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2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题（解析版）
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2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题
一、单选题
1．设集合，，则的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数
详解：，
的子集个数为
故选C.
点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.
2．复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】化简复数为的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.
【详解】
，该复数对应的点为，在第四象限.故选D.
【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
B．年接待游客量逐年增加
C．月接待游客量逐月增加
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】C
【解析】根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到错误.
【详解】
由折线图可知，每年游客量最多的月份为：月份，可知正确；
年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知正确；
以年月和月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知错误；
每年月至月的月接待游客量相对于月至月的变化较小，数量更加稳定，可知正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.
4．定义在R上的函数为偶函數，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数得到，明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.
【详解】
∵为偶函数，
∴，即，且其在上单调递减，
又，
∴
故选：C
【点睛】
本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.
5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积．
【详解】
解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，
则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，
设阴影部分的面积为S阴，
∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，
∴，
解得S阴，
∴估计阴影部分的面积是．
故选：B．
【点睛】
本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．已知向量与夹角为，且，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.
【详解】
∵向量与夹角为，且，，
∴，即
∴，
所以，
故选：C
【点睛】
本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.
7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的，分别为3，1，则输出的等于
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
解：当n＝1时，a＝3，b＝2，满足进行循环的条件，
当n＝2时，a，b＝4，满足进行循环的条件，
当n＝3时，a，b＝8，满足进行循环的条件，
当n＝4时，a，b＝16，不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知函数定义域为，且，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧时， ，故选C．
9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种
A．60 B．90 C．120 D．150
【答案】D
【解析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①、将5项工作分成3组，
若分成1、1、3的三组，有10种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，
则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；
②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种不同的分组方法；
故选：D．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2＝2x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．
【详解】
解：抛物线C：y2＝2x的焦点为F（，0），准线为l：x＝﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|＝dM＝x1+，|NF|＝dN＝x2+，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+1．
∵，则，易知：直线MN的斜率为±，
∵F（，0），
∴直线PF的方程为y＝±（x﹣），
将y＝±（x﹣），代入方程y2＝2x，得3（x﹣）2＝2x，化简得12x2﹣20x+3＝0，
∴x1+x2，于是|MN|＝x1+x2+11
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．已知三棱锥内接于球O，平面ABC，为等边三角形，且边长，球的表面积为，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设D为AB中点，先证明CD⊥平面PAB得出∠CPD为所求角，利用勾股定理计算PA，PD，CD，得出结论．
【详解】
解：设D，E分别是AB，BC的中点，AE∩CD＝F，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，
∵△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，
又PA∩AB＝A，
∴CD⊥平面PAB，即∠CPD为PC与平面PAB所成的角．
∵△ABC是边长为的等边三角形，
∴CD＝AE＝，AFAE＝1，且F为△平面ABC所在截面圆的圆心，
∵球O的表面积为16π，∴球O的半径OA，
∴OF，
∵PA⊥平面ABC，∴PA＝2OF＝2，
∴PD，PC
∴sin∠CPD．
故选：D．
【点睛】
本题考查了棱锥与外接球的位置关系，考查了线面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．
12．,，若有9个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令g（x）＝t，由题意画出函数y＝f（t）的图象，利用y＝f（t）与y＝m的图象最多有3个零点，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有9个零点，则中每一个t的值对应3个x的值.
【详解】
函数的图象如图所示，
令g（x）＝t，y＝f（t）与y＝m的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，
由图可知，2t1+1＝﹣m，则，
，
由于函数y＝f（g（x））﹣m有9个零点，，
，当 即 g（x）单调减；，g（x）单调递增，故每一个t的值对应3个x的值，则，
∴ ，
数形结合解，即，
由图易得，
解得：
∴实数m的取值范围是（0，）．
故选：A．
【点睛】
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属有一定难度题目．
二、填空题
13．曲线在点（0,1）处的切线方程为________.
【答案】
【解析】求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．
【详解】
解：求导函数可得，y′＝（1+x）ex
当x＝0时，y′＝1
∴曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4.
【解析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因，所以，即，
所以．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
15．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若（为坐标原点），则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【解析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可
【详解】
解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
则点A到渐近线bx-ay＝0的距离为AB，
∵r＝b，
∴BN，
∵，
∴OB＝5BN，
∵OA＝a，
∴a2，
∴a2c2＝25b4+a2b2，
∴a2（c2﹣b2）＝25b4，
∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，
即6a2＝5c2，
即ac，
∴e
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用：离心率的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
16．已知数列满足：对任意均有（p为常数，且），若，则的所有可能取值的集合是___________.
【答案】
【解析】依题意，可得an+1+2＝p（an+2），再对a1＝﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是a1≠﹣2时对公比p分|p|＞1与|p|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．
【详解】
解：∵an+1＝pan+2p﹣2，
∴an+1+2＝p（an+2），
∴①若a1＝﹣2，则a1+1+2＝p（a1+2）＝0，a2＝﹣2，同理可得，a3＝a4＝a5＝﹣2，即a1＝﹣2符合题意；
②若a1≠﹣2，p为不等于0与1的常数，则数列{an+2}是以p为公比的等比数列，
∵ai∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，i＝2，3，4，5，
an+2可以取﹣16，﹣4，8，32，
∴若公比|p|＞1，则p＝﹣2，由a2+2＝﹣4＝﹣2（a1+2）得：a1；
若公比|p|＜1，则p，由a2+2＝32（a1+2）得：a1＝﹣66．
综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，，﹣66．
故答案为：．
【点睛】
本题考查数列递推式的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，对an+1+2＝p（an+2）的理解与应用是难点，对公比p分|p|＞1与|p|＜1讨论是关键，考查逻辑思维与推理运算能力，属于难题．
三、解答题
17．已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设.
（1）求角B；
（2）若b=12，c=8，求sinA的值
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得角B；
（2）由正弦定理,得到 ，，进而由两角和正弦公式得到结果.
【详解】
(1)
∴
即：
∴
因为所以.
(2)若，由正弦定理，, ,
由，故为锐角，
【点睛】
本题考查余弦定理与正弦定理，考查两角和正弦公式，考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力，属于中档题．
18．已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在边BC上，且.
（1）证明：BO平面AMC；
（2）求二面角N-AM-C的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）先证明，即可证明BO平面AMC；
（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】
（1）如图所示：连接，
在中：，则，.
在中：，为的中点，则，且
在中：，满足：
根据勾股定理逆定理得到 相交于，
故平面.
（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为,，
则，
由所以，,
设平面的法向量为，则
令，得，
因为平面，所以为平面的法向量，
所以与所成角的余弦为．
所以二面角的正弦值为
【点睛】
本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）利用点在曲线上，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程；
（2）要证明，等价于证明，设过点直线为，联立方程，利用韦达定理证明即可.
【详解】
（1）由题意知，，
又因为解得，，
所以椭圆方程为，
（2）当过点的直线斜率为零时，显然满足题意；
当斜率不为零时，设过点直线为，
设，
由得，且.
则
又因为，， ，
所以.
因为线段的中点为，所以.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．
20．水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验.
化验次数的期望值越小，则方案越"优".
（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（2）①若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p的取值范围.
【答案】（1）；（2）①方案四最优；②
【解析】（1）计算2个A级混合样本达标的概率，再根据对立事件原理求得它们不达标的概率；
（2）①计算方案一：逐个检测，检测次数为ξ＝4；方案二：检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，求概率分布列，计算数学期望；方案四：混在一起检测，检测次数为ξ4，则ξ4可取值为1，5，求概率分布列，计算数学期望；比较得出选择方案几最“优”；
②方案三：化验次数为η3，则η3可取值为2，5，求概率分布列，计算数学期望；
方案四：化验次数为η4，则η4可取值为1，5，求概率分布，计算数学期望；
由题意列不等式E（η3）＜E（η4），求出p的取值范围．
【详解】
(1)该混合样本达标的概率是，所以根据对立事件原理，不达标的概率为.
(2)①方案一：逐个检测，检测次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.
其分布列如下，
可求得方案二的期望为
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.
其分布列如下，
可求得方案四的期望为.
比较可得，故选择方案四最“优”.
②方案三：设化验次数为，可取2,5.
；
方案四：设化验次数为，可取
；
由题意得.
故当时，方案三比方案四更“优”.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布列与数学期望的应用问题，考查对立事件与独立事件的概率，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
21．已知函数.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）求出导函数，研究单调性，从而得到的最大值；
（2）原问题等价于构造新函数求最小值即可.
【详解】
(1)，定义域，
，
由，在增，在减，
(2)
令，
令，在单调递增，，
在存在零点，即
，
由于在单调递增，故即
在减，在增，
所以.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线交E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，
【解析】（1）将点P（1，），代入曲线E的方程，求出a2＝3，可得曲线E的普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；
（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论．
【详解】
(1)将点代入曲线E的方程，
得解得，
所以曲线的普通方程为,
极坐标方程为.
(2)不妨设点的极坐标分别为
则
即，
,即
【点睛】
本题考查曲线方程，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
23．已知函数.
（1）当m=0,求不等式的解集；
（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）通过平方求出不等式的解集即可；
（2）求出g（x）的分段函数的形式，根据题意，得到m的范围．
【详解】
(I)由，得，
不等式两边同时平方，得，
即，解得.
所以不等式的解集为.
(Ⅱ)设g(x)＝|x－1|－|2x＋1|
，
因为，
又恰好存在4个不同的整数n，使得，
所以
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式解法，不等式有解问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
一、单选题
1．设集合，，则的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数
详解：，
的子集个数为
故选C.
点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.
2．复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】化简复数为的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.
【详解】
，该复数对应的点为，在第四象限.故选D.
【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
B．年接待游客量逐年增加
C．月接待游客量逐月增加
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】C
【解析】根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到错误.
【详解】
由折线图可知，每年游客量最多的月份为：月份，可知正确；
年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知正确；
以年月和月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知错误；
每年月至月的月接待游客量相对于月至月的变化较小，数量更加稳定，可知正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.
4．定义在R上的函数为偶函數，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数得到，明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.
【详解】
∵为偶函数，
∴，即，且其在上单调递减，
又，
∴
故选：C
【点睛】
本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.
5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积．
【详解】
解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，
则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，
设阴影部分的面积为S阴，
∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，
∴，
解得S阴，
∴估计阴影部分的面积是．
故选：B．
【点睛】
本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．已知向量与夹角为，且，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.
【详解】
∵向量与夹角为，且，，
∴，即
∴，
所以，
故选：C
【点睛】
本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.
7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的，分别为3，1，则输出的等于
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
解：当n＝1时，a＝3，b＝2，满足进行循环的条件，
当n＝2时，a，b＝4，满足进行循环的条件，
当n＝3时，a，b＝8，满足进行循环的条件，
当n＝4时，a，b＝16，不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知函数定义域为，且，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧时， ，故选C．
9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种
A．60 B．90 C．120 D．150
【答案】D
【解析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①、将5项工作分成3组，
若分成1、1、3的三组，有10种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，
则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；
②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种不同的分组方法；
故选：D．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2＝2x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．
【详解】
解：抛物线C：y2＝2x的焦点为F（，0），准线为l：x＝﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|＝dM＝x1+，|NF|＝dN＝x2+，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+1．
∵，则，易知：直线MN的斜率为±，
∵F（，0），
∴直线PF的方程为y＝±（x﹣），
将y＝±（x﹣），代入方程y2＝2x，得3（x﹣）2＝2x，化简得12x2﹣20x+3＝0，
∴x1+x2，于是|MN|＝x1+x2+11
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．已知三棱锥内接于球O，平面ABC，为等边三角形，且边长，球的表面积为，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设D为AB中点，先证明CD⊥平面PAB得出∠CPD为所求角，利用勾股定理计算PA，PD，CD，得出结论．
【详解】
解：设D，E分别是AB，BC的中点，AE∩CD＝F，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，
∵△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，
又PA∩AB＝A，
∴CD⊥平面PAB，即∠CPD为PC与平面PAB所成的角．
∵△ABC是边长为的等边三角形，
∴CD＝AE＝，AFAE＝1，且F为△平面ABC所在截面圆的圆心，
∵球O的表面积为16π，∴球O的半径OA，
∴OF，
∵PA⊥平面ABC，∴PA＝2OF＝2，
∴PD，PC
∴sin∠CPD．
故选：D．
【点睛】
本题考查了棱锥与外接球的位置关系，考查了线面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．
12．,，若有9个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令g（x）＝t，由题意画出函数y＝f（t）的图象，利用y＝f（t）与y＝m的图象最多有3个零点，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有9个零点，则中每一个t的值对应3个x的值.
【详解】
函数的图象如图所示，
令g（x）＝t，y＝f（t）与y＝m的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，
由图可知，2t1+1＝﹣m，则，
，
由于函数y＝f（g（x））﹣m有9个零点，，
，当 即 g（x）单调减；，g（x）单调递增，故每一个t的值对应3个x的值，则，
∴ ，
数形结合解，即，
由图易得，
解得：
∴实数m的取值范围是（0，）．
故选：A．
【点睛】
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属有一定难度题目．
二、填空题
13．曲线在点（0,1）处的切线方程为________.
【答案】
【解析】求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．
【详解】
解：求导函数可得，y′＝（1+x）ex
当x＝0时，y′＝1
∴曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4.
【解析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因，所以，即，
所以．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
15．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若（为坐标原点），则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【解析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可
【详解】
解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
则点A到渐近线bx-ay＝0的距离为AB，
∵r＝b，
∴BN，
∵，
∴OB＝5BN，
∵OA＝a，
∴a2，
∴a2c2＝25b4+a2b2，
∴a2（c2﹣b2）＝25b4，
∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，
即6a2＝5c2，
即ac，
∴e
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用：离心率的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
16．已知数列满足：对任意均有（p为常数，且），若，则的所有可能取值的集合是___________.
【答案】
【解析】依题意，可得an+1+2＝p（an+2），再对a1＝﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是a1≠﹣2时对公比p分|p|＞1与|p|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．
【详解】
解：∵an+1＝pan+2p﹣2，
∴an+1+2＝p（an+2），
∴①若a1＝﹣2，则a1+1+2＝p（a1+2）＝0，a2＝﹣2，同理可得，a3＝a4＝a5＝﹣2，即a1＝﹣2符合题意；
②若a1≠﹣2，p为不等于0与1的常数，则数列{an+2}是以p为公比的等比数列，
∵ai∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，i＝2，3，4，5，
an+2可以取﹣16，﹣4，8，32，
∴若公比|p|＞1，则p＝﹣2，由a2+2＝﹣4＝﹣2（a1+2）得：a1；
若公比|p|＜1，则p，由a2+2＝32（a1+2）得：a1＝﹣66．
综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，，﹣66．
故答案为：．
【点睛】
本题考查数列递推式的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，对an+1+2＝p（an+2）的理解与应用是难点，对公比p分|p|＞1与|p|＜1讨论是关键，考查逻辑思维与推理运算能力，属于难题．
三、解答题
17．已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设.
（1）求角B；
（2）若b=12，c=8，求sinA的值
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得角B；
（2）由正弦定理,得到 ，，进而由两角和正弦公式得到结果.
【详解】
(1)
∴
即：
∴
因为所以.
(2)若，由正弦定理，, ,
由，故为锐角，
【点睛】
本题考查余弦定理与正弦定理，考查两角和正弦公式，考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力，属于中档题．
18．已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在边BC上，且.
（1）证明：BO平面AMC；
（2）求二面角N-AM-C的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）先证明，即可证明BO平面AMC；
（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】
（1）如图所示：连接，
在中：，则，.
在中：，为的中点，则，且
在中：，满足：
根据勾股定理逆定理得到 相交于，
故平面.
（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为,，
则，
由所以，,
设平面的法向量为，则
令，得，
因为平面，所以为平面的法向量，
所以与所成角的余弦为．
所以二面角的正弦值为
【点睛】
本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）利用点在曲线上，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程；
（2）要证明，等价于证明，设过点直线为，联立方程，利用韦达定理证明即可.
【详解】
（1）由题意知，，
又因为解得，，
所以椭圆方程为，
（2）当过点的直线斜率为零时，显然满足题意；
当斜率不为零时，设过点直线为，
设，
由得，且.
则
又因为，， ，
所以.
因为线段的中点为，所以.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．
20．水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验.
化验次数的期望值越小，则方案越"优".
（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（2）①若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p的取值范围.
【答案】（1）；（2）①方案四最优；②
【解析】（1）计算2个A级混合样本达标的概率，再根据对立事件原理求得它们不达标的概率；
（2）①计算方案一：逐个检测，检测次数为ξ＝4；方案二：检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，求概率分布列，计算数学期望；方案四：混在一起检测，检测次数为ξ4，则ξ4可取值为1，5，求概率分布列，计算数学期望；比较得出选择方案几最“优”；
②方案三：化验次数为η3，则η3可取值为2，5，求概率分布列，计算数学期望；
方案四：化验次数为η4，则η4可取值为1，5，求概率分布，计算数学期望；
由题意列不等式E（η3）＜E（η4），求出p的取值范围．
【详解】
(1)该混合样本达标的概率是，所以根据对立事件原理，不达标的概率为.
(2)①方案一：逐个检测，检测次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.
其分布列如下，
可求得方案二的期望为
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.
其分布列如下，
可求得方案四的期望为.
比较可得，故选择方案四最“优”.
②方案三：设化验次数为，可取2,5.
；
方案四：设化验次数为，可取
；
由题意得.
故当时，方案三比方案四更“优”.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布列与数学期望的应用问题，考查对立事件与独立事件的概率，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
21．已知函数.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）求出导函数，研究单调性，从而得到的最大值；
（2）原问题等价于构造新函数求最小值即可.
【详解】
(1)，定义域，
，
由，在增，在减，
(2)
令，
令，在单调递增，，
在存在零点，即
，
由于在单调递增，故即
在减，在增，
所以.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线交E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，
【解析】（1）将点P（1，），代入曲线E的方程，求出a2＝3，可得曲线E的普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；
（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论．
【详解】
(1)将点代入曲线E的方程，
得解得，
所以曲线的普通方程为,
极坐标方程为.
(2)不妨设点的极坐标分别为
则
即，
,即
【点睛】
本题考查曲线方程，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
23．已知函数.
（1）当m=0,求不等式的解集；
（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）通过平方求出不等式的解集即可；
（2）求出g（x）的分段函数的形式，根据题意，得到m的范围．
【详解】
(I)由，得，
不等式两边同时平方，得，
即，解得.
所以不等式的解集为.
(Ⅱ)设g(x)＝|x－1|－|2x＋1|
，
因为，
又恰好存在4个不同的整数n，使得，
所以
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式解法，不等式有解问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
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