2020届贵州省铜仁第一中学高三防疫期间“停课不停学”网上考试（三）数学（理）试题

贵州省铜仁一中高三年级防疫期间“停课不停学”网上考试（三）理科数学 第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上.）1.已知集合，，则下列判断正确的是（    ）A.          B.          C.        D. 2.设，，则的值为（    ）A. 0 B.  C.  D. 3.如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为2，且有一个内角为的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（    ）A.  B. C.  D. 4.已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知圆被两直线，分成面积相等的四部分，且截轴所得线段的长为4.则圆的方程是（    ）A.  B. C.  D. 6.函数的部分图象大致为（    ）A.   B.   C.   D. 7.如图所示，已知中，，，交于点，若，则（   ）A.        B.        C.         D. 8.已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（    ）A.  B. 函数在上递增C. 函数的一条对称轴是 D. 函数的一个对称中心是9.某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励80慧币；第二种，闯过第一关奖励8慧币，以后每一关比前一关多奖励8慧币；第三种，闯过第一关奖励1慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.已知一名闯关者冲关数一定超过3关但不会超过9关，为了得到更多的慧币，他应如何选择奖励方案？答（   ）A 选择第一种奖励方案 B. 选择第二种奖励方案C. 选择第三种奖励方案 D. 选择的奖励方案与其冲关数有关10.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ）A. 4 B. 8 C. 9 D. 1211.已知函数有唯一零点，则（    ）A.  B. -2 C.  D. 212.正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（    ）A. 2 B.  C. 4 D. 第Ⅱ卷（非选择题  共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设，向量，，且，则______14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.15.已知双曲线：左焦点为，过原点的直线与双曲线相交于、两点.若，，，则双曲线的实轴长______.16.已知数列的通项公式为，其前项和记为，则下列命题正确的是______.①数列为递减数列；    ②对任意正整数，都成立；③对任意正整数，都成立；④对任意正整数，都成立.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.已知函数的最小值为-2.（1）求实数的值；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长.    18.如图，正方体，点，，分别是棱，，的中点，动点在线段上运动.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.                        19.党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出户（，）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元.（参考数据：，，，）.（1）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售户数；若不能，请说明理由；（2）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？                 20.已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，，，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.                         21.设函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，求证：.                          （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知与相切，求的值.         23.已知，，为正数，且满足，证明：（1）；（2）.      
贵州省铜仁一中高三年级防疫期间“停课不停学”网上考试（三）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.  C  。由，，对于A，，故A不正确；对于B，集合中不含，故B不正确； 对于C，，故C正确；对于D，，故D不正确。2.  C  。，则，所以。3. A 。由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体，正视图、侧视图均都是边长为2，且有一个内角为的菱形，所以正四棱锥的底边边长为，高为，所以组合体的体积为。4. B  。，当时，则，所以，当时，，解得，所以“”是“”的必要不充分条件。5. B 。设圆的方程为，圆被两直线，分成面积相等的四部分，圆心一定是两条直线，的交点，联立，解得，，又圆截轴所得线段的长为4，，则圆的方程。6. D  。函数，设，可得为奇函数，所以的图像关于对称，则的图像关于对称，故排除A、C当时，，即，故排除B。7.  B  。设，，，，，三点共线，，解得，，，。8. D 。，又，即，有且仅有满足条件；又，则，，函数， 对于A，，故A错误；对于B，由，解得，故B错；对于C，当时，，故C错误； 对于D，由。9. A 。设冲关数为，三种方案获得的慧币为，由题意可知：；，；当时，，，，故选择第一种奖励方案。10. C  。由题意可知，当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，则，整理可得，所以，所以，当且仅当时，取等号，故的最小值为9。11.  B  。因为函数有唯一零点，等价于方程有唯一解，等价于函数的图像与的图像只有一个交点.当时，，此时有两个零点，矛盾；当时，由于在单调递减，在单调递增，且在单调递减，在单调递增，所以函数的图像最低点为，的图像的最低点为，由于，故两函数图像有两个交点，矛盾， 当时，由于在单调递减，在单调递增，且在单调递增，在单调递减，所以函数的图像最低点为，的图像的最高点为，若两函数只有一个交点，则，即。12.  C  。设的中点为，以为原点建立如图所示的空间坐标系， 则，设，则，，，在以为球心，以为半径的球面上，，，， 令，则直线与单位圆相切时，截距取得最小值，令，解得或 的最大值为。第Ⅱ卷（非选择题  共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.。解：由向量，，且，所以，解得，则 所以。 1 。解：作出实数，满足约束条件的可行域，如图所示， 由解得 ，，作出直线：，将目标函数化为，目标函数过点时，，综上所述，的最小值为115.。解：在中，，，，由余弦定理可得，从而可得，解得，所以为直角三角形， 设为双曲线的右焦点，连接，根据对称性可得四边形是矩形，所以，所以。16.②④。解：可知①是明显错误的.对于②，由得，所以②正确，对于③④，，所以④正确，③是错误的。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（一）必考题：共60分.17.（1）（2）解：（1）.∵的最小值为-2，∴，解得.（2）由得，∵，∴，∴，解得，∵，，∴.∴.由正弦定理，得，得，即. 18.（1）见详解，（2）证明：（1）如图：连接，，，， ∵，分别是，的中点，∴.又，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，分别是，的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面，又∵平面，∴平面.（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，，，，，∵在线段上，令，则，，设是平面的法向量，则，即，取，得，，∴.设直线与平面所成角为，则，∵，∴时，.∴直线与平面所成角的正弦值的最大值.19.（1）从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.（2）16户解：（1）假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得：每户的平均收入为：，令，化简，得，解得：，因为，， 且，可得：，所以，当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.（2）由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为，令，得：，由题所给数据，知：，所以，，所以，的最小值为4，，即至少抽出16户从事包装、销售工作.20.（1）（2）解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切，则，，∴，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆，，，，∴轨迹的方程为. （2）若或的斜率不存在，四边形的面积，若两条直线的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为，则方程为，的方程为，联立方程组，得，由韦达定理得，，，设，，则，同理可得，∴，当且仅当，即时等号成立.∵，因此当时，四边形的面积取得最小值为.另解一：.当即时等号成立.另解二：也可以令换元求解.21.（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.解：（1），令，，①当时，在上单调递减，②当时，，由得，，当时，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，③当时，，，∴在上单调递减，④当时，，由得，当或时，，当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）得时，有两个极值点，设，则有且，∴，，令，，，令，则，∵，∴，，，∴当时，，∴在区间单调递增，∴，∴在区间单调递减，∴，综上，.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答22.（1）的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为（2）解：（1）因为，，两式相减，有，所以的直角坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（2）联立与的方程，有，消，得，因为与相切，所以有，解得：.23.解：（1）由，可得.当且仅当时，等号成立.（2）∵，∴（当且仅当时等号成立）即，∴。