2020届广东省广州市高三下学期调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届广东省广州市高三下学期调研考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】转化条件得，由虚部的概念即可得解.

【详解】

由题意，

所以复数的虚部为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数虚部的概念，属于基础题.

2．设集合，则 （  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合A，然后通过对数的性质计算出集合B，最后计算出，即可得出结果。

【详解】

集合A：，，，

故集合，

集合B：，，

故集合，

，故选C。

【点睛】

本题考查的是集合的相关性质，主要考查集合的运算、一元二次不等式的解法以及对数的相关性质，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是简单题。

3．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设黑色等腰直角三角形的腰长为，由题意分别表示出黑色部分和白色部分的面积，由几何概型概率的求解方法即可得解.

【详解】

设黑色等腰直角三角形的腰长为，则一个白色等腰直角三角形的腰长为，

则黑色部分的面积为，白色部分的面积为，

故所求概率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求解，属于基础题.

4．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“，”的否定为“，”.

故选：D.

【点睛】

本题考查了全称命题的否定，属于基础题.

5．设，是单位向量，且，的夹角为60°，则的模为（    ）

A． B．13 C．4 D．16

【答案】A

【解析】利用模的运算，结合数量积的运算，求得的模.

【详解】

的模为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数的模和数量积运算，属于基础题.

6．已知实数满足，则的最小值为（    ）

A．-7 B．6 C．1 D．6

【答案】A

【解析】首先根据题中条件绘制可行域与目标函数，根据目标函数的形式即可找到可行域内使目标函数取最小值的点，然后把点代入目标函数即可.

【详解】

根据题中条件绘制可行域与目标函数图形如下图所示，

由题知，

求目标函数的最小值就是求直线截距最大时的取值，

根据图形可知当目标函数移动到点时截距取最大值，

由点，

代入目标函数有，

故的最小值为.

故选：A.

【点睛】

本题考查了绘制可行域，求目标函数的最值，属于基础题.

7．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由幂函数特点可求出 值，带入点可求 值，进而求得 解析式，利用的单调性即可比较大小．

【详解】

∵点在幂函数的图象上，∴,解得,

∴,且在上单调递增,又,∴,故选A．

【点睛】

本题考查幂函数性质和利用单调性比较大小．

8．已知F为双曲线的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】A

【解析】根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系，然后即可求出离心率的值.

【详解】

由题知，又因为焦点到双曲线渐近线的距离为，

所以，

整理得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题.

9．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由时，可排除选项A、B，利用函数奇偶性可排除C，即可得解.

【详解】

当时，，，，所以，故可排除选项A、B；

由可得函数为偶函数，可排除C.

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数图象的识别，关键是对比函数的性质和图象的特征，属于基础题.

10．已知函数将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数的图象关于轴对称，则下列说法错误的是（    ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．的图象关于对称 D．的图象关于对称

【答案】B

【解析】设平移后的函数为，令可得，利用三角函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】

设平移后的函数为，

由题意，则，

又 ，，，

当时，，故A正确；

当时，，故在上不单调，故B错误；

当时，，故C正确；

当时，，故D正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角函数图象的平移和三角函数图象的综合应用，属于中档题.

11．已知三棱锥中，面面则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取的中点，连接，，由题意得球心一定在直线上，设球心为O，半径为R，连接，在中由勾股定理可得，解方程求得球的半径后即可得解.

【详解】

如图，，，，

，，

，为等腰三角形.

取的中点，连接，，，,

,

又 面面，面面，面，

面，

又 为直角三角形，外接圆圆心为D，

球心一定在直线上，设球心为O，半径为R，连接，

则，即解得，

则此三棱锥的外接球的表面积为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和三棱锥外接球的表面积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.

12．已知各项均为正数的数列的前项和为满足，，若表示不超过的最大正数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】转化条件得，进而可得，，利用裂项相消法可得，根据新定义即可得解.

【详解】

，，

为正项数列，，，，

，，

，

由表示不超过的最大正数可知.

故选：B.

【点睛】

本题考查了新定义在数列问题中的应用，考查了与关系的应用和裂项相消法求数列前n项和的应用，属于中档题.

二、填空题

13．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则______．

【答案】

【解析】由题意抛物线焦点为，椭圆焦点为，即可得解.

【详解】

由题意抛物线的焦点为，

椭圆的焦点为即，

所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了抛物线和椭圆的焦点问题，属于基础题.

14．设数列为等比数列，若成等差数列，则等比数列的公比为_______．

【答案】

【解析】由题意结合等差中项的性质、等比数列的通项公式可得，化简后即可得解.

【详解】

设公比为q，由题意可得，

，化简得，解得    .

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于基础题.

15．奇函数（其中为底数）在处的切线方程为________．

【答案】

【解析】由奇函数的性质可得，求出，，利用点斜式即可求解.

【详解】

函数为奇函数，

即，解得，

，，

，，切线方程为即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性的应用，考查了导数几何意义的应用，属于中档题.

16．已知正方体的棱长为为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为_________．

【答案】

【解析】根据线面垂直的条件先确定平面，再根据截面形状求周长即可得解.

【详解】

在正方体中，，，

面，，

取的中点，的中点，连接，，，

易知，

由面可得，面，，

面，取的中点，由可知点在面上，

平面截正方体所得截面为，

由正方体棱长为2易得截面周长为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.

三、解答题

17．在中，角的对边分别是，已知.

（1）求角的值；

（2）若的面积为，周长为，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由正弦定理得，进而可得，即可得解；

（2）由面积可得，由余弦定理得，再结合周长即可得解.

【详解】

（1）因为，

由正弦定理得.

因为，所以，

所以，即，

因为，所以.

（2）因为的面积为，所以，得，

由余弦定理得，

因为的周长为，即

所以

所以.

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

18．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.

（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；

（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成使用微信交流的概率.

参考数据：

，其中.

【答案】(1)见解析 (2)    

【解析】试题分析：

(1)结合所给的数据绘制列联表，据此计算可得K2＝≈9.98＞6.635.则有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．

(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，据此列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝．

试题解析：

(1)2×2列联表如下：

K2＝≈9.98＞6.635.

所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．       

(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，

则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝．   

19．如图，已知四边形是边长为的菱形，平面平面，且

（1）求证：平面平面

（2）若四边形为直角梯形，且，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）由菱形性质可得，再由面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定即可得证；

（2）设与相交于点，连接，先证明面，求出后利用即可得解.

【详解】

（1）证明:因为四边形是菱形，所以，

又因为平面，平面平面 .

平面平面

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）设与相交于点，连接.

因为且，

四边形是平行四边形.

所以且.

因为，面面，面面，

面，所以面，

因为，所以面.

因为面，

所以，.

在中，，

在中，

在中，，.

所以边上的高为

所以

设点到面的距离为，

因为，

即，

所以，

所以.

【点睛】

本题考查了面面垂直的性质和判定，考查了点到平面距离的求解和等体积法的应用，属于中档题.

20．已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F到左顶点的距离，即可求出椭圆基本量，即得椭圆方程；

（2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可.

【详解】

（1）由题知，，，

解得，所以椭圆；

（2）因为过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），

设，联立，

设，，有，

因为，所以四边形AOBE是平行四边形，

所以，

有，

令，有，

当时单调递减，所以当时面积取最大值，

最大值为.

【点睛】

本题主要考查了椭圆方程基本量的求解，椭圆中三角形的面积计算，属于一般题.

21．已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）讨论的零点个数.

【答案】（1）在单调递减，在单调递增.（2）当时，有个零点；当时，有个零点.

【解析】（1）求导后求解、的解集后即可得解；

（2）当时，由（1）求得的单调性即可得解；当时，求出函数导数后，设导函数的零点为，求得的最小值，再由、即可得解.

【详解】

（1）若时，，的定义域为，

，

当时，；当时， ；

所以在单调递减，在单调递增.

（2）当时，，

，且在单调递减，在单调递增，

有个零点；

当时，，

令，

因为，在上单调递增.

又，，

所以存在实数，使得.

在上，，是减函数，

在上，，是增函数，

所以的最小值是，

其中满足，

即，

所以

，

因为，，

又因为，

所以有个零点.

综上所述，当时，有个零点；

当时，有个零点.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的单调区间和函数零点的个数，考查了分类讨论思想，属于中档题.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）求曲线C和直线的直角坐标系方程；

（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.

【答案】（1）曲线，直线；（2）.

【解析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数即可求出曲线方程，根据直线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程；

（2）由于点，，均在直线上，所以利用直线参数方程的几何意义，与曲线联立，求出根，即可求出的值.

【详解】

（1）由题知，，

消去有，

即曲线，

因为，

即直线；

（2）易知点在直线上，且直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为（t为参数），

因为直线与曲线C相交于A，B两点，

所以有，

解得，，

根据参数的几何意义有，,

有，，

.

【点睛】

本题主要考查了直线的参数方程，直角坐标与极坐标的转化，直线参数方程的几何意义，属于一般题.

23．已知

（1）当时，求不等式 的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）对和分类讨论即可求出解集范围；

（2）分别讨论和两种情况，结合第一问中，即可求出结果.

【详解】

（1）当时，，

当时，，

当时，，

故不等式的解集为；

（2）因为，所以，

当时，可知在区间时，即，

有，

显然不恒成立，不满足题意，舍去，

当时，可知在区间时，即，

有恒成立，满足题意，

由第一问有，当时也满足题意，

综上，时，在上恒成立.

【点睛】

本题主要考查了含有绝对值的不等式，这类题要注意分类讨论，属于一般题.