2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第二次调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第二次调研考试数学（文）试题

一、单选题

1．集合.，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算出集合、，利用交集的定义可得出集合.

【详解】

，

由于指数函数是增函数，当时，，则，

因此，，故选：B.

【点睛】

本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属于基础题.

2．已知，，若，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将转化为，并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.

【详解】

，，且，，解得，

故选：C.

【点睛】

本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于基础题.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用函数的解析式由内到外计算出的值.

【详解】

，，

因此，，故选：D.

【点睛】

本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.

4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A.1盏 B.3盏

C.5盏 D.9盏

【答案】B

【解析】【详解】

设塔顶的a1盏灯，

由题意{an}是公比为2的等比数列，

∴S7==381，

解得a1=3．

故选：B．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.

【详解】

，故选：C.

【点睛】

本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.

6．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值.

【详解】

为的中点，且为的中点，所以，，

，，.

因此，，故选：A.

【点睛】

本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.

7．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　)

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【解析】【详解】

由的最小正周期是，得，

即

，

因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．

【考点】函数的图象与性质．

【名师点睛】

三角函数图象变换方法：

8．已知函数，则不等式的解集为(　　)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.

【详解】

可知函数为减函数，由，可得，

整理得，解得，所以不等式的解集为．

故选B.

【点睛】

本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.

9．已知正项等比数列中满足，若存在两项、，使得，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设等比数列的公比为，由题中条件求出公比，再利用等比数列的通项公式以及条件可求出的值.

【详解】

设等比数列的公比为，则，，，

，即，，解得，

，即，所以，，化简得，

，因此，，故选：A.

【点睛】

本题考查等比数列相关量的计算，对于等比数列的问题，通常利用首项和公比进行表示，考查计算能力，属于中等题.

10．中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设的内角、、的对边分别为、、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用、、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值.

【详解】

设的内角、、的对边分别为、、，

则，，

所以，两个等式相除得，，，

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.

11．定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,若仍是比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：

①；

②；

③；

④

则其中是“保等比数列函数”的的序号为（    ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，验证是否为非零常数，由此可得出正确选项.

【详解】

设等比数列的公比为，则.

对于①中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；

对于②中的函数，不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；

对于③中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；

对于④中的函数，不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

12．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.

【详解】

，即，化简得.

由正弦定理边角互化思想得，

即，所以，，

，

，，，，，

是锐角三角形，且，所以，

解得，则，所以，，

因此，的取值范围是，故选：D.

【点睛】

本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题

13．设等差数列的前项和为，若，则 ______。

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，根据题中条件列出有关首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出的值.

【详解】

设等差数列的公差为，由，，可得，解得.

因此，，故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列相关量的计算，常利用首项和公差建立方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.

14．已知函数的部分图象如图所示，则_____，_______.

【答案】       

【解析】根据图象得出函数的最小正周期，利用公式求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，可求出的值.

【详解】

由图象可知，函数的最小正周期满足，得，

，，将点代入函数的解析式，

得，，则，

，，，，故答案为：，.

【点睛】

本题考查利用图象求函数的解析式，基本步骤如下：

（1）求、：，；

（2）求：根据图象得出最小正周期，可得出；

（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.

15．己知两个非零单位向量、的夹角为.

①不存在，使；

②；

③；

④在方向上的投影为.

则上述结论正确的序号是________（请将所有正确结论都填在横线上）

【答案】①②③

【解析】根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.

【详解】

对于命题①，，命题①正确；

对于命题②，，同理可得，则，命题②正确；

对于命题③，，

，命题③正确；

对于命题④，在方向上的投影为，命题④错误.

因此，正确命题的序号为①②③，故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.

16．设函数 (为自然对数的底数），直线是曲线的切线，则的最小值为______.

【答案】

【解析】设切点坐标为，利用导数求出曲线的切线方程，可将、用表示，构造函数，利用导数可求出函数的最小值，即为的最小值.

【详解】

设切点坐标为，设曲线在处的切线方程为，

，，

所以，曲线在处的切线方程为，

即，，，则，

构造函数，则，令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.

因此，的最小值为，故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是建立函数关系式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

三、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的单调减区间；

（2）求在上的最小值.

【答案】（1）单调减区间是；（2）.

【解析】（1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，然后解不等式，即可得出函数的单调递减区间；

（2）由计算出，然后利用正弦函数的性质可求出函数在上的最小值.

【详解】

（1），

解不等式，得，

因此，函数的单调递减区间为；

（2），当时，，

因此，当时，该函数取得最小值，且最小值为.

【点睛】

本题考查正弦型函数单调区间以及最值的求解，对于这类问题的求解，通常要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，结合正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.

18．等比数列的公比，且是、的等差中项.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题中条件得出，求出的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.

【详解】

（1）由题意可得，即，解得.

因此，数列的通项公式为；

（2），

，

，

上式下式得，

因此，.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.

19．在中，角、、所对的边分别为、、，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；

（2）利用正弦定理得出，，于是得出，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.

【详解】

（1），，且，

，即，

即，化简得，

，，则，得.

，；

（2）由正弦定理得，则，，

所以，，为锐角，且，，

，，则，

当时，取得最大值.

【点睛】

本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.

20．已知数列中，，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）对等式变形后因式分解，可得出数列是等差数列，求出该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求出；

（2）将数列的通项公式裂项为，然后利用裂项求和法求出数列的前项和.

【详解】

（1）当时，由，即，

化简得，对任意的，，，

，即，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，；

（2），

.

【点睛】

本题考查等差数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，要熟悉几种常见的求和法对数列通项的要求，考查计算能力，属于中等题.

21．已知函数（为自然对数的底数）.

（1）若在上单调递増，求实数的取值范围；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出函数的导数，解不等式得出，由题意得出，列出不等式组求出实数的取值范围；

（2）由可得对任意的恒成立，然后构造函数，将问题转化为，然后对实数的取值进行分类讨论，确定函数在区间上的最小值，解出不等式可得出实数的取值范围.

【详解】

（1），

.

解不等式，得.

由于函数在区间上单调递增，则，

所以，解得，因此，实数的取值范围是；

（2）不等式对任意的恒成立，可得对任意的恒成立，构造函数，其中，则.

，构造函数，则，

当时，，则函数在区间上单调递增，

则.

①当时，即当时，对任意的，，

此时，函数在区间上单调递增，，

解得，此时，；

②当时，即当时，则存在，使得，

此时，.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，

即，

即，得，又，所以，，解得，

此时.

构造函数，其中，，此时，函数单调递减，

所以，，即.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，解题时要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，同时注意将函数不等式恒成立问题转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.

22．在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数）.

（1）判断直线与曲线的位置关系：   

（2）点是曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值.

【答案】（1）相离；（2）.

【解析】（1）根据曲线的参数方程得知曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，并将直线的方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离，将与圆的半径进行大小比较，可得出直线与曲线的位置关系；

（2）由（1）可知，到直线的距离的最大值为和圆的半径之和，从而得出结果.

【详解】

（1）将直线的参数方程化为普通方程得，

由题意知，曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，

则圆心到直线的距离为，因此，直线与曲线相离；

（2）由于直线与圆相离，则圆上任意一点到直线距离的最大值为.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的判断，同时也考查了圆上一点到直线距离的最值，在解决直线与圆的综合问题时，通常计算出圆心到直线的距离，利用几何法求解，考查运算求解能力，属于中等题.

23．已知.

（1）求不等式的解集；

（2）若，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出，

，再解不等式得解.

【详解】

解：（1）不等式可化为

当时，，，所以无解；

当时，，所以；

当时，，，所以.

综上，不等式的解集是.

（2），

若，恒成立，则，

解得：.

【点睛】

本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.