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    2020届广东省广州市天河区高考数学一模(10月)(文)试题(解析版)

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    2020届广东省广州市天河区高考数学一模(10月)(文)试题(解析版)

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    2020届广东省广州市天河区高考数学一模(10月)(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.设集合,则=( )

    A    B    C    D

    【答案】B

    【解析】试题分析:集合,故选B.

    【考点】集合的交集运算.

    2.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的新四大发明,为评估共享单车的使用情况,选了n座城市作试验基地,这n座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为x1x2xn,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是(   )

    Ax1x2xn的平均数 Bx1x2xn的标准差

    Cx1x2xn的最大值 Dx1x2xn的中位数

    【答案】B

    【解析】根据平均数、标准差、中位数、最值的实际意义逐一判断即可.

    【详解】

    因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小.

    所以,表示一组数据的稳定程度的是方差或标准差.故选B

    【点睛】

    本题主要考查平均数、标准差、中位数的实际意义,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,以及灵活运用所学知识解答问题的能力,属于基础题.

    3.若复数为纯虚数,则(  )

    A B C D

    【答案】A

    【解析】由题意首先求得实数a的值,然后求解即可。

    【详解】

    由复数的运算法则有:

    ,

    复数为纯虚数,则

    .

    本题选择A选项.

    【点睛】

    复数中,求解参数(或范围),在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分,所以问题中的参数必为实数,因此,确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.

    4.设等差数列的前n项和为,若则,=( )

    A18 B36 C45 D60

    【答案】C

    【解析】试题分析:,故选C.

    【考点】等差数列的通项公式的性质、前项和公式.

    5.已知,则的值等于  

    A. B. C. D.

    【答案】C

    【解析】由已知有,再由正弦的二倍角公式求解即可.

    【详解】

    :

    故选:

    【点睛】

    本题考查了诱导公式及正弦的二倍角公式,属基础题.

    6.若实数满足,则的最小值为  

    A.2 B. C.1 D.

    【答案】B

    【解析】先作出不等式组表示的平面区域,再求目标函数的最小值即可.

    【详解】

    解:不等式组可用区域(含边界)表示,如图:

    由图可知,轴的交点处取得最小值,即

    故选:

    【点睛】

    本题考查了简单的线性规划问题,属基础题.

    7.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用,化简,得.设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为(   

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】分析:设三角形的直角边分别为1,利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.

    解析:设三角形的直角边分别为1,则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为.

    图钉落在黄色图形内的概率为.

    落在黄色图形内的图钉数大约为.

    故选:A.

    点睛:应用几何概型求概率的方法

    建立相应的几何概型,将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形,并加以度量.

    (1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在数轴上即可;

    (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;

    (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.

    8.已知满足,则(  )

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=,由对数的性质得到>0,,进而得到结果.

    【详解】

    已知,=,>0,

    进而得到.

    故答案为:A.

    【点睛】

    本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质;比较大小常用的方法有:两式做差和0比较,分式注意同分,进行因式分解为两式相乘的形式;或者利用不等式求得最值,判断最值和0的关系.

    9.如图所示,在棱长为的正方体中,是棱的中点,是侧面上的动点,且,则在侧面上的轨迹的长度是  

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】分别为边上的中点,由面面平行的性质可得落在线段上,再求的长度即可.

    【详解】

    解:设分别为边上的中点,

    四点共面,

    且平面平面

    落在线段上,

    正方体中的棱长为

    在侧面上的轨迹的长度是

    故选:

    【点睛】

    本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题,属中档题.

    10.已知函数图象的对称中心,是该图象上相邻的最高点和最低点,若,则的单调递增区间是  

    A. B.

    C. D.

    【答案】C

    【解析】由三角函数图像的性质可求得:,即,再令,求出函数的单调增区间即可.

    【详解】

    解:函数

    因为图象的对称中心,是该图象上相邻的最高点和最低点,

    ,即,求得

    再根据,可得

    ,求得

    的单调递增区间为

    故选:

    【点睛】

    本题考查了三角函数图像的性质及单调性,属中档题.

    11.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄元一年定期,若年利率为保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为  

    A. B.

    C. D.

    【答案】D

    【解析】由题意可得:孩子18岁生日时将所有存款(含利息)全部取回,可以看成是以为首项,为公比的等比数列的前17项的和,再由等比数列前项和公式求解即可.

    【详解】

    解:根据题意,

    当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为

    同理:孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为

    孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为

    孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为

    可以看成是以为首项,为公比的等比数列的前17项的和,

    此时将存款(含利息)全部取回,

    则取回的钱的总数:

    故选:

    【点睛】

    本题考查了不完全归纳法及等比数列前项和,属中档题.

    12.已知函数fx)=(klnxk∈[4,+),曲线yfx)上总存在两点Mx1y1),Nx2y2),使曲线yfx)在MN两点处的切线互相平行,则x1x2的取值范围为

    A,+ B,+ C[,+ D[,+

    【答案】B

    【解析】利用过MN点处的切线互相平行,建立方程,结合基本不等式,再求最值,即可求x1+x2

    的取值范围.

    【详解】

    由题得f′x=﹣1=﹣=﹣,(x0k0

    由题意,可得f′x1=f′x2)(x1x20,且x1≠x2),

    ﹣1=﹣1

    化简得4x1+x2=k+x1x2

    x1x2

    4x1+x2)<(k+

    x1+x2k∈[4+∞)恒成立,

    gk=k+

    g′k=1﹣=0k∈[4+∞)恒成立,

    ∴gk≥g4=5

    ∴x1+x2

    x1+x2的取值范围为(+∞.

    故答案为:B

    【点睛】

    本题运用导数可以解决曲线的切线问题,函数的单调性、极值与最值,正确求导是我们解题

    的关键,属于中档题.

     

     

    二、填空题

    13.已知向量.若向量,则_____

    【答案】

    【解析】由向量的差的坐标运算可得:

    由两向量平行的坐标运算得:,运算即可得解.

    【详解】

    解:向量

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查了两向量平行的坐标运算,属基础题.

    14.已知数列满足,则当时,__

    【答案】

    【解析】去换中的 得到,再做差即可得到数列为等比数列,即可得出答案。

    【详解】

    数列满足

    去换得到

    ②-①得到

    ,所以数列为以1为首项,2为公比的等比数列

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查根据递推公式求通项,属于基础题。

    15.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则______________

    【答案】

    【解析】中,由余弦定理,求得,再由正弦定理,求得,最后利用两角和的余弦公式,即可求解的值.

    【详解】

    中,海里,海里,

    由余弦定理可得

    所以海里,

    由正弦定理可得

    因为,可知为锐角,所以

    所以

    【点睛】

    本题主要考查了解三角形实际问题,解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,合理使用正、余弦定理是解答的关键,其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;第三步:列方程,求结果.

    16.已知直三棱柱外接球的表面积为,若外接圆的圆心上,半径,则直三棱柱的体积为_____

    【答案】6

    【解析】将直三棱柱补形为长方体,则直三棱柱与长方体的外接球为同一个球,设,则其外接球的半径,由题意可得,再利用三棱柱的体积公式运算可得解.

    【详解】

    解:如图,外接圆的圆心上,

    的中点,且是以为直角的直角三角形,

    由半径,得,又

    把直三棱柱补形为长方体,设

    则其外接球的半径

    又直三棱柱外接球的表面积为

    ,即

    ,解得

    直三棱柱的体积为

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查了三棱柱的外接球及三棱柱的体积公式,属中档题.

     

    三、解答题

    17.某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组,第二组第八组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

    1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图;

    2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);

    3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值小于10分的概率.

    【答案】1,绘图见解析;(2;(3

    【解析】1)由频率分布直方图可得:各小矩形的高之和为0.1,运算可得解;

    2)由频率分布直方图中平均数的求法即可得解;

    3)样本成绩属于第六组的有人,样本成绩属于第八组的有人,则随机抽取2名,

    基本事件总数为,他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数为,再利用古典概型概率公式运算即可.

    【详解】

    解:(1)由频率分布直方图得第七组的频率为:

    完成频率分布直方图如下:

    2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为:

    .

    3)样本成绩属于第六组的有人,样本成绩属于第八组的有人,

    从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,

    基本事件总数

    他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数

    故他们的分差的绝对值小于10分的概率

    【点睛】

    本题考查了频率分布直方图及古典概型概率公式,属中档题.

    18.在等比数列中,公比,且满足

    1)求数列的通项公式;

    2)设,数列的前项和为,当取最大值时,求的值.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)由题意有,再由等比数列通项公式可得解;

    2)由题意可得 为等差数列,由等差数列前项和公式运算即可得解.

    【详解】

    解:(1

    可得

    ,即,可得,由,可得

    可得,即

    ①②解得舍去),

    2==

    为以3为首项,-1为公差的等差数列,

    可得

    可得7时,取最大值

    的值为67

    【点睛】

    本题考查了等比数列的通项及等差数列前项和公式,属中档题.

    19.在中,角所对的边分别为,且

    1)求角的大小;

    2)若的面积为,求的值.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)由三角恒等变形可得,即

    2)由余弦定理得,再由正弦定理及三角形面积公式可得:,即,得解.

    【详解】

    解:(1,可得:

    2

    【点睛】

    本题考查了三角恒等变形及正余弦定理,属中档题.

    20.如图,四棱锥的底面是矩形,侧面是正三角形,分别为的中点.

    1)求证:

    2)求点到平面的距离.

    【答案】1)详见解析;(2.

    【解析】1)先由面,证明平面

    再证明

    2)先建立以为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,

    再求平面的法向量,再利用空间向量求点到面的距离,得解.

    【详解】

    1)证明:为正三角形,

    根据勾股定理得

    为矩形,

    且交于点

    的中点,为正三角形,

    平面

    平面

    2) 解:取中点,以为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,

    0200

    20

    设平面的法向量

    ,取,得1

    到平面的距离

    【点睛】

    本题考查了线面垂直、线线垂直及利用空间向量求点到面的距离,属中档题.

    21.已知函数

    1)讨论函数的单调区间及极值;

    2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.

    【答案】1)详见解析;(2.

    【解析】先求函数的导函数

    再讨论时,时函数的单调区间及极值;

    2)不等式恒成立等价于恒成立,

    再构造函数,利用导数求函数的最大值即可得解.

    【详解】

    解:(1)因为,定义域为,所以

    恒成立,上是增函数,无极值,

    时令

    所以函数上为增函数,在为减函数,

    所以当时,有极大值,极大值为,无极小值,

    2):由恒成立知恒成立,

    ,因为1为增函数.

    故存在,使,即

    时,为增函数,当时,为减函数.

    所以

    ,所以

    所以整数的最小值为2

    【点睛】

    本题考查了利用导数研究函数的单调区间、极值及函数的最值,属综合性较强的题型.

    22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.

    )求曲线和直线的直角坐标方程;

    )直线轴交点为,经过点的直线与曲线交于两点,证明:为定值.

    【答案】)曲线.的直角坐标方程为.)见证明

    【解析】)根据曲线的参数方程,平方相加,即可求得曲线普通方程,再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,即可得到直线的直角坐标方程.

    )设过点的直线方程为为参数),代入曲线的普通方程,根据参数的几何意义,即可求解.

    【详解】

    )由题意,可得

    化简得曲线.

    直线的极坐标方程展开为

    的直角坐标方程为.

    )显然的坐标为,不妨设过点的直线方程为为参数),

    代入

    所以为定值.

    【点睛】

    本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的应用,其中解答中熟记参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

    23.已知函数.

    1)若时,解不等式

    2)若关于的不等式上有解,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2.

    【解析】试题分析:

    1)当时,不等式为,根据分类讨论解不等式即可.(2)由题意可得当时,有解,即上有解,故只需(,由此可得结论.

    试题解析:

    1)当时,不等式为

    ,则原不等式可化为,所以

    ,则原不等式可化为,所以

    ,则原不等式可化为,所以

    综上不等式的解集为

    2)当时,由,得

    又由题意知(

    所以

    故实数m的取值范围为

     

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