2020届广东省深圳市高三下学期线上统一测试数学（理）试题（解析版）

2020届广东省深圳市高三下学期线上统一测试数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出与中不等式的解集，确定出与，求出与的并集．【详解】解：集合，1，2，，，所以，故选：．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．设，则的虚部为 （    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，的虚部为1．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念．3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（    ）34 57 07 86 36  04 68 96 08 23  23 45 78 89 07  84 42 12 53 31  25 30 07 32 86    32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42  A． B． C． D．【答案】C【解析】根据随机数表依次进行选取即可．【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为12.故选：．【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析．4．记为等差数列的前项和，若，，则为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．【详解】解：＝36.故选：．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力．5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在直线上，可得，由．即可求解．【详解】解：双曲线的一条渐近线经过点，点在直线上，．则该双曲线的离心率为.故选：．【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率以及渐近线方程，属于基础题．6．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，代入即可求解．【详解】解：因为，则．故选：．【点睛】本题主要考查了同角基本关系以及齐次式求解，诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，同时考查对相关公式的识记．7．的展开式中的系数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求出的值，即可求得展开式中的系数．【详解】解：由于的展开式的通项公式为，则令，求得，可得展开式中的系数为，故选：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，以及二项展开式的通项公式以及系数的性质．8．函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用定义法判断函数的奇偶性以及特殊点的函数值，排除法即可得解.【详解】解：已知，则定义域为，因为＝，所以，函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，又，排除.故选：．【点睛】本题考查函数图象的确定，一般运用奇偶性、特殊值、单调性等去排除．9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出表面积．【详解】解：该四面体的直观图如下图所示，根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体，则该四面体的外接球也是边长为4的正方体的外接球，设外接球的半径为，则有，解得：，外接球的表面积：S＝.故选：．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，球的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长为 的圆上，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在圆上，由题意可得，当，，三点共线时取得最大值，再由椭圆的定义可得的最大值．【详解】解：由椭圆的方程可得焦点在轴上，，即，由题意可得，当，，三点共线时取得最大值，    而，所以的最大值为4，故选：．【点睛】考查椭圆的定义和性质，还涉及椭圆的焦点三角形以及三点共线，属于中档题．11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，，即为斜边的中点，又为中点，，为中点，．故选：．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由定义在，上的函数的最大值为，可得：，解得，因此：．分类讨论：①时，，利用图象以及函数零点定理即可判断出结论．②，，必须，．即可得出结论．【详解】解：定义在，上的函数的最大值为，，解得，．①当时，即时，，令，，如图，易知与的图象有两个交点，，由图可知，令，，，因此存在唯一实数，，使得．②当时，即，，必须．综上可得：正实数的取值个数最多为2个．故选：．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、函数零点存在判定定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力．  二、填空题13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．【答案】.【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．【详解】解：画出，满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数过时，取得最小值，由，解得，所以的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．14．设数列的前项和为，若，则___________．【答案】.【解析】直接利用数列的递推关系式的应用，求出数列的通项公式，进一步求出结果．【详解】解：数列的前项和为，由于，①所以当时，②，①②得：，整理得，所以（常数），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．所以．故答案为：63【点睛】本题考查通过数列的递推关系证明等比数列，以及等比数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是的概率为___________．【答案】.【解析】分别求出基本事件的总数为，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为，利用古典概率计算公式即可得出．【详解】解：由0，1，2，，9中的任取四个数字，共有种，验证码的首位数字是时，只能从2，3，…，9中任取3个，即有种，所求概率.故答案为：．【点睛】本题考查了古典概率计算公式、组合数计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则的最大值为___．【答案】.【解析】由条件可得，在直线上，联立曲线的方程可得它们无交点，求得函数的导数，可得在和的切线的斜率和方程，联立直线，求得交点，，可得所求最大值．【详解】解：由点和点，可得，在直线上，联立曲线，可得，无实数解，由的导数为，可得曲线在处的切线的斜率为0，可得切线的方程为，即有与直线的交点，同样可得曲线在处切线的斜率为4，切线的方程为，联立直线，可得交点，，此时可设，，，则由图象可得的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系的判断，考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及两直线的交点的求法，考查数形结合思想和运算能力． 三、解答题17．已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，.（1）求；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）3.【解析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求； （2）由已知结合正弦定理及和差角公式可求，然后结合诱导公式及和角正弦可求，再由正弦定理即可求解．【详解】解：（1），所以，即，，，解可得，，（2），由正弦定理可得，，故，所以，，所以，所以，由正弦定理可得，．【点睛】本题综合考查了三角形的基本运算，三角函数的性质，考查了利用正弦定理及余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力．18．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别在棱，上，且，.（1）求证：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）连接，交于，取的中点，连接，，先证明平行四边形，所以，最后得出结论； （2）根据题意，以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可．【详解】解：（1）连接，交于，取的中点，连接，，由，，故，以且，故平行四边形，所以，根据中位线定理，，由平面，平面，所以平面，，故平面；（2），，由，由，得，以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，0，，，，，，，，，0，，，，，，，，，0，，设平面的一个法向量为，，，由，令，得，0，，设平面的一个法向量为，，，由，令，得，由，所以二面角为，正弦值为1．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，以及利用空间向量法求法向量，夹角公式求二面角的余弦值，还考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力、空间想象能力和计算能力.19．已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，为中点，且.（1）当时，求点的坐标；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入抛物线方程，求得的值，根据向量的坐标运算，即可求得的值； （2）方法一：根据向量的坐标运算，求得的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线的方程；方法二：设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线的方程．【详解】解：（1）将代入抛物线方程，得，所以的方程为，焦点，设，，当时，，可得．（2）方法一：设，，，，，，由．可得，，，所以，所以直线的斜率存在且斜率，设直线的方程为，联立，消去，整理得，△，可得，则，，，所以，解得，（舍，所以直线的方程为．方法二：设直线的方程为，设，，，，，，联立方程组，消去，整理得，△，则，，则，则，，由．得，，，所以，所以直线的方程为，由△，可得，由，得，所以，解得或，（舍去）所以直线的方程为．【点睛】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题．20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）人数 （1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）  50岁以下55  总计  200 （3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：   ，其中.【答案】（1）5.4天；（2）列联表见解析，没有的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）最有可能是8人.【解析】（1）根据统计数据计算平均数即可； （2）根据题意补充完整列联表，计算，对照临界值得出结论；（3）根据题意知随机变量，计算概率，列不等式组并结合题意求出的值．【详解】解：（1）根据统计数据，计算平均数为：天.（2）根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200 则， 经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关. （3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，  设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则，，，，，…，，由得， 化简得，解得,又,所以,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.【点睛】本题考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值，考查分析问题、解决问题的能力，处理数据能力.21．已知函数.（其中常数，是自然对数的底数）（1）若，求函数的极值点个数；  （2）若函数在区间上不单调，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）求导后，分及讨论即可得出结论； （2）结合题意分析可知，由及可证，进而得出结论．【详解】解：（1）易知，①若，则，函数在上单调递增，函数无极值点，即此时极值点个数为0；②若，易知函数的图象与的图象有唯一交点，，，当时，，函数在上单调递减，当，时，，函数在，上单调递增，函数有较小值点，即此时函数的极值点个数为1；综上所述，当时，函数的极值点个数为0；当时，函数的极值点个数为1；（2）证明：函数在区间上不单调，存在为函数的极值点，由（1）可知，，且，即，两边取自然对数得，即，要证，不妨考虑证，又易知，，即，又，，，即，，．【点睛】本题考查导数的综合运用，主要考查利用导数研究函数的极值及证明不等式，考查转化思想，放缩思想，分类讨论思想及推理论证能力，属于难题．22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若，求直线的普通方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用极坐标方程公式计算得到答案.（2）参数方程代入方程得到，化简得到，计算，故，计算得到答案.【详解】（1），即，故，即.（2）的直角坐标系坐标为，将代入圆方程得到：，化简整理得到：.根据图像知：不妨设，，即，即，，故，故，即，根据图像知：，故，验证满足.故，即.【点睛】本题考查了极坐标方程，直线的参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23．已知为正数，且满足 证明：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）变换，利用均值不等式得到答案.（2），利用三元均值不等式得到答案.【详解】（1），故，当时等号成立.（2）易知..当时等号成立.【点睛】本题考查了根据均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的应用能力.