2020届河南省名校联盟高三模拟仿真考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．设集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别求出两个函数的值域和定义域即可得解.
【详解】
因为，
解得
，所以.
故选：C
【点睛】
此题考查求集合的交集运算，关键在于准确求出已知函数的值域和定义域.
2．复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据复数在复平面内对应点所在位置求出的范围，根据列方程即可得解.
【详解】
因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，
由，可得，解得，
所以，.
故选：D
【点睛】
此题考查复数的几何意义与共轭复数的辨析，关键在于熟练掌握复数的相关计算.
3．已知，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间值1,0，进行比较.
【详解】
因为，，，
所以.
故选：A
【点睛】
此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数对数函数的单调性，结合中间值进行比较.
4．学校按年级采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取135人进行问卷调查，已知该校高一､高二､高三的学生分别有450人､400人､500人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为( )
A．40 B．45 C．50 D．54
【答案】B
【解析】根据高一年级学生人数的占比即可求得高一年级应抽取的人数.
【详解】
由题意知，该校共有高中生人，
则从高一年级的学生中应抽取人.
故选：B
【点睛】
此题考查分层抽样，关键在于根据抽样方法，准确求解各层人数比例关系.
5．函数的大致图象为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性，特殊值及取值范围进行辨析，排除可得.
【详解】
因为，所以为偶函数，排除A；
因为，所以排除B；因为，所以排除D.
故选：C
【点睛】
此题考查函数图象的辨析，利用函数性质和特殊值辨析，常用排除法解题.
6．我国古代数学家对圆周率的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”.在割圆术求的方法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为( ) (附:)
A．3.13 B．3.12 C．3.064 D．3.182
【答案】B
【解析】根据圆的内接正三十二边形，每个顶点连接圆心，形成三十二个小等腰三角形，顶角为，根据面积公式求解即可.
【详解】
设正三十二边形的外接圆半径为，三十二个小等腰三角形顶角为，
，
圆的内接正多边形的面来逼近圆面积
由，得.
故选：B
【点睛】
此题以中国传统文化为背景，涉及有限与无限的思想，其本质是考查求三角形的面积，根据面积公式，结合题目给定数据求解即可.
7．已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.
【详解】
∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，
∴可设双曲线的方程为，一个焦点为，
∴，∴，故的标准方程为.
故选：B
【点睛】
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.
8．在空间四边形中，已知，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接，，即异面直线和所成的角或补角，结合解三角形求出角的大小.
【详解】
取的中点，连接，，
则即异面直线和所成的角或补角，
因为，，，
中，结合余弦定理可得：
所以，
则异面直线与所成角的大小为.
故选：C
【点睛】
此题考查求异面直线所成角的大小，常用平行线处理，结合解三角形知识求解.
9．已知抛物线:上一点到焦点的距离为4，直线过且与交于，两点，，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据点到焦点的距离为4，求出抛物线方程，结合求出点坐标，联立方程求解线段的比例关系.
【详解】
由题可知，得，故抛物线的方程为.
∵，∴点的坐标为，
当点的坐标为时，直线的方程为，与联立可得，解得或，
∴点的坐标为，∴，∴.
同理，当点的坐标为时，.
故选：D
【点睛】
此题考查根据几何关系求解抛物线的方程，根据直线与抛物线的交点坐标处理线段长度关系，将线段长度的比例关系转化为坐标的比例求解.
10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据程序框图关系得出框图的作用，根据输出的值，求输入值的取值范围.
【详解】
由图知，当时，.故.
故选：B
【点睛】
此题考查程序框图，关键在于根据框图准确辨析其作用.
11．在中，，斜边，点，在其内切圆上运动，且是一条直径，点在的三条边上运动，则的最大值是( )
A．36 B．24 C．16 D．12
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，运算得出：，即可求得最大值.
【详解】
由题可知的内切圆的半径.
设内切圆的圆心为，由，得，
即.①
由，得，
即，②
①-②得，即.
当在点时，，
所以的最大值为.
【点睛】
此题考查平面向量的基本运算，根据向量关系求数量积的最值，此题若能记住极化恒等式，可以大大减少计算量.
12．函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论的根的情况，结合根的分布求解.
【详解】
，令，得或，
当时，，函数在上单调递增，且;
当时，，函数在上单调递减;
当时，，函数在上单调递增.
所以极大值，极小值，作出大致图象：
令，则方程有两个不同的实数根，
且一个根在内，另一个根在内，
或者两个根都在内.
因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.
令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为.
故选：D
【点睛】
此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.
二、填空题
13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______.
【答案】2
【解析】根据余弦定理，列方程求解即可.
【详解】
由余弦定理，可得，(舍).
故答案为：2
【点睛】
此题考查根据余弦定理求三角形的边，关键在于熟练掌握公式，准确求解方程.
14．从三双不同的袜子中随机抽取2只，则这2只恰好是同一双的概率为______.
【答案】
【解析】三双不同的袜子中随机抽取2只，共15种可能情况，恰好是同一双3种情况即可求解概率.
【详解】
将三双不同的袜子标记为，，，则从这三双的袜子中随机抽取3只的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
其中2只恰好是同一双的情况有，，，共3种，
即概率为.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据古典概型求解概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
15．把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若函数在上的值域是，则______.
【答案】
【解析】根据平移关系求出，结合函数图象求解.
【详解】
由题知，
作出函数大致图象
函数在上先增后减，且，
若函数在上的值域是，
必，结合图象：
则，.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据三角函数平移得到新函数，根据值域求定义域端点，数形结合利于解题.
16．在三棱锥中，，，为的中点，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】结合立体图形，找出球心的位置建立等量关系求解方程组，即可得解.
【详解】
在中，，，
所以的外接圆的半径，
结合图形分析：
圆心到点的距离为4.另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，
则中，，
直角梯形中，，
解得，，所以.
故答案为：
【点睛】
此题考查与锥体有关的解决锥体外接球的问题，关键在于熟练掌握球的几何特征，建立等量关系求解半径.
三、解答题
17．已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），当时，，两式相减得，即可求得通项公式；
（2）求出，利用裂项求和的方式求数列的前项和.
【详解】
（1）由，得.
当时，，两式相减得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则；
（2）因为，
所以，
所以.
【点睛】
此题考查求数列的通项公式和数列求和，涉及裂项相消求和方法，属于基础题目.
18．某地区实施“光盘行动”以后，某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划，进店的每一位客人需预交50元，啤酒根据需要自己用量杯量取.结账时，剩余酒量不足1升的，按0升计算(如剩余1.7升，记为剩余1升).
统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系，下面是随机采集的5组数据(其中表示饮酒人数，(升)表示饮酒量):，，，，.
(1)求由这5组数据得到的关于的回归直线方程；
(2)小王约了5位朋友一同来饮酒，小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒，这时，酒吧服务生对小王说，根据他的经验，小王和朋友量取的啤酒可能喝不完，可以考虑再邀请一个或两个朋友一起来饮酒，会更划算.试问小王是否该接受服务生的建议.
参考数据:回归直线的方程是，其中
，.
【答案】（1）；（2）应该接受建议，且再邀请1位朋友更划算.
【解析】（1）根据公式计算回归直线相关量得回归直线方程；
（2）分别计算不邀请和邀请一位或两位朋友需要支付的费用即可得解.
【详解】
（1），，
，
，
所求回归直线方程为.
（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒升，
若不再邀请人，则剩余酒量升，酒吧记为剩余2升，
预计需要支付元；
若再邀请1人，大约需饮酒升，剩余酒量升，
酒吧记为剩余1升，预计支付元；
若再邀请2人，大约需饮酒升，剩余酒量升，
酒吧记为剩余0升，预计支付元.
所以应该接受建议，且再邀请1位朋友更划算.
【点睛】
此题考查计算线性回归直线方程和根据结果进行预测，关键在于熟练掌握计算法则，根据题意进行计算并作出决策.
19．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，点在上，平面，在的延长线上，且.
(1)证明:平面.
(2)过点作的平行线，与直线相交于点，点为的中点，求到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）取的中点为，连接，过作交于，连接，通过证明四边形是平行四边形，得，证得线面平行；
（2）考虑三棱锥的体积，利用等体积法求出到平面的距离为，到平面的距离是到平面的距离的一半，即可得解.
【详解】
（1）证明:记的中点为，连接，过作交于，连接，
则，且.
因为平面，所以.
在中，，，易求，.
又，则.
因为，所以.
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，所以，而是正方形，所以.
因为与显然是相交直线，所以平面，
所以平面平面.
记的中点为，连接，，则平面，且.
因为点为的中点，所以，，，
在中，，，，所以.
，所以，
而三棱锥的体积.
记到平面的距离为，
则，所以.
因为到平面的距离是到平面的距离的一半，
所以到平面的距离为.
【点睛】
此题考查线面平行的证明和求点到直线的距离，寻找线线平行证明线面平行，也可通过寻找面面平行得线面平行，求点到平面的距离常用等体积法.
20．已知，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明:.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）求出导函数，得出切线斜率，即可得到切线方程；
（2）将方程的根的问题转化为构造函数，分类讨论单调性即可得证.
【详解】
（1）解:∵，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为.
（2）证明:由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根，记这两个正实数根为，
由，知，
令，则，
当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减.
所以.
因为有两个零点，即，
所以，解得.
【点睛】
此题考查导数的几何意义和利用导函数讨论函数单调性解决参数取值范围问题，可以正面分类讨论，也可考虑分离参数求解.
21．已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.
（1）求的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，由已知，求得的坐标为，代入椭圆方程，得；再由，求得，结合，求出值，即可求得结论；
（2）先讨论直线斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出；
再将直线方程与椭圆联立，求出，由求出的值，进而求出，再求出点到直线的距离，即可求解.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为，∵，
∴的坐标为.∵在上，
将代人，得.
又∵，∴，
∴.又∵，
∴，，的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意；
当直线的斜率为0时，，，也不符合题意.
∴可设直线的方程为,
联立得，
则，.
.
由得或
∴.
又∵，∴，∴，
∴.∵到直线的距离，
∴.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与，分别交于，两点(异于极点)，定点，求的面积.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）根据极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的转化关系即可求解；
（2）求出到射线的距离，结合极坐标方程求出即可求解面积.
【详解】
（1）将曲线:(为参数)，消去得，
经过伸缩变换后得曲线:，
化为极坐标方程为.
直线的极坐标方程为，即，
所以的直角坐标方程为.
（2）到射线的距离.
因为，，
所以，
.
【点睛】
此题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化，利用极坐标方程求距离再求三角形面积公式，考查通式通法.
23．已知函数.
（1）解不等式；
（2）若的最小值为，，求的最大值.
【答案】（1）；（2）5.
【解析】（1）分类讨论去绝对值，求解不等式；
（2）结合（1）所得分段函数求出最小值，利用基本不等式即可证明.
【详解】
（1），
当时，由，得，所以;
当时，由，得，所以;
当时，由，得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）由（1）知的最小值，
所以，
所以的最大值为5，当且仅当时取等号.
【点睛】
此题考查解绝对值不等式和证明不等式，涉及分类讨论，绝对值函数最值问题，利用基本不等式进行证明.
