2020届湖北省高三年级4月线上调研考试数学（理）试题
展开2020年湖北省高三（4月）线上调研考试
理科数学试卷
2020. 4
本试卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。请家长做好监考工作。
2．请确保网络环境、考试环境良好，备好答题所用的白纸和笔。
3．登录好分数APP，点击“作业测试”，进入对应考试科目。“试卷”将根据考试时间准时显示。开考后：考生首先在白纸上手写答题。答题结束后点击“填写答题卡”，进入到“在线答题卡”。将事先准备好的答案，填写至在线答题卡上（选择题、多选题及判断题，直接在“在线答题卡”上勾选答案；主观题按照要求将手写的答案竖向拍照，并分别上传），然后点击“提交答题卡” 完成提交。答题卡上传提交后考试时间范围内还能继续提交覆盖，为了避免大家都在考试最后快结束的时间上传造成拥堵，建议提前上传。
备注：主观题要确保答案及照片清晰，干净、完整；为留取拍照时间，考试将延长10分钟。
4．此次全省联考是检测复课前线上备考成效的一次重要考试，有利于调整和优化复课后备考策略，请考生和家长高度重视。考试结束后，考试组织方将为所有考生免费提供《考试成绩和学情分析报告》。请考生或家长及时扫描右方二维码，关注“育路通”微信公众号。依次点击“高考测评一查看报告”，即可免费查询。
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知实数集R，集合，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若，则=（ ）
A． B． C． D．
3．若，则=（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
4．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．
已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（ ）
A．91.6寸 B．82.0寸 C．81.4寸 D．72.4寸
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数的图象大致为（ ）
6．已知，则（ ）
A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x
7．设等比数列的公比为q，前n项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．如图，在平行四边形中，为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，2） B．（-2，2] C．（-∞，3） D．（-∞，3]
10．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以为直径的圆过点B，且A为的中点，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（ ）
A．m B．1m C．m D．m
12．已知函数，且都有，满足的实数有且只有3个．则下述四个结论：
①满足题目条件的实数有且只有一个； ②满足题目条件的实数有且只有一个；
③f（x）在上单调递增； ④的取值范围是
其中正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②③
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是 ．
14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n= ．
15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则 = ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．
（1）求角B的值；
（2）若，求的取值范围，
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD=SD，点M是SA的中点，AD//BC，∠ABC=90°，AB=AD=BC．
（1）求证：BD⊥平面SCD；
（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
线段AB为圆的一条直径，其端点A，B在抛物线上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．
（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；
（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求△PQN面积的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若函数在（0，+∞）上有两个零点，且，求证：
21．（本小题满分12分）
2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019-nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒。某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：
（a）逐份检验，则需要检验n次；
（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．
（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2 ．
（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1 =Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；
（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459
（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于P、Q，且，点M的直角坐标为，求的面积.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知实数a，b满足.
（1）求的取值范围；
（2）若ab＞0，求证：.
