2020届广东省化州市高三第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届广东省化州市高三第二次模拟考试数学（文）试题


一、单选题
1．若集合A={x|0≤x≤2},B={x|x2>1},则A∪B=（ ）
A．{x|0≤x≤1} B．{x|x>0或x<﹣1} C．{x|1 【答案】D
【解析】化简集合B,根据并集运算即可.
【详解】
或，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了集合并集的运算，属于容易题.
2．复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
∵=，
∴z=﹣1﹣i，
则复数z的虚部为﹣1．
故选A．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．双曲线x21的渐近线方程是（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=± D．y=±2x
【答案】D
【解析】根据双曲线渐近线定义即可求解.
【详解】
双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.
4．已知数列{an}满足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】由条件可知数列为等差数列，由等差数列的性质可求结果.
【详解】
,
是等差数列，
由等差数列性质可得，
，
，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差中项，等差数列的性质，属于中档题.
5．已知向量， ，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由，， ，可得：，即
所以
故选C
6．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 由，可得或，
即或，
所以是成立的必要不充分条件，故选B．
7．描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期,在漆器表面,用金色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹.现甲､乙两位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位:小时)如下:

则完成这三件原料的描金工作最少需要（ ）
A．43小时 B．46小时 C．47小时 D．49小时
【答案】B
【解析】甲按A,C,B的顺序工作,乙就不会中途没事情做,所需时间最短.
【详解】
由题意，甲按A,C,B的顺序工作，所需时间最短，
最短时间为：小时，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了推理与分析问题的能力，属于容易题.
8．设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，圆心坐标为，半径为2，则的边长为2，所以的高为，即圆心到直线的距离为，所以，解得，故选B.
9．函数f（x）＝a（a＞1）的部分图象大致是（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，分析可得为偶函数，据此排除AB，设，利用换元法分析可得，据此排除D，即可得答案.
【详解】
解：根据题意，f（x）＝a，有，即函数为偶函数，据此排除AB，
设，有，又由，则有，当时，取得最大值，排除D，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的图象分析，涉及指数函数的性质，属于基础题.
10．已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，，则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 由题意，函数的图象关于轴对称，但在单调递减，在单调递增，不满足题意；
函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意；
函数，即函数的值域为，不满足题意，故选C．
11．已知三棱锥A﹣BCD内接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD,则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（ ）
A．38π B．9π C．76π D．19π
【答案】D
【解析】由题意知三棱锥对棱相等，在长方体中可构造三棱锥，转化为长方体内接球问题，求出长方体对角线即可得球的直径.
【详解】
由三棱锥对棱相等，在长方体中可构造三棱锥，如图：

设长方体的长宽高分别为，外接球的半径为，
则，
由已知得，
，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了球的内接长方体，球的表面积，转化思想，属于中档题.
12．已知函数，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 由题意，即，即，
设，则，
若时，，函数单调递增，无最大值，不适合题意；
当时，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，即，即
令，则，所以，
设，则，
若，则，此时单调递减，无最大值；
所以，由，得，
此时，解得，
所以的小值为，故选B．
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．


二、填空题
13．若关于的不等式 (的解集为，则________.
【答案】
【解析】关于的不等式的解集为，，，，故答案为.
14．若平面向量(cosθ,sinθ),(1,﹣1),且⊥,则sin2θ的值是_____.
【答案】1
【解析】根据向量垂直可得，平方即可求出.
【详解】
因为⊥，
所以，
即，
两边平方可得：，
即，
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了向量垂直，数量积的运算，三角恒等变换，属于中档题.
15．若整数满足不等式组，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点处，目标函数取得最小值为.

【点睛】
本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意为整数，属于基础题.
16．三角形中，且，则三角形面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】设，由，得C点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，可求三角形高为时，最大，即可得解.
【详解】
设，
则由得，
化简得，
所以点轨迹为以圆心，以为半径的圆，
所以最大值为，
所以三角形面积的最大值为.
【点睛】
该题考查的是有关三角形的面积的最值问题，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解，在解题的过程中，注意对题意进行正确的分析，得出在什么情况下取得最值是正确解题的关键.

三、解答题
17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c,2sinBsinA.
(Ⅰ)求cosB的值;
(Ⅱ)若a=2,求△ABC的面积.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由正弦定理得，利用余弦定理即可求解(Ⅱ)由同角三角函数关系得，利用面积公式求解.
【详解】
(Ⅰ)因为,所以.
所以.
所以.
(Ⅱ)因为a=2,所以.
又因为,
所以.
所以S△ABC.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题.
18．如图,在三棱锥D﹣ABC中,O为线段AC上一点,平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.

(Ⅰ)求证:AC⊥BD;
(Ⅱ)将△BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)16π
【解析】(Ⅰ)推导出，取AO中点E,连结DE､BE,，则，从而 AC⊥平面BDE ，即可得证(Ⅱ)由题意将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥，即可求出旋转体的体积.
【详解】
(Ⅰ)证明:∵△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.
∴DO⊥AD,BO⊥AB,AD=DO=AB=BO=4,
取AO中点E,连结DE､BE,如图,

则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E,
∴AC⊥平面BDE,
又BD⊂平面BDE,∴AC⊥BD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥AC,
∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,
∴DE⊥平面ABC,∴△BDE是直角三角形,
∵△ADO,△ABO是直角三角形,斜边AO=4,
∴BO=DO=4,DE=2,BE=2,
∴将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥,
∴将△BDO绕DO旋转一周所得旋转体的体积为:16π.
【点睛】
本题主要考查了线线垂直的证明，旋转体的体积求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.
19．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:
月收入(单位百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;

月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成



不赞成



合计




(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828


【答案】(Ⅰ)填表见解析,没有 (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由题意填表，计算K2，对照临界值得出结论 (Ⅱ)由分层抽样求出抽取的人数，列举法写出基本事件，计算概率即可.
【详解】
(Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,

月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
29
3
32
不赞成
11
7
18
合计
40
10
50


由表中数据,计算K26.27<6.635,
所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
(Ⅱ)用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25)内有62(人)记为A､B,在[25,35)有6﹣2=4(人),记为c､d､e､f;
从这6人中抽取3人,基本事件是ABc､ABd､ABe､ABf､Acd､Ace､Acf､Ade､Adf､Aef､Bcd､Bce､Bcf､Bde､Bdf､Bef､cde､cdf､cef､def共20种,
这3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc､ABd､ABe､ABf､Acd､Ace､Acf､Ade､Adf､Aef､Bcd､Bce､Bcf､Bde､Bdf､Bef共16种,
故所求的概率值为P.
【点睛】
本题主要考查了列联表与独立性检验问题，古典概型的概率问题，属于中档题.
20．已知椭圆E:过点(0,1)且离心率.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)y2=1 (Ⅱ)存在,最小值为1
【解析】(Ⅰ)由题意可得，根据离心率及间的关系即可求解 (Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，易知S△OPQ，当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,k≠±1，根据点到直线的距离公式和三角形面积公式，借助函数的性质即可求出.
【详解】
(Ⅰ)由已知得b=1,,a2=b2+c2,
解得a,b=c=1,
所以椭圆的E方程为y2=1,
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,直线l为x或x,
都有:S△OPQ22.
当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,k≠±1,
由,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
∴△=﹣8m2+8+16k2,由题可知,△=0,有m2=2k2+1,
又 可得P(,);同理可得Q(,).
由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|=2|m|•,
可得S△OPQd|PQ|=||,
∵m2=2k2+1,
∴S△OPQ,
当1﹣k2<0,即k>1或k<﹣1时,S△OPQ22,
当1﹣k2>0,即﹣1 因为0<1﹣k2≤1,
所以3,
所以S△OPQ21,当且仅当k=0时等号成立.
综上,当k=0时,△OPQ的面积存在最小值为1.
【点睛】
本题主要考查了直线和椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，函数的单调性，考查了运算能力和转化能力，属于难题.
21．已知函数，，.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；
（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】【详解】
（Ⅰ） ，则.
令得，所以在上单调递增.
令得，所以在上单调递减.
（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.
依题意， ， .
于是与抛物线切于点，
由得.
所以 -
（Ⅲ）设,则恒成立.
易得
（1）当时，
因为，所以此时在上单调递增.
①若，则当时满足条件，此时；
②若，取且
此时，所以不恒成立．
不满足条件；
（2）当时，
令，得由，得；
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
要使得“恒成立”，必须有
“当时， ”成立.
所以.则
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，当时，
从而，当时， 的最大值为.-
【点睛】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线分别交于两点（异于原点），定点，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将曲线C1化成直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）先求出定点M到射线的距离
为三角形的高，再由极坐标方程求出弦长|AB|为三角形的底，根据面积公式求解即可．
【详解】
（1）解：曲线C1直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0，
由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y得：
曲线C1极坐标方程为ρ=4sinθ，
（2）法一:M到射线θ=的距离为d=2sin=，
|AB|=ρB﹣ρA=4（sin﹣cos）=2（﹣1）
则S△MAB=|AB|×d=3﹣．
法二：
解：将θ=（ρ≥0）化为普通方程为y=x（x≥0），
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，
由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x得：
曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，
由得∴A（，3）
得∴B（1，），
，
点M到直线，
∴．
【点睛】
本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及弦长公式，属于中档题．
23．已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）令f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，依题
意：f（x）max＞2，求出a的范围即可．
【详解】
（1）当a=1时，原不等式等价于：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．
当x≥时，3x﹣4＞2，解得：x＞2
当1＜x＜时，2﹣x＞2，无解
当x＜1时，4﹣3x＞2，解得：x＜
∴原不等式的解集为：{x|x＞2或x＜}
（2）f（x）＞|x﹣3|⇔|x﹣a|﹣|x﹣3|＞2
令f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，依题意：f（x）max＞2
∵f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，
∴f（x）max=|a﹣3|
∴，解得或 .
【点睛】
本题考查零点讨论法解绝对值不等式，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．