再利用平面向量模的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.

【详解】

由，得，

，则当时，有最小值.故选：A

【点睛】

本题考查了平面向量的加法的几何意义，考查了平面向量的模的坐标表示公式、加减法、数乘的坐标表示公式，考查了数学运算能力.

9．在如图所示的程序框图中，执行所给的程序后，则输出的和的关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先判断再进入循环体，直至退出循环体，输出，的值，进行判断即可.

【详解】

根据题中所给的程序框图，在执行完后，可知输出的，的值分别是，，由四个选项可以发现.

故选：B

【点睛】

本题考查了程序框图循环结构的输出问题，考查了整数的整除性，属于基础题.

10．抛物线（）的焦点为，半径为3的圆过点、，且与抛物线的准线相切，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】设出圆的标准方程，求出抛物线的焦点坐标，根据圆的切线的性质进行求解即可.

【详解】

依题意，设圆的方程为：，抛物线（）的焦点，

已知得，解得.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质，考查了待定系数法，考查了数学运算能力.

11．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则满足条件的实数的最小值与最大值的和是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】结合二倍角的正弦公式可以化简函数的解析式，根据平移变换的解析式变化的规律可以求出函数的解析式，最后根据正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】

，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则，，可得，，

即函数的单调递增区间为，，

因为在区间上单调递增，则即

则，，

令，得，满足，

的最大值和最小值的和为.

故选：D

【点睛】

本题考查二倍角的正弦公式的应用，考查了正弦型函数的单调性和图象平移的变换特征，考查了数学运算能力.

12．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【解析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出和的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.

【详解】

由题意知，，

解得，，

直线与平行，则，得，

，

化简得，即，解得.

故选：A

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.

二、填空题

13．已知函数的一个极值点为1，则曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】对函数进行求导，利用函数的极值的定义可以求出的值，最后根据导数的几何意义进行求解即可.

【详解】

，由，有，

又切点为，,则切线方程为，.

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了函数极值的定义，考查了数学运算能力.

14．已知等比数列的前项和为，且，，则______.

【答案】7

【解析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

【详解】

设等比数列的公比为，则，，

两式相除可得，解将，，.

故答案为：7

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了数学运算能力.

15．函数（）的最小值为______.

【答案】0

【解析】根据余弦的二倍角的公式，应用换元法，根据二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】

，

令，，，

当时，取最小值为0.故的最小值为0.

故答案为：0

【点睛】

本题考查了二倍角的余弦公式，考查了二次函数的单调性，考查了换元法，考查了数学运算能力.

16．将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为______.

【答案】6

【解析】正三角形的边长为，根据四棱锥的体积公式，可以求出正三角形的边长，设正方形纸片的边长为，又四棱锥的斜高为，根据折叠中的不变性进行求解即可.

【详解】

四棱锥正视图为正三角形，设正三角形的边长为，其高为，即四棱锥的高为，

则，，

设正方形纸片的边长为，又四棱锥的斜高为，由已知折叠过程可得，

，则，.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了四棱锥的体积公式，考查了图形折叠的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.

三、解答题

17．已知数列的前项和，数列满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可；

（2）化简数列的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.

【详解】

（1）由，

当时，，

时，对上式也成立，

∴；

又，，.

（2），

.

【点睛】

本题考查了已知数列前项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.

18．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：

附：参考公式：，，

参考数据：，，.

（1）求的值；

（2）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；

（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】（1）根据平均数的定义，结合题中所给的数据进行求解即可；

（2）利用平均数的定义，可以求出的值，再利用已知所给的数据进行求解即可；

（3）根据已知，结合（2）所求的线性回归方程可以求出满足已知的有效数据，最后利用列举法，根据古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

（1）由，得，

解得.

（2）∵，

而，，，

∴，

所求的线性回归方程为：；

或者，所求的线性回归方程为：

（3）若回归方程为：时，

当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.满足条件的“有效数据”有：，，，共4个，

记，，，，，，从6组销售数据中任取2组，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件有：，，，，，，共6种，

所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为.

若回归方程为：时，

当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.满足条件的“有效数据”有：，共1个，

记，，，，，，从6

抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件不存在

所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为0.

【点睛】

本题考查了平均数的定义，考查了线性回归方程的求法，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成的角为，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）根据已知可以证明出为平行四边形，利用平行四边形的性质，结合余弦定理，勾股定理的逆定理，根据线面、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）设为中点，连接，，则，由（1）中的结论可以证明平面平面，从而有平面，为直线与平面所成的角，利用锐角的三角函数值定义进行求解即可.

【详解】

（1）由已知，，且，则为平行四边形，

，又，则，由知，

则为正三角形，

在中，，，

由余弦定理知，，

有，，

又，，则平面，

而平面，则平面平面.

（2）设为中点，连接，，则，

因为平面，平面，则平面平面，

则平面，为直线与平面所成的角，

又直线与平面所成的角为，则，

又，，

所以在中，，

即直线与平面所成角的正切值为.

【点睛】

本题考查了证明面面垂直，考查了求线面角的正切值，考查了推理论证能力和数学运算能力.

20．已知椭圆（）的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆的下顶点，交椭圆于另一点、的面积.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于、两点，点关于轴的对称点为，问：直线是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）直线过定点

【解析】（1）根据椭圆离心率的公式和椭圆中的关系，可以判断出的形状，最后结合椭圆的定义和三角形的面积公式进行求解即可；

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数关系，三点共线进行求解即可.

【详解】

（1）由椭圆的离心率，则，，，

∴是等腰直角三角形，

又，

在中，，即.

解得，，，

∴的面积为，，，

∴椭圆方程为.

（2）设，，则，

设直线与轴交于点，直线的方程为（），

由有，

，，

，，

由、、三点共线，，即，

将，代入整理得，

即，

从而，即，解得，此时满足.

则直线的方程为，故直线过定点.

（其他解法正确同样给分）

【点睛】

本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力.

21．已知函数.

（1）证明：；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值和的最小值.

【答案】（1）证明见解析（2）的最大值为，的最小值为1

【解析】（1）当时，对函数进行求导，利用导数可以求出函数的最小值，利用奇偶性再进行判断即可；

（2）化简，不等式可以转化为：，，令，求导，根据的不同取值，判断出函数的单调性，最后分类讨论进行求解即可.

【详解】

（1）当时，，，

当时，，则，

当时，，则，

则当时，，在上为增函数，，

又函数为偶函数，则对任意，成立，

（2），

当时，，即为，

，即为，

令，则，

当时，在上，，在上为增函数，；

当时，在上，，在上为减函数，；

当时，存在唯一的，使得，

与在区间上的情况如下：

在区间上是增函数，，

进一步，当时，当且仅当，

可得.

综上所述，当且仅当时，在上恒成立；

当且仅当时，在上恒成立，

所以的最大值为，的最小值为1.

【点睛】

本题考查了利用导数证明不等式，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.

22．在直角坐标系中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线与轴正半轴交于点，与曲线交于，两点，且，，成等比数列，求直线的极坐标方程.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合极坐标与直角坐标转化公式进行求解即可；

（2）写出直线的参数方程，求出的表达式，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，利用参数的意义，结合等比数列的性质进行求解即可.

【详解】

（1）方程可化为，

将代入上式，得曲线的直角坐标方程.

（2）由直线的方程为，知直线过点，

记直线的倾斜角为，，

设直线的参数方程为（为参数），

令，得点对应的参数值为，即，

把代入，得，

整理，得，

则有.

设，对应的参数值分别为，，

则，，

因为，，成等比数列，则，

所以，

所以或，

解得或，

的普通方程为或，

故的极坐标方程为或.

【点睛】

本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了利用参数的意义解决线段有关长度问题，考查了数学运算能力.

23．已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）设函数的最小值为，若正实数，，满足，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）用绝对值的性质化简函数的解析式变成分段函数解析式的形式，然后分类讨论进行求解即可；

（2）由（1）可以求出的值，然后利用重要不等式、基本不等式进行证明即可.

【详解】

当时，；

当时，；

当时，.

故的值域为.

（2）由（1）知函数的最小值，则，

，

当且仅当时取等号.

或：

，

当且仅当时取等号.

【点睛】

本题考查了求含绝对值函数的最值问题，考查了利用重要不等式和基本不等式证明不等式，考查了数学运算能力和代数式恒等变形能力.