2020届河南省新乡市高三第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届河南省新乡市高三第二次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】算出集合B，求出，直接进行交集运算即可.

【详解】

因为，，所以.

故选：B

【点睛】

本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.

2．已知复数，为的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

【详解】

.

故选：C

【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.

3．已知向量，，且与的夹角为，则x=（    ）

A．-2 B．2 C．1 D．-1

【答案】B

【解析】由题意，代入解方程即可得解.

【详解】

由题意，

所以，且，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.

4．若，满足约束条件，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据约束条件作出可行域，找到使直线的截距取最值得点，相应坐标代入即可求得取值范围.

【详解】

画出可行域，如图所示：

由图可知，当直线经过点时，取得最小值－5；经过点时，取得最大值5，故.

故选：B

【点睛】

本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.

5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.

【详解】

由题可知，程序框图的运行结果为31，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

此时输出.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.

6．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.

【详解】

是奇函数，排除C，D；，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的判断，属于常考题.

7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（    ）

附：若，则，.

A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544

【答案】C

【解析】根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.

【详解】

由题意，，，则，，

所以，.

故果实直径在内的概率为0.8185.

故选：C

【点睛】

本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.

8．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.

【详解】

联立方程，解方程可得或，

不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，

因为，，

由平面向量垂直的坐标表示可得，，

因为，所以a2-c2=ac，

两边同时除以可得，，

解得e=或（舍去），

所以该椭圆的离心率为.

故选：A

【点睛】

本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

9．将函数f(x)=sin 3x-cos 3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：

①它的图象关于直线x=对称；

②它的最小正周期为；

③它的图象关于点(，1)对称；

④它在[]上单调递增.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

【答案】B

【解析】根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.

【详解】

因为f(x)=sin 3x-cos 3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知，

函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故②正确；

令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是对称轴，故①错误；

令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故③正确；

令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④错误；

故选：B

【点睛】

本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型

10．如图，在正四棱柱中，，分别为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则(    )

A．直线与直线异面，且 B．直线与直线共面，且

C．直线与直线异面，且 D．直线与直线共面，且

【答案】B

【解析】连接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.

【详解】

如图所示：

连接，，，，由正方体的特征得，

所以直线与直线共面.

由正四棱柱的特征得，

所以异面直线与所成角为.

设，则，则，，，

由余弦定理，得.

故选：B

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.

11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（    ）（注：）

A．1624 B．1024 C．1198 D．1560

【答案】B

【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列的通项公式和前项和，利用累加法求得数列的通项公式，进而求得.

【详解】

依题意

：1，4，8，14，23，36，54，……

两两作差得

：3，4，6，9，13，18，……

两两作差得

：1，2，3，4，5，……

设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.

易，，进而得，所以，则，所以，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

12．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.

【详解】

由题可得：（），

因为函数有两个不同的极值点，，

所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，

所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，

故，

所以，

所以的取值范围是.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.

二、填空题

13．已知数列是等比数列，，则__________.

【答案】

【解析】根据等比数列通项公式，首先求得，然后求得.

【详解】

设的公比为，由，得，故.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

14．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.

【答案】

【解析】设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.

【详解】

由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，

由抛物线定义知，，解得，

不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，

又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，

所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，

点F到双曲线的渐近线的距离.

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.

【答案】32π

【解析】设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED. AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.

【详解】

设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.

当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.

则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号.

解得a＝2.

此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.

故答案为：32π

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.

三、双空题

16．若，则__________；__________.

【答案】80    211   

【解析】根据，利用通项公式求解.再利用赋值法，令，得，令，得即可.

【详解】

因为，则.

令，得；

令，得，

故.

故答案为：(1). 80    (2). 211

【点睛】

本题主要二项展开式的通项公式和系数和问题，还考查了赋值法运算求解的能力，属于基础题.

四、解答题

17．的内角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，点为边的中点，且，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.

(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.

【详解】

（1）由,

可得,

由余弦定理可得,

故.

（2）因为为的中线,所以,

两边同时平方可得,

故.

因为,所以.

所以的面积.

【点睛】

本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.

18．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：

（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.

【答案】（1）   （2）9060元

【解析】(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，，，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.

【详解】

解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则

.

（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，

，

，

，

所以（元），

故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.

【点睛】

本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.

19．如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.

（1）证明：平面.

（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.

（2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：因为平面平面是正方形，

所以平面.

因为平面，所以.

因为点在以为直径的半圆弧上，所以.

又，所以平面.

（2）解：显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.

不妨设，记中点为，

以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

则令，得.

设平面的法向量为，

则令，得，

所以.

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

【点睛】

本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.

（1）求的值及圆的方程；

（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

【答案】（1）2，；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意得的方程为，根据为抛物线过焦点的弦，以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性，可得，圆心为，半径为2.

（2）设，的方程为，代入的方程，得，根据直线与抛物线相切，令，得，代入，解得.将代入的方程，得，得到点N的坐标为，然后求解.

【详解】

（1）解：由题意得的方程为，

所以，解得.

又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为，半径为2.

所以圆的方程为.

（2）证明：易知直线的斜率存在且不为0，

设，的方程为，代入的方程，

得.

令，得，

所以，解得.

将代入的方程，得，即点N的坐标为，

所以，

，

故.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

21．已知函数.

（1）若函数，试讨论的单调性；

（2）若，，求的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；

（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.

【详解】

解：（1）因为，

所以，

①当时，，在上单调递减.

②当时，令，则；令，则，

所以在单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）因为，可知，

，

令，得.

设，则.

当时，，在上单调递增，

所以在上的值域是，即.

当时，没有实根，且，

在上单调递减，，符合题意.

当时，，

所以有唯一实根，

当时，，在上单调递增，，不符合题意.

综上，，即的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.

22．在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）消去参数方程中的参数，求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得的直角坐标方程.

（2）求得曲线的标准参数方程，代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得的值.

【详解】

（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得，

由曲线的极坐标方程为，得，

所以的直角坐方程为，即.

（2）因为在曲线上，

故可设曲线的参数方程为（为参数），

代入化简可得.

设，对应的参数分别为，，则，，

所以.

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.

（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.

【详解】

（1），

不等式，即或或，

即有或或，

所以所求不等式的解集为.

（2），，

因为，，

所以要证，只需证，

即证，

因为，所以只要证，

即证，

即证，因为，所以只需证，

因为，所以成立，

所以.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.