2020届广东省深圳市高三下学期线上统一测试数学（文）试题（解析版）

2020届广东省深圳市高三下学期线上统一测试数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，，则集合的子集共有（    ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】计算，再计算子集个数得到答案.【详解】，，则集合，故的子集共有个.故选：.【点睛】本题考查了集合的交集运算，子集个数，属于简单题.2．若复数的实部为，其中为实数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】化简得到，得到，再计算模长得到答案.【详解】，实部为，故..故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，复数模的计算，意在考查学生的计算能力.3．已知向量，，，且实数，若、、三点共线，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，故，解得答案.【详解】，，， 、、三点共线，故，即，故，故，解得或（舍去）.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：，，，，，，，，，，，……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】计算共有个偶数，计算概率得到答案.【详解】数列第1个，第2个为奇数，故第3个为偶数，第4个，第5个为奇数，第6个为偶数.根据规律：共有偶数个，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.5．设，，，则下列正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】计算得到，，，得到答案.【详解】，，.故.故选：.【点睛】本题考查了利用函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值为（    ）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【解析】分别计算中位数和平均值，计算得到答案.【详解】，，故.甲的中位数为：，故乙的中位数，故，.故选：.【点睛】本题考查了中位数和平均值，意在考查学生的计算能力.7．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得到，，解得答案.【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，画出直观图，再计算体积得到答案.【详解】如图所示：在长方体中，三棱锥满足三视图.故三棱锥体积为：.故选：【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．已知函数的最大值、最小值分别为和，关于函数有如下四个结论：① ， ；   ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点对称；   ④函数在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】计算得到，再根据函数的对称性和单调性判断每个选项得到答案.【详解】的最大值、最小值分别为和，故，解得，故，①正确；当时，，故②正确；函数的图象的中心对称点纵坐标为，故③错误；当时，，故④正确；故选：.【点睛】本题考查了三角函数的解析式，对称性和单调性，意在考查学生的综合应用能力.10．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】判断函数为奇函数排除，当时，排除得到答案.【详解】，，函数为奇函数，排除.当时，，，故，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键.11．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，得到，，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.故，，，，故，.，即与夹角的余弦值为.故选：.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，故，即，解不等式得到答案.【详解】设，则，，故，故，即，，即，，故.故选：.【点睛】本题考查了根据函数性质解不等式，构造函数是解题的关键.  二、填空题13．若，则________.【答案】【解析】利用二倍角公式直接计算得到答案.【详解】.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.14．在中角，，的对边分别为，，，若,，则的外接圆面积为________【答案】【解析】化简得到，根据余弦定理得，再利用正弦定理得到，得到答案.【详解】，故，即.根据余弦定理：，故.根据正弦定理：，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为________.【答案】【解析】设圆柱底面半径为，高为，计算得到，再计算体积最大值得到答案.【详解】设圆柱底面半径为，高为，则，即，故，当，即时等号成立，.故答案为：.【点睛】本题考查了圆柱的外接球问题，体积的最大值，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．设椭圆：的左、右焦点分别为、，其焦距为，为坐标原点，点满足，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是________.【答案】【解析】如图所示：，则在圆心为，半径为的圆上，计算，故，得到答案.【详解】如图所示：，则在圆心为，半径为的圆上.，当为圆与负半轴的交点，为椭圆的左顶点时等号成立.故，即.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 三、解答题17．已知数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和为.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，故，利用累加法计算得到答案.（2），利用裂项相消法计算得到答案.【详解】（1），设，故.利用累加法：，，故，当时，通项成立，故.（2），.【点睛】本题考查了累加法求通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价（元/件）月销售量（万件） （1）若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用模型拟合与之间的关系，可得回归方程为，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数分别为和，请用说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到）参考数据：.【答案】（1）甲；（2）；（3）【解析】（1）根据数据知负相关，排除乙，计算中心点验证排除丙得到答案.（2）越大，残差平方和越小，拟合效果越好，，得到答案.（3），求导得到单调区间，得到答案.【详解】（1）根据数据知负相关，排除乙.，.代入验证知，丙不满足，故甲计算正确.（2）越大，残差平方和越小，拟合效果越好，，故选用更好.（3）根据题意：，故.令，则（舍去）或.故当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.故当时，商品的月销售额预报值最大.【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．如图，四边形为长方形，，、分别为、的中点，将沿折到的位置，将沿折到的位置，使得平面底面，平面底面，连接.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）为中点，为中点，连接，证明为平行四边形，得到答案.（2）平面，得到，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：为中点，为中点，连接.为中点，故，底面，故平面，同理平面，故，又，故为平行四边形，故，平面，故平面.（2）平面，故.【点睛】本题考查了证明线面平行，体积的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．在平面直角坐标系中，过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的任意直线与曲线交于点，为的中点，过点作轴的平行线交曲线于点，关于点的对称点为，除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由.【答案】（1）；（2）没有其他公共点，证明见解析【解析】（1）如图所示：作轴于，直线于，轴于，计算得到，根据抛物线定义得到答案.（2）在抛物线上，设，得到直线：，联立方程得到答案.【详解】（1）如图所示：作轴于，直线于，轴于，设圆半径为，在梯形中，为中位线，故，故.故，，即，根据抛物线定义知：.（2）没有其他公共点.在抛物线上，设，故.故当时，，故，故，即.，（），直线：.，故，故方程有唯一解，故没有其他公共点.当时验证知，为轴，也没有其他公共点.综上所述：没有其他公共点. 【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数（1）当时，判断函数的单调性；（2）讨论零点的个数.【答案】（1）在上单调递减；（2）当时，有2个零点；当时，有3个零点；当时，有1零点.【解析】（1）求导得到，计算，得到函数单调性.（2）化简，故是函数零点，当时，，设，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】（1），则.，且，故在上单调递增， 在上单调递减，故.故恒成立，故在上单调递减.（2），故.故是函数零点；当时，，即，设，则，故在上单调递减，在上单调递增.如图所示，画出函数图像，根据图像知：当时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，没有零点.综上所述：当时，有2个零点；当时，有3个零点；当时，有1零点.【点睛】本题考查了函数单调性，函数零点问题，参数分离画出函数图像是解题的关键.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若，求直线的普通方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用极坐标方程公式计算得到答案.（2）参数方程代入方程得到，化简得到，计算，故，计算得到答案.【详解】（1），即，故，即.（2）的直角坐标系坐标为，将代入圆方程得到：，化简整理得到：.根据图像知：不妨设，，即，即，，故，故，即，根据图像知：，故，验证满足.故，即.【点睛】本题考查了极坐标方程，直线的参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23．已知为正数，且满足 证明：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）变换，利用均值不等式得到答案.（2），利用三元均值不等式得到答案.【详解】（1），故，当时等号成立.（2）易知..当时等号成立.【点睛】本题考查了根据均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的应用能力.