2020届广东省湛江市高三9月调研测试 数学（理）

湛江市2020届高中毕业班调研测试题

理科数学

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1、＝

  A． 　　　B．　　　C．　　　D、

2．已知集合A＝｛x｜x2＋2x一3＞0｝，B＝｛x｜0＜x≤4｝，则A∩B＝

  A．｛x｜一3＜x≤4｝　　　　　　B．｛x｜1＜x≤4｝

  C．｛x｜一3＜x＜0或1＜x≤4｝ D．｛x｜一3＜x＜一1或1＜x≤4｝

3．已知抛物线C：y＝3 x2，则焦点到准线的距离是

  A．　　 B．　　 C．3　　　D．

4．设，，，则

  A．b＞c＞a 　　B．b＞a＞c　　C．a＞b＞c 　　D．a＞c＞b

5．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬

  老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动．现有来自高一年级的

  4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名．现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个

  年级的概率是

6．函数的部分图象大致是

7．《九章算术》是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之

  一。其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列·已知

  较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是

  A、　　　B、　　　C、　　　D、

8．已知的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中的系数为

  A．15 　　B．20 　　　C．30 　　　D．35

9．在以BC为斜边的直角△ABC中，AB＝2，，则＝

  A、3　　　B、　　　C、　　　D、2

10·在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点E为棱BB1上的点，且BE＝

  2EB1，则异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为

  A、　　　B、　　　C、　　　D、

11．将函数g（x）＝cos2x一sin 2x图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各

  点向右平移个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数的图象，则下列说法中正确的个数是

    ①函数的最小正周期为2

    ②函数的最大值为2，

  　③函数图象的对称轴方程为．

  ④设为方程的两个不相等的根，则的最小值为

    A．1·　　B．2 　　C．3　　　 D．4

12．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支

    交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则

    ｜HG｜的取值范围是

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线在点（1，f（l））处的切线方程为　　　　　

14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标XN（100，100），且110＜X＜120的产

品数量为5 436件．请估计该批次检测的产品数量是　　　　　件。

15、已知等比数列｛｝，＞0，，且，，则＝　　　

16、在四面体ABCD中，∠ACB＝60º，∠DCA＝90º，DC＝CB＝CA＝2，二面角D－AC－B的大小

为120º，则此四面体的外接球的表面积是　　　　

三、解答题（共70分）

（一）必考题：共60分

17、（12分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（16b－11c）cosA＝11acosC。

（1）求cosA的值；

（2）若b＋c＝4，求a的最小值。

18.（12分）

  某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对

  抗赛实战训练．每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为

  第一名、第二名、第三名、第四名．比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对

  抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次．按以往多次

  比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为

  （1)进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？

    (2)计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分．设进行

      一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望．

19.（12分）

  如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2CB＝4，∠ABC=120º，E为AD的中点·

 现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，

 连接AD，如图2．

  （1）若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由。

(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值．

20.（12分）

  已知椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的

  等腰直角三角形．

  (1)求椭圆C的标准方程．

  (2)设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k'，若kk'＝一，

    求证△OPQ的面积为定值，并求此定值·

21．（ 12分）

  已知函数．

  (1)当a≤1时，讨论函数的零点个数，

  (2)当a＝0时， [0，＋∞），证明不等式x[f (x)+2]+1≥(1+ sin x)2恒成立．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题

    计分．

22.［选修4-4：坐标系与参数方程〕(10分）

  在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数）。以坐标原

  点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

    (1)求曲线C的极坐标方程，

(2)设直线l与曲线C相交于不同的两点的取值范围。

  23.〔选修4-5：不等式选讲〕（10分）

    函数的最小值为t.

    （1）求t的值，

(2）若a＞0，b＞0，且a＋b＝tab，求a2＋b2的最小值．